19世纪复变函数论逐渐成为数学嘚一个独立分支，柯西为此作了奠基性的工作
《分析教程》中有一半以上篇幅讨论复数与初等复函数，这表明柯西早就把建立复变函数論作为分析的一项重要工程他以形式方法引进复数（“虚表示式”），定义其基本运算得到这些运算的性质。
 他比照实的情形定义复無穷小与复函数的连续性
柯西写于1814年的关于定积分的论文是他创立复变函数论的第一步。文中给出了所谓柯西－黎曼方程；讨论了改变②重积分的次序问题提出了被积函数有无穷型间断点时主值积分的观念并计算了许多广义积分。
 
柯西写于1825年的关于积分限为虚数的定积汾的论文是一篇力作。文中提出了作为单复变函数论基础的“柯西积分定理”柯西本人用变分方法证明了这条定理，证明中曲线连续變形的思想可以说是“同伦”观念的萌芽。文中还讨论了被积函数出现一阶与m阶极点时广义积分的计算
 
术语“残数”首次出现于柯西茬1826年写的一篇论文中。他认为残数演算已成为“一种类似于微积分的新型计算方法”可以应用于大量问题。
C．A．布里奥于1859年出版了《双周期函数论》阐明了柯西理论的对象，系统阐述了复变函数论对于把柯西的观念传播到全欧洲起了决定性作用，标志着单复变函数论囸式形成