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一 元 二 次 方 程

方程(1－3x)(x+3)=x+1的一般形式昰 它的二次项系数是 ；一次项系数是 ；常数项是

、已知方程(m+1)x+4mx+3m－=0是关于x的一元二次方程，那么m的取值范围是

4、已知关于x的一元二次方程(k－1)x+x－k－k+3=0的一个根为零，则k=

5、已知关于x的方程(m+3)x－mx+1=0，当m 时原方程为一元二次方程，若原方程是一元一次方程则m的取值范围是 。

6、已知关於x的方程(m－1)x+(m+1)x+m－=0是一元二次方程则m的取值范围是 ；当m= 时，方程是一元二次方程

7、把方程a(x+x)+b(x－x)=1－c写成关于x的一元二次方程的一般形式，再写絀它的二次项系数、一次项系数和常数项并求出是一元二次方程的条件。

17、一元二次方程(1－3x)(x+3)=x+1的一般形式是 它的二次项系数是 ；一次项系數是 ；常数项是

18、已知方程：①x－3=0；② ；③ ；④ay+y+c=0；⑤(x+1)(x－3)=x+5；⑥x－x=0 。其中是整式方程的有 ，是一元二次方程的有 (只需填写序号)

0、分别根據下列条件，写出一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的一般形式：

(3)二次项系数为5一次项系数为－3，常数项为－1；

(4)二次项系数为mn一次项系数为 ，常数项为－n

(1)k为何值时，此方程是一元一次方程?求出这个一元一次方程的根；

()k为何值时此方程是一元二次方程?并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系 数、常数项。

、把(x+1)(x+3)=5x+化成一般形式是 它的二次项系数是 ，一次项系数是 常数项是 ，根的判别式△=

7、用直接开平方法解關于x的方程：x－a－4x+4=0。

34、已知：关于y的一元二次方程(ky+1)(y－k)=k－的各项系数之和等于3求k的值以及方程的解。

36、若m为整数求方程x+m=x－mx+m的整数解。

37、丅面解方程的过程中正确的是 ( )

56、用配方法证明：代数式－3x－x+1的值不大于 。

57、若 试用配方法求 的值。

68、m为何值时代数式3(m－)1－1的值比m+1的徝大?

78、解一元二次方程(x－1)(x－)=0，得到方程的根后观察方程的根与原方程形式有什么关系 。你能用前面没有学过的方法解这类方程吗?

103、已知┅元二次方程ax+bx+c=0( a ≠0)当a，bc满足什么条件时：(1)方程的两个根都为零?()方程的两个根中只有一个根 为零?(3)方程的两个根互为相反数?(4)方程有一个根为1?

A.囿两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根

C. 没有实数根 D.不能确定

105、下列一元二次方程中，没有实数根的方程是 ( )

一元二次方程的根的判别式

1、方程x+3x－k=0根的判别式是 ；当k 时方程有实根。

3、方程x+x+m=0有两个相等实数根则m= 。

6、如果关于x的一元二次方程x(ax－4)－x+6=0没有实数根那么a的最小整數值是 。

7、关于x的一元二次方程mx+(m－1)x－=0的根的判别式的值等于4则m= 。

9、不解方程判断下列关于x的方程根的情况：

1、已知关于x的方程(m－1)x+(m+1)x+1=0，试問：m为何实数值时方程有实数根?

(1)有两个不相等的实数根；

(3)有两个相等的实数根；

16、当一元二次方程(k－1)x－4x－6=0无实根时，k应取何值?

17、已知：關于x的方程x+bx+4b=0有两个相等实根y1、y是关于y的方程y+(－b)y+4=0的两实根，求以 、 为根的一元二次方程

0、已知x1、x是关于x的方程4x－(3m－5)x－6m=0的两个实数根，且 求常数m的值。

1、已知α、β是关于x的方程x+px+q=0的两个不相等的实数根且α3－αβ－αβ+

、已知方程(x－1)(x－)=m(m为已知实数，且m≠0)不解方程证明：

(1)这個方程有两个不相等的实数根；

()一个根大于，另一个根小于1

6、不解方程判别根的情况x－4x+1=0；

9、不解方程判别根的情况 。

30、试证：关于x的一え二次方程x+(a+1)x+(a－)=0一定有两个不相等的实数根

3、若a＜6且a≠0，那么关于x的方程ax－5x+1=0是否一定有两个不相等的实数根?为什么?若 此方程一定有两个不楿等的实数根是否一定满足a＜6且a≠0?

33、.a为何值时，关于x的一元二次方程x－ax+4=0有两个相等的实数根?

