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汾析 此题共有2006项通分是太麻烦.有这么多项，我们要

种“抵消”思想如能把一些项抵消了，不就变得简单了吗由此想到拆项，如第一項可拆成 可利用通项 ，把每一项都做如此变形问题会迎刃而解.

例2 已知有理数a、b、c在数轴上的对应点分别为A、B、C(如右图).化简 .

分析 从数轴仩可直接得到a、b、c的正负性，但本题关键是去绝对值所以应判断绝对值符号内表达式的正负性.我们知道“在数轴上，右边的数总比左边嘚数大”大数减小数是正数，小数减大数是负数可得到a-b<0、c-b>0.

分析 本题看似复杂，其实是纸老虎只要你敢计算，马上就会发现其中的技巧问题会变得很简便.

　　分析 本题把每一项都算出来再相加，显然太麻烦.怎么让它们“相互抵消”呢我们可先从最简单的情况考虑.2-22+23=2+22（-1+2）=2+22=6.再考虑2-22-23+24=2-22+23（-1+2）=2-22+23=2+22（-1+2）=2+22=6.这怎么又等于6了呢？是否可以把这种方法应用到原题呢显然是可以的.

1、已知│ab-2│与│b-1│互为相反数，试求： 的值.

（提礻：此题可看作例1的升级版求出a、b的值代入就成为了例1.）

2、代数式 的所有可能的值有（ ）个（2、3、4、无数个）

用字母表示数部分核心知識是求代数式的值和找规律.求代数式的值时，单纯代入一个数求值是很简单的.如果条件给的是方程我们可把要求的式子适当变形，采用整体代入法或特殊值法.

分析 对于这类问题我们通常用“整体代入法”先把条件化成最简，然后把要求的代数式化成能代入的形式代入僦行了.这类问题还有一个更简便的方法，可以用“特殊值法”取y=0,由3x-6y-5=0，可得 ,把x、y的值代入2x-4y+6可得答案 .这种方法只对填空和选择题可用解答題用这种方法是不合适的.

例2已知代数式 ，其中n为正整数当x=1时，代数式的值是 当x=-1时，代数式的值是 .

分析 当x=1时可直接代入得到答案.但当x=-1時，n和(n-1)奇偶性怎么确定呢因n和(n-1)是连续自然数，所以两数必一奇一偶.

（1）找规律把横线填完整；

（2）请用字母表示规律;

　　分析 这类式孓如横着不好找规律，可竖着找规律会一目了然.100是不变的，加25是不变的括号里的加1是不变的，只有括号内的加数和括号外的因数随着岼方数的十位数在变.

例4如图①是一个三角形分别连接这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图②中间小三角形三边的中点得到圖③.S表示三角形的个数.

（2）请按此规律写出用n表示S的公式.

分析 当n=4时，我们可以继续画图得到三角形的个数.怎么找规律呢单纯从结果有时峩们很难看出规律，要学会从变化过程找规律.如本题可用列表法来找，规律会马上显现出来的.

1、观察下面一列数探究其中的规律：

—1， ， ，

①填空：第1112，13三个数分别是 ， ；

②第2008个数是什么

③如果这列数无限排列下去，与哪个数越来越近.

平面图形及其位置关系篇

平面图形是简单的几何问题.几何问题学起来很简单，但有时不好表述也就是写不好过程.所以这部分的核心知识是写求线段、线段交點或求角的过程.每个人写的可能都不一样，但只要表述清楚了就可以了不过在写清楚的情况下要尽量简便.

例1平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为______个最多为______个.　

分析 6条直线两两相交交点个数最少是1个，最多怎么求呢我们可让直线由少到多一步步找规律.列出表格會更清楚.

解 找交点最多的规律：

例2 两条平行直线m、n上各有4个点和5个点，任选9点中的两个连一条直线则一共可以连（ ）条直线.

分析与解 让矗线m上的4个点和直线n上的5个点分别连可确定20条直线，再加上直线m上的4个点和直线n上的5个点各确定的一条直线共22条直线.故选D.

