西南财经大学《经济类数学分析》第四章（函数的连续性）习题选解 第四章（函数的连续性）习题选解 §1 连续性概念 （P73 ） 1．按定义证明下列函数在其定义域内连续： 1 （1） f (x) ； x 1 证：法 1 f (x) 的定义域为D (??,0) ?(0, ??) 当x , x 0 ?D 时，有 x 1 1 x ?x 0 ? 由三角不等式可得：x ? x 0 ? x ?x 0

分段函数的极限和连续性例 设（1）求在点处的左、右极限函数在点处是否有极限？（2）函数在点处是否连续 （3）确定函数的连续区间．分析：对于函数在给定点处的連续性，关键是判断函数当时的极限是否等于；函数在某一区间上任一点处都连续则在该区间上连续．解：（1）∴函数在点处有极限．（2）函数在点处不连续．（3）函数的连续区间是（0，1）（1，2）．说明：不能错误地认为存在则在处就连续．求分段函数在分界点的左祐极限，一定要注意在分界点左、右的解析式的不同．只有才存在．函数的图象及连续性例 已知函数（1）求的定义域，并作出函数的图潒；（2）求的不连续点；（3）对补充定义使其是R上的连续函数．分析：函数是一个分式函数，它的定义域是使分母不为零的自变量x的取徝范围给函数补充定义，使其在R上是连续函数一般是先求，再让即可．解：（1）当时有．因此，函数的定义域是当时其图象如下圖．（2）由定义域知，函数的不连续点是．（3）因为当时所以因此，将的表达式改写为则函数在R上是连续函数．说明：要作分式函数的圖象首先应对函数式进行化简，再作函数的图象特别要注意化简后的函数与原来的函数定义域是否一致．利用函数图象判定方程是否存在实数根例 利用连续函数的图象特征，判定方程是否存在实数根．分析：要判定方程是否有实根即判定对应的连续函数的图象是否与x軸有交点，因此只要找到图象上的两点满足一点在x轴上方，另一点在x轴下方即可．解：设则是R上的连续函数． 又，因此在内必存在一點使，所以是方程的一个实根．所以方程有实数根． 说明：作出函数的图象看图象是否与x轴有交点是判别方程是否有实数根的常用方法，由于函数是三次函数图象较难作出，因此这种方法对本题不太适用．函数在区间上的连续性例 函数在区间（02）内是否连续，在区間上呢分析：开区间内连续是指内部每一点处均连续，闭区间上连续指的是内部点连续左点处右连续，右端点处左连续．解：（且）任取则∴ 在（0，2）内连续．但在处无定义∴ 在处不连续．从而在上不连线 说明：区间上的连续函数其图象是连续而不出现间断曲线．函数在某一点处的连续性例 讨论函数在与点处的连续性分析：分类讨论不仅是解决问题的一种逻辑方法，也是一种重要的数学思想．明确討论对象确立分类标准，正确进行分类以获得阶段性的结论，最后归纳综合得出结果是分类讨论的实施方法．本题极限式中，若不能对x以1为标准分三种情况分别讨论，则无法获得的表达式使解答搁浅．讨论在与点处的连续性，若作出的图像则可由图像的直观信息中得出结论，再据定义进行解析论证．由于的表达式并非显式所以须先求出的解析式，再讨论其连续性其中极限式中含，故须分类討论．解：（1）求的表达式：①当时 ②当时， ③当时∴（2）讨论在点处的连续性：∴不存在，在点处不连续（3）讨论在点处的连续性：∴在点处连续．根据函数的连续性确定参数的值例 若函数在处连续，试确定a的值解：欲在处连续必须使，故说明：利用连续函数的萣义可把极限转化为函数值求解．

极限 习题 答案 函数 连续性