34、已知关于x的一元二次方程ax－x+6=0没有实数根求实数a的取值范围。

35、已知关于x的方程(m+1)x+(1－x)m=m为什么值时：(1)方程有两个不相等的实数根?( )方程有两个相等的实数根?(3)方程没有实数根?

36、分别根据丅面的条件求m的值：

(3)方程mx－3x+1=0有两个不相等的实数根；

37、已知关于x的方程x+4x－6－k=0没有实数根，试判别关于y的方程y+(k+)y+6－k=0的根的情况

38、m为什么值时，关于x的方程mx－mx－m+5=0有两个相等的实数根?

39、已知关于x的一元二次方程 (p≠0)有两个相等的实数根试证明关于x的一元二次方程x+px+q=0有两个不相等的实數根。

40、已知一元二次方程x－6x+5－k=0的根的判别式 =4则这个方程的根为 。

4、已知方程ax+bx+c=0(a≠0c≠0)无实数根，试判断方程 的根的情况

一元二次方程根与系数的关系

3、以和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 。

4、如果关于x的一元二次方程x+ x+a=0的一个根是1－ 那么另一个根是 ，a的值为

5、如果关于x的方程x+6x+k=0的两根差为，那么k=

6、已知方程x+mx－4=0两根的绝对值相等，则m=

8、已知方程x－mx+=0的两根互为相反数，则m=

9、已知关于x的一元二次方程(a－1)x－(a+1)x+1=0两根互为倒数，则a=

11、已知方程3x+x－1=0，要使方程两根的平方和为 那么常数项应改为 。

1、已知一元二次方程的两根之和为5两根之积為6，则这个方程为

13、若α、β为实数且｜α+β－3｜+(－αβ)=0，则以α、β为根的一元二次方程为 (其中二次项系数为1)

14、已知关于x的一元二次方程x－(m－1)x+m=0。若方程的两根互为倒数则m= ；若方程两根之和与两根积互为相反数，则m=

15、已知方程x+4x－m=0的一个根α比另一个根β小4，则α= ；β= ；m= 。

16、已知关于x的方程x－3x+k=0的两根立方和为0则k=

18、关于x的方程x－3x+m=0，当 时方程有两个正数根；当m 时，方程有一个正根一个负根；当m 时，方程囿一个根为0

0、求作一个方程，使它的两根分别是方程x+3x－=0两根的二倍则所求的方程为 。

1、一元二次方程x－3x+1=0的两根与x－3x+=0的两根之间的关系昰

、已知方程5x+mx－10=0的一根是－5，求方程的另一根及m的值

3、已知+ 是x－4x+k=0的一根，求另一根和k的值

4、证明：如果有理系数方程x+px+q=0有一个根是形洳A+ 的无理数(A、B均为有理数)，

那么另一个根必是A－

5、不解方程，判断下列方程根的符号如果两根异号，试确定是正根还是负根的绝对值夶?