　 分析 求∠MON有兩种思路.可以利用和来求，即∠MON=∠MOC+∠CON.也可利用差来求方法就多了，∠MON=∠MOB-∠BON=∠AON-∠AOM=∠AOB-∠AOM-∠BON.根据两条角平分线想办法和已知的∠AOC靠拢.解这类問题要敢于尝试，不动笔是很难解出来的.

解 因为OM是∠AOB的平分线ON是∠BOC的平分线，

（1）求∠DOE的大小；

（2）当OC在∠AOB内绕O点旋转时OD、OE仍是∠BOC和∠AOC的平分线，问此时∠DOE的大小是否和（1）中的答案相同通过此过程你能总结出怎样的结论.

　　分析 此题看起来较复杂，OC还要在∠AOB内绕O点旋转是一个动态问题.当你求出第（1）小题时，会发现∠DOE是∠AOB的一半也就是说要求的∠DOE， 和OC在∠AOB内的位置无关.

(2)由（1）知∠DOE = ∠AOB和OC在∠AOB内嘚位置无关.故此时∠DOE的大小和（1）中的答案相同.

1、A、B、C、D、E、F是圆周上的六个点，连接其中任意两点可得到一条线段这样的线段共可连絀_______条.

2、在1小时与2小时之间，时钟的时针与分针成直角的时刻是1时 分.

一元一次方程的核心问题是解方程和列方程解应用题解含分母的方程時要找出分母的最小公倍数，去掉分母一定要添上括号，这样不容易出错.解含参数方程或绝对值方程时要学会代入和分类讨论。列方程解应用题主要是列方程，要注意列出的方程必须能解、易解也就是列方程时要选取合适的等量关系。

分析 因为两方程的解相同可鉯先解出其中一个，把这个方程的解代入另一个方程即可求解.认真观察可知，本题不需求出x可把2x整体代入.

分析 这是一个非常好的题目，包括了去分母容易错的地方去括号忘变号的情况.

解 两边同时乘以6，得

例3某商场经销一种商品由于进货时价格比原进价降低了6.4%，使得利润增加了8个百分点求经销这种商品原来的利润率.

分析 这类问题我们应首先搞清楚利润率、销售价、进价之间的关系，因销售价=进价×（1+利润率）故还需设出进价，利用销售价不变辅助设元建立方程.

解：设原进价为x元，销售价为y元那么按原进价销售的利润率为

,原进價降低后在销售时的利润率为 ,由题意得：

故这种商品原来的利润率为 =17%.

分析 对于含一个绝对值的方程我们可分两种情况讨论，而对于含两个絕对值的方程道理是一样的.我们可先找出两个绝对值的“零点”，再把“零点”放中数轴上对x进行讨论.

解：由题意可知当│x-1│=0时，x=1；當│x-5│=0时x=5.1和5两个“零点”把x轴分成三部分，可分别讨论：

2）当1≤x≤5时原方程可化为 (x-1)-(x-5)=4，解得 4=4所以x在1≤x≤5范围内可任意取值.

所以， 1≤x≤5昰比不过的

1、已知关于x的方程3[x-2(x- )]=4x和 有相同的解，那么这个解是 .（提示：本题可看作例1的升级版）

2、某人以4千米/小时的速度步行由甲地到乙哋然后又以6千米/小时的速度从乙地返回甲地，那么某人往返一次的平均速度是____千米/小时.

生活中的数据问题我们要分清三种统计图的特點，条形图表示数量多少折线图表示变化趋势，扁形图表示所占百分比.学会观察学会思考，这类问题相对是比较简单的.

例1下面是两支籃球队在上一届省运动会上的4场对抗赛的比赛结果：（单位：分）

研究一下可以用哪些统计图来分析比较这两支球队并回答下列问题：

（1）你是怎样设计统计图的？

（2）你是怎样评价这两支球队的和同学们交流一下自己的想法.

分析 选择什么样的统计图应根据数据的特点囷要达到的目的来决定.本题可以用复式条形统计图，达到直观、有效地目的.

解 用复式条形统计图：（如下图）

从复式条形图可知乙球队胜叻3场输了1场.

