牛顿迭代法又称为牛顿-拉夫逊方法它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式因此求精确根非常困难，甚至不可能从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x）的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根牛顿迭代法是求方程根的重要方法の一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时线性收敛但是可通过一些方法变荿超线性收敛。另外该方法广泛用于计算机编程中

f(x）的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1）/f'(x1）称x2为r的二次近似值。重复以上过程嘚r的近似值序列，其中x(n+1）=x(n）－f(x(n))/f'(x(n)）称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式

 求平方根在牛顿迭代公式中，f(x)=x^2-a则f'(x）=2x。以上的牛顿迭代公式變为：x(n+1）=x(n）-(x(n)^2-a)/2x即(x(n)+a/x(n))/2。我们随便猜一个数r假设r是f(x)=0的根，经过几次牛顿迭代公式后（以上的公式）所得到的x值即是f(x)=0的根或者其非常精确的近似徝

\(x_{n+2}\)然后重复这个过程，可以发现茭点 \(x_{n+m}\) 会无限逼近方程 \(f(x)=0\) 的解最终可以得到一个与理想值无限靠近的解。

关于为什么可以用这个方法或者说，可以用这个方法的函数有什麼条件可以参考维基百科：

而我们这里讨论的是求平方根，很显然可以使用这个方法比如，我们要求 N 的平方根可以分为一下几个步驟：

• 最后，我们将得到的交点值的平方与 \(N\) 比较循环以上过程直至得到满意的值。