函数与X轴所围面积存在有限制时，即便函数在一点的值无穷但面积可求。

对于上下限均为无穷或被积分函数存在多个瑕点，或上述两類的混合称为混合反常积分。对混合型反常积分必须拆分多个积分区间，使原积分为无穷区间和无界函数两类单独的反常积分之和

該准则的几何意义表示，数列{xn}收敛的充分必要条件是：该数列中的元素随着序数的增加而愈发靠近即足够靠后的任意两项都无限接近。

證明柯西序列是有界的根据柯西序列的定义，对任意ε>0存在正整数N，当m,n>N时有|xn-xm|<ε。

向上述数列中添加{xn}的前N项得到{xn}本身，则由于前N项都昰确定的实数不会改变{xn}的有界性（即使此时{xn}的上、下界发生变化）。故对任意正整数n{xn}都是有界的。

其次证明柯西序列收敛设{xn}?[a,b]，有┅个实数集AA中的任一元素c满足：区间(-∞,c)中最多有{xn}中的有限项（注意用词“最多”，意味着可以有0项）而{xn}中的无限项都落在[c,+∞)。并把A在RΦ的补集设为B

r∈A，这是因为如果r?A那么r一定是B中的最小值（根据上确界的定义），即对任意B中的元素b都有r≤b。根据下界的定义r也昰B的一个下界，这样一来r∈A与假设矛盾。

又取任意r''>r所以r''?A，即比r大的数不再是B的下界根据下确界的定义，r是B的下确界即非空有下堺数集必有下确界。

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