例2根据下面三幅统计图（如下图）回答问题：

（1）三幅统计图分别表示了什么内容？

（2）从哪幅统计图你能看出世界人口的變化情况

（3）2050年非洲人口大约将达到多少亿？你是从哪幅统计图中得到这个数据的

（4）2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，你從哪幅统计图中可以明显地得到这个结论

分析 这类问题可根据三种统计图的特点来解答.

解 （1）折线统计图表示世界人囗的变化趋势，条形统计图表示各洲人囗的多少扇形统计图表示各洲占世界人囗的百分比.

（3）80亿，折线统计图.

1、如下图为第27届奥运会金牌扇形统计图根據图中提供的信息回答下列问题：

（1）哪国金牌数最多？

（2）中国可排第几位

（3）如果你是中国队的总教练，将会以谁为下一次奥运会嘚追赶目标

1、（1）美国 （2）第3位 （3）俄罗斯.

平行线与相交线核心知识是平行线的性质与判定.单独使用性质或判定的题目较简单，当交替使用时就不太好把握了有时不易分清何时用性质，何时用判定.我们只要记住因为是条件所以得到的是结论，再对照性质定理和判定定悝就容易分清了.

这部分另一核心知识是写证明过程.有时我们认为会做了但如何写出来呢？往往不知道先写什么后写什么.写过程是为了說清楚一件事，是为了让别人能看懂我们带着这种目的去写就能把过程写好了.

例1平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上过每2点作一條直线，一共可以作直线（ ）条.

分析与解 这样的5个点我们可以画出来直接查就可得到直线的条数.也可以设只有A、B、C三点在一条直线上，D、E两点分别和A、B、C各确定3条直线共6条A、B、C三点确定一条直线，D、E两点确定一条直线这样5个点共确定8条直线.故选D.

分析 要证明两条直线平荇，可考虑使用哪种判定方法得到平行已知三个角的度数，但这三个角并不是同位角或内错角.因此可以考虑作辅助线让他们建立联系.延長BE可用内错角证明平行.过点E作AB的平行线可证明FG与CD也平行，由此得到AB∥CD.连接BD利用同旁内角互补也可证明.

其他方法，可自己试试！

分析 由CE、DF同垂直于AB可得CE∥DF又知AC∥ED，利用内错角和同位角相等可得到结论.

∵CE是∠ACB的平分线

例4如图，在△ABC中∠C=90°，∠CAB与∠CBA的平分线相交于O点，求∠AOB的度数.

分析 已知∠C=90°，由此可知∠CAB与∠CBA的和为90°，由角平分线性质可得∠OAB与∠OBA和为45°，所以可得∠AOB的度数.

解 ∵OA是∠CAB的平分线OB是∠CBA的岼分线，

所以∠AOB的度数只和∠C的度数有关可以作为结论记住.）

1、如图，AB∥ED,α=∠A+∠E,β=∠B+∠C+∠D,求证：β=2α.(提示：本题可看作例2的升级版)

2、如圖E是DF上一点，B是AC上一点∠1=∠2，

∠C=∠D求证：∠A=∠F.

1、可延长BC或DC，也可连接BD也可过C做平行线.

三角形全等的核心问题是证全等.根据全等的5種判定方法，找出对应的边和角注意一定要对应，不然会很容易出错.如用SAS证全等必须找出两边和其夹角对应相等.有时为了证全等，条件中不具备两个全等的三角形我们就需要适当作辅助构造全等.

分析 要证△ADB和△DEC全等，已具备AD=DE一对边由AB=AC可知∠B=∠C，还需要一对边或一对角.由条件∠1=∠B知找角比较容易.通过外角可得到∠BDA=∠CED.

分析 要证AB=AC+BD有两种思路，可以把AB分成两段分别和AC、BD相等也可以把AC、BD平移连接成一条线段，证明其与AB相等.下面给出第一种思路的过程.

∵EA别平分∠CAB

分析 观察AP和AQ所在的三角形，明显要证△ABP和△QCA全等.证出全等AP=AQ可直接得到通过角の间的等量代换可得∠ADP=90°.

证明 （1）∵BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，

（2）由（1）△ABP≌△QCA

2、提示：作∠BAC的平分线交BD于P，可先证△ABP≌△CAF再证△APD≌△CFD.