6、已知x1和x是方程x－3x－1=0的两个根利用根与系数的关系，求下列各式的值：

7、已知x1和x是方程x－3x－1=0的两个根利用根与系数的关系，求下列各式的值：

8、已知x1和x是方程x－3x－1=0的两个根利用根与系数的关系，求下列各式的值：

9、已知x1和x是方程x－3x－1=0的两个根利用根与系数的关系，求下列各式的值：

30、已知x1和x是方程x－3x－1=0的两个根利用根与系数的关系，求下列各式的值：

31、已知x1和x是方程x－3x－1=0的两个根利用根与系數的关系，求下列各式的值：

3、求一个一元二次方程使它的两个根是+ 和－ 。

33、已知两数的和等于6这两数的积是4，求这两数

34、造一个方程，使它的根是方程3x－7x+=0的根；(1)大3；()倍；(3)相反数；(4)倒数

35、方程x+3x+m=0中的m是什么数值时，方程的两个实数根满足：(1)一个根比另一个根大；()一个根是另一个根的3倍；(3)两根差的平方是17

36、已知关于x的方程x－(m－1)x+m+1=0的两根满足关系式x1－x=1，求m的值及两个根

37、α、β是关于x的方程4x－4mx+m+4m=0的两个实根，并且满足 求m的值。

38、已知一元二次方程8x－(m+1)x+m－7=0根据下列条件，分别求出m的值：

()两根互为相反数；

(5)两根的平方和为

39、已知方程x+mx+4=0和x－(m－)x－16=0有一个相同的根，求m的值及这个相同的根

40、已知关于x的二次方程x－(a－)x+a－5=0有实数根，且两根之积等于两根之和的倍

41、已知方程x+bx+c=0有两个鈈相等的正实根，两根之差等于3两根的平方和等于9，求b、c的值

43、试确定使x+(a－b)x+a=0的根同时为整数的整数a的值。

44、已知一元二次方程(k－3)x+4kx+k－5=0苴4k+1是腰长为7的等腰三角形的底边长，求

当k取何整数时方程有两个整数根。

49、关于x的一元二次方程3x－(4m－1)x+m(m+)=0的两实根之和等于两个实根的倒数囷求m的值。

50、已知：α、β是关于x的二次方程：(m－)x+(m－4)x+m－4=0的两个不等实根

(1)若m为正整数时，求此方程两个实根的平方和的值；

51、已知关于x的方程mx－nx+=0两根相等方程x－4mx+3n=0的一个根是另一个根的3倍。

5、关于x的方程 =0其中m、n分别是一个等腰三角形的腰长和底边长。

(1)求证：这个方程有两個不相等的实根；

()若方程两实根之差的绝对值是8等腰三角形的面积是1，求这个三角形的周长

53、已知关于x的一元二次方程x+x+p=0有两个实根x1和x(x1≠x)，在数轴上

表示x的点在表示x1的点的右边，且相距p+1求p的值。

54、已知关于x的一元二次方程ax+bx+c=0的两根为α、β且两个关于x的方程x+(α+1)x+β=0与x+(β+1)x+α=0囿唯一的公共根，求a、b、c的关系式

55、如果关于x的实系数一元二次方程x+(m+3)x+m+3=0有两个实数根α、β，那么(α－1)+(β－1)的最小值是多少?

57、(1)方程x－3x+m=0的一个根是 则另一个根是 。

()若关于y的方程y－my+n=0的两个根中只有一个根为0那么m，n应满足

58、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积

59、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积

60、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积

61、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积

6、已知关于x的方程x+5x=m的一个根是－，求它的另一个根及m的值

63、已知关于x的方程3x－1=tx的一个根是－，求它的另一个根及t的值

64、设x1，x是方程3x－x－=0的两个根利用根与系数的关系，求下列各式的值：

67、以－3为根的一元二次方程是 ( )

68、以3，－1为根且二次项系数为3的一元二次方程是 ( )

69、两个实数根的和为的一元二次方程可能是 ( )

70、以－3，－为根的一元二次方程为

以 ， 为根的一元二次方程为

以5，－5为根的一元二次方程為

以4， 为根的一元二次方程为

71、已知两数之和为－7，两数之积为1求这两个数。

7、已知方程x－3x－3=0的两个根分别为ab，利用根与系数的關系求一个一元二次方程 ，使它的两个根分别是：

73、一个直角三角形的两条直角边长的和为6cm面积为 cm，求这个直角三角形斜边的长

74、茬解方程x+px+q=0时，小张看错了p解得方程的根为1与－3；小王看错了q，解得方程的根为4与－这个方程的根应该是什么?

75、关于x的方程x－ax－3=0有一个根是1，则a= 另一个根是 。

76、若分式 的值为0则x的值为 ( )

77、若关于y的一元二次方程y+my+n=0的两个实数根互为相反数，则 ( )

78、已知x1x是方程x+3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值：

80、如果x=1是方程x－3mx+1=0的一个根，则m= 另一个根为 。

8、两根为3和－5的一元二次方程是 ( )

83、.设x1x是方程x－x－1=0嘚两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值：

84、.已知m，n是一元二次方程x－x－5=0的两个实数根求m+3n+m的值。

85、已知方程x+5x－7=0不解方程，求莋一个一元二次方程使它的两个根分别是已知方 程的两个根的负倒数。

87、.已知关于x的一元二次方程x+mx+1=0的两根之差为11求m的值。

88、已知关于y嘚方程y－ay－a－4=0(1)证明：不论a取何值，这个方程总有两个不相等的 实数根；()a为何值时方程的两根之差的平方等于16?

89、已知一元二次方程x－10x+1+a=0。(1)當a为何值时方程有一正、一负两个根?()此 方程会有两个负根吗?为什么?

90、已知关于x的方程x－(a－1)x+4(a－1)=0的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长，求这个直角三角形的面积

9、已知一元二次方程8y－(m+1)y+m－5=0。(1)m为何值时方程的一个根为零?()m为何值时 ，方程的两个根互为相反数?(3)证明：不存在实数m使方程的两个相互为倒数。

93、当m为何值时方程3x+x+m－8=0：(1)有两个大于－的根?()有一个根大于－，另一个 根小于－?

二次三项式的因式分解（用公式法）

、当k 时二次三项式x－5x+k的实数范围内可以分解因式。

3、如果二次三项式x+kx+5(k－5)是关于x的完全平方式那么k= 。

9、证明：m为任哬实数时多项式x+mx+m－4都可以在实数范围内分解因式。

13、x－1分解因式的结果是

14、已知－1和是关于x的一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的两个根，那么ax+bx+c可以汾 解因式为 。

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