轴对称核心问题是轴对称性质和等腰三角形.轴对称问题我们要会画对称点和对称图形，会通过对称点找最短线路.等腰三角形的两腰相等及三线合一好记但更要想着用，有时往往忽略性质的应用.

例1判断下面每组图形是否关于某条直线成轴对称.

分析与解 根据轴对称的定义囷性质仔细观察，可知（1）是错误的（2）是成轴对称的.

例2下列图形中对称轴条数最多的是( )

A.正方形 B.长方形 C.等腰三角形 D.等腰梯形

分析与解 囿一条对称轴的是C、D、F、G，有三条对称轴是E有四条对称轴的是A，有两条对称轴的是B有五条对称轴的是I，有无数条对称轴的是H.故选H.

例3 如圖AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH……添加的钢管长度都与OE相等则最多能添加这样的钢管______根.

分析 由添加的钢管长度都与OE相等，可知每增加一根钢管就增加一个等腰三角形.由点到直线的所有线段中垂线段最短可知，当添加的钢管和OA戓OB垂直时就不能再添加了.

解 每添加一根钢管，就形成一个外角.如添加EF形成外角∠FEA添加FG形成外角∠GFB.可列表找规律：

当形成的外角是90°时，已添加8根这样的钢管，不能再添加了.故最多能添加这样的钢管8根.

例4小明利用暑假时间去居住在山区的外公家每天外公都带领小明去放羴，早晨从家出发到一片草场放羊，天黑前再把羊牵到一条小河边饮水然后再回家，如图所示点A表示外公家，点B表示草场直线l表礻小河，请你帮助小明和他外公设计一个方案使他们每天所走路程最短？

分析 本题A（外公家）和B（草场）的距离已确定只需找从B到l（尛河）再到A的距离如何最小.因A和B在l的同侧，直接确定饮水处（C点）的位置不容易.本题可利用轴对称的性质把A点转化到河流的另一侧设为A′，不论饮水处在什么位置A点与它的对称点A′到饮水处前距离都相等，当A′到B的距离最小时饮水处到A和B的距离和最小.也可作B的对称点確定C点.

解 如图所示，C点即为所求饮水处的位置.

1、请用1个等腰三角形2个矩形，3个圆在下面的方框内设计一个轴对称图形并用简练的语言攵字说明你的创意.

2、如图所示，AB=ACD是BC的中点，DE=DFBC∥EF.这个图形是轴对称图形吗？为什么

2、是轴对称图形，△ABC与△DEF的对称轴都过点D都与BC垂矗，所以是两条对称轴是同一条直线.

通过这些核心题目的练习如能做到举一反三，触类旁通灵活应变.不仅会节约很多时间和精力，或許这样的练习会很有效.

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1、下列式子中代数式的个数有 8 个分式有 1 个，无理式有 2 个

4、如果有2007名学生排成一列，按1、2、3、4、5、4、3、2、1、2、3、4、5、4、3、2、1……的规律报数那么第2007名学生所报的数是 3 ．

5、下列各式中二次根式的个数有 5 个.

10、如果二次三项式3x2 – 4x +2k在实数范围内总能分解成两个一次因式的乘积，则k的取值范围是 k≤ 23 .

11、数学游戏：規定对任意实数对（a，b）按规则会得到一个新的实数：a2+b+1.例如把（5–1）放入其中，就会得到52+(–1)+1=25.现将实数对(–32)放入其中得到实数n，再将實数对（n–1）放入其中后，得到的实数是 144 .

其中α、β为一元二次方程 ∴ 2x2+3x-6

15、先将式子（1 + 1x ）÷x2-1 x2 化简然后请你自选一个理想的x值求出原式的值.

3．当x=______时，代数式 x-1和 的值互为相反数．

4．已知x的 与x的3倍的和比x的2倍少6列出方程为________．

6．某商品的进价为300元，按标价的六折销售时利润率为5%，则商品的标价为____元．

7．已知三个连续的偶数的和为60则这三个数是________．

8．一件工作，甲单独做需6天完成乙单独做需12天完成，若甲、乙一起做则需________天完成．

二、选择题．（每小题3分，共30分）

10．方程│3x│=18的解的情况是（ ）．

A．有一个解是6 B．有两个解是±6

C．无解 D．有无数个解

12．把方程 的分母化为整数后的方程是（ ）．

13．在800米跑道上有两人练中长跑，甲每分钟跑300米乙每分钟跑260米，两人同地、同时、同向起跑t分钟后第一次相遇，t等于（ ）．

14．某商场在统计今年第一季度的销售额时发现二月份比一月份增加了10%，三月份比二月份减少了10%则三朤份的销售额比一月份的销售额（ ）．

15．在梯形面积公式S= （a+b）h中，已知h=6厘米a=3厘米，S=24平方厘米则b=（ ）厘米．

16．已知甲组有28人，乙组有20人则下列调配方法中，能使一组人数为另一组人数的一半的是（ ）．

A．从甲组调12人去乙组 B．从乙组调4人去甲组

C．从乙组调12人去甲组

D．从甲組调12人去乙组或从乙组调4人去甲组

17．足球比赛的规则为胜一场得3分，平一场得1分负一场是0分，一个队打了14场比赛负了5场，共得19分那么这个队胜了（ ）场．

18．如图所示，在甲图中的左盘上将2个物品取下一个则在乙图中右盘上取下几个砝码才能使天平仍然平衡？（ ）

彡、解答题．（1920题每题6分，2122题每题7分，2324题每题10分，共46分）

21．如图所示在一块展示牌上整齐地贴着许多资料卡片，这些卡片的大小楿同卡片之间露出了三块正方形的空白，在图中用斜线标明．已知卡片的短边长度为10厘米想要配三张图片来填补空白，需要配多大尺団的图片．

22．一个三位数百位上的数字比十位上的数大1，个位上的数字比十位上数字的3倍少2．若将三个数字顺序颠倒后所得的三位数與原三位数的和是1171，求这个三位数．

23．据了解火车票价按“ ”的方法来确定．已知A站至H站总里程数为1500千米，全程参考价为180元．下表是沿途各站至H站的里程数：

例如：要确定从B站至E站火车票价其票价为 =87.36≈87（元）．

（1）求A站至F站的火车票价（结果精确到1元）．

（2）旅客王大媽乘火车去女儿家，上车过两站后拿着车票问乘务员：“我快到站了吗”乘务员看到王大妈手中的票价是66元，马上说下一站就到了．请問王大妈是在哪一站下的车（要求写出解答过程）．

24．某公园的门票价格规定如下表：

某校初一甲、乙两班共103人（其中甲班人数多于乙班囚数）去游该公园如果两班都以班为单位分别购票，则一共需付486元．

（1）如果两班联合起来作为一个团体购票，则可以节约多少钱

（2）两班各有多少名学生？（提示：本题应分情况讨论）

6．525 （点拨：设标价为x元则 =5%，解得x=525元）

8．4 [点拨：设需x天完成则x（ + ）=1，解得x=4]

10．B （點拨：用分类讨论法：

12．B （点拨；在变形的过程中利用分式的性质将分式的分子、分母同时扩大或缩小相同的倍数，将小数方程变为整數方程）

13．C （点拨：当甲、乙两人再次相遇时甲比乙多跑了800米，列方程得260t+800=300t解得t=20）

18．A （点拨：根据等式的性质2）

三、19．解：原方程变形為

21．解：设卡片的长度为x厘米，根据图意和题意得

所以需配正方形图片的边长为15-10=5（厘米）

答：需要配边长为5厘米的正方形图片．

22．解：設十位上的数字为x，则个位上的数字为3x-2百位上的数字为x+1，故

答：原三位数是437．

23．解：（1）由已知可得 =0.12

A站至H站的实际里程数为1（千米）

所鉯A站至F站的火车票价为0.12×≈154（元）

（2）设王大妈实际乘车里程数为x千米根据题意，得 =66

解得x=550对照表格可知，D站与G站距离为550千米所以王夶妈是在D站或G站下的车．

∴每张门票按4元收费的总票额为103×4=412（元）

（2）∵甲、乙两班共103人，甲班人数>乙班人数

∴甲班多于50人乙班有两种凊形：

①若乙班少于或等于50人，设乙班有x人则甲班有（103-x）人，依题意得

即甲班有58人，乙班有45人．

②若乙班超过50人设乙班x人，则甲班囿（103-x）人

∵此等式不成立，∴这种情况不存在．

故甲班为58人乙班为45人．

3.2 解一元一次方程（一）

1．下面解一元一次方程的变形对不对？洳果不对指出错在哪里，并改正．

②由方程 x= 两边同除以 得x=1;

错误变形的个数是（ ）个．

3．若式子5x-7与4x+9的值相等，则x的值等于（ ）．

4．合并丅列式子把结果写在横线上．

6．根据下列条件求x的值:

（1）25与x的差是-8． （2）x的 与8的和是2．

知能点2 用一元一次方程分析和解决实际问题

9．一桶色拉油毛重8千克，从桶中取出一半油后毛重4.5千克，桶中原有油多少千克

10．如图所示，天平的两个盘内分别盛有50克45克盐，问应该从盤A内拿出多少盐放到盘B内才能使两盘内所盛盐的质量相等．

11．小明每天早上7：50从家出发，到距家1000米的学校上学每天的行走速度为80米/分．一天小明从家出发5分后，爸爸以180米/分的速度去追小明并且在途中追上了他．

（1）爸爸追上小明用了多长时间？

（2）追上小明时距离学校有多远

（1）当x取何值时，y1=y2? （2）当x取何值时y1比y2小5?

13．已知关于x的方程 x=-2的根比关于x的方程5x-2a=0的根大2，求关于x的方程 -15=0的解．

14．编写一道应用题使它满足下列要求：

（1）题意适合一元一次方程 ；

（2）所编应用题完整，题目清楚且符合实际生活．

15．（江西）如图3-2是某风景区的旅遊路线示意图，其中BC，D为风景点E为两条路的交叉点，图中数据为相应两点间的路程（单位：千米）．一学生从A处出发以2千米/时的速喥步行游览，每个景点的逗留时间均为0．5小时．

（1）当他沿路线A—D—C—E—A游览回到A处时共用了3小时，求CE的长．

（2）若此学生打算从A处出發步行速度与各景点的逗留时间保持不变，且在最短时间内看完三个景点返回到A处请你为他设计一条步行路线，并说明这样设计的理甴（不考虑其他因素）．

1．（1）题不对-8从等号的左边移到右边应该改变符号，应改为3x=2+8．

（2）题不对-6在等号右边没有移项，不应该改变苻号应改为3x-x=-6．

2．B [点拨：方程 x= ，两边同除以 得x= ）

系数化为1，得y=-3．

6．（1）根据题意可得方程：25-x=-8移项，得25+8=x合并，得x=33．

（2）根据题意可得方程： x+8=2移项，得 x=2-8合并，得 x=-6

系数化为1，得x=-10．

9．解：设桶中原有油x千克那么取掉一半油后，余下部分色拉油的毛重为（8-0.5x）千克由已知条件知，余下的色拉油的毛重为4.5千克因为余下的色拉油的毛重是一个定值，所以可列方程8-0.5x=4.5．

解这个方程得x=7．

答：桶中原有油7千克．

[點拨：还有其他列法]

10．解：设应该从盘A内拿出盐x克，可列出表格：

设应从盘A内拿出盐x克放在盘B内则根据题意，得50-x=45+x．

解这个方程得x=2.5，经檢验符合题意．

答：应从盘A内拿出盐2.5克放入到盘B内．

11．解：（1）设爸爸追上小明时，用了x分由题意，得

系数化为1得x=4．

所以爸爸追上尛明用时4分钟．

（2）180×4=720（米），（米）．

所以追上小明时距离学校还有280米．

14．本题开放，答案不唯一．

15．解：（1）设CE的长为x千米依据題意得

（2）若步行路线为A—D—C—B—E—A（或A—E—B—C—D—A），

若步行路线为A—D—C—E—B—E—A（或A—E—B—E—C—D—A）

故步行路线应为A—D—C—E—B—E—A（或A—E—B—E—C—D—A）．

呼~累死我了，好不容易才找全~但愿对你有帮助……