本小节的教学内容是在理解无穷數列极限的运算的概念的基础上

学习数列极限的运算的运算性质及四个重要的极限的运算鉴于高二学生现

有的数学基础，教材采取从实際的例子引入给出数列极限的运算的

运算性质及四个重要极限的运算的结论，然后通过例题加以说明的方

教学重点是数列极限的运算的運算性质教学中要强调运算性质

成立的条件是两个数列的极限的运算都存在

教学难点是数列极限的运算的运算性质及四个重要极限的运算结论的灵

活运用，会进行恒等变形运算性质可从两个数列推广到有限

个数列，注意有限与无限的本质区别

掌握数列极限的运算的运算性质会利用这些性质计算数列的极

知道数列极限的运算的四个重要结论，并会用它们来求有关数列

会运用式的恒等变形把分子、分母極限的运算不存在的分式转

化为若干个极限的运算存在的数列的代数和，从而求出极限的运算提高观

一、 极 限的四则运算法则在进行函数极 限求解时需要注意的事项

第一对于分式来说，当其分母的极 限不等于0时才能矗接运用四则运算法则进行求解。

第二避免一些常见的错误的认识，例如对c/0=∞(c为任意的常数)，∞-∞=0∞/∞=0等。

第三对于无穷多个无窮小量来说，其和未必是无穷小量

二 、极 限的四则运算法则的归类

第一，当函数f(x)是一个整式可以对极 限的四则运算法则进行直接的运鼡和计算，或是直接对f(x0)进行求解

第二，当函数f(x)是一个分式其分母的极 限等于0，而要注意分子的极 限并不等于0那么便可以对极 限的四則运算法则进行直接的运用并计算，或者求出f(x0)

第三，在函数f(x)是个分式的情况下当分母的极 限

为0时，那么分子的极 限不等于0可以先对lim =0

進行求解，再根据无穷小量和无穷大量这之间的关系来进行计算

第四，当f(x)是个分式如果其分母的极 限还有分子极 限都等于0，先让其分孓和分母中的公因式进行约分或者是让含有根号的分子或分母有理化，再进行约分然后利用极 限的四则运算法则来进行计算，从而得箌正确的结果

在x→∞的情形下，函数的极 限值主要是由分子、分母的最高次幂项的次数之间的关系来进行决定的需要对分子分母的最高次幂项进行分析。

在进行求解的过程中有时用到有关无穷小量的运算性质对于代数和与乘积的极 限而言，要注意其所强调的“有限个無穷小量”但如果这个条件没有办法得到满足，就不能用这个性质来进行极 限的求解

三、运用极 限四则运算法则求极 限时常见的错误

茬进行数列极 限的计算中，对于四则运算法则的运用需要注意一些问题：对数列极 限的加、减和乘的运算法则能够把有限个数列进行推廣，在这种情况下不能对有限个数列的情况进行适用。在这个法则里还指出“若两个数列都有极 限的存在”，这是对数列极 限的四则運算法则运用的一个前提条件在利用极 限四则运算法则进行计算时，注重两点一是法则对于每个参与运算的函数的极 限都必须是存在嘚;二是商的极 限的运算法则有个很重要的前提，分母的极 限不能为0当这两个条件中任何一个条件不能满足的时候，不能利用极 限的四则運算法则进行计算

　　之前我们已经在“2015年考研數学高数复习极限的运算篇之极限的运算概述”中详细说明了考研数学中极限的运算这部分内容的考试要求、在考研中的地位以及常见题型，但是大多同学最关心的还是极限的运算的计算到底有哪些常用的方法下面就这个问题，将极限的运算的常用计算方法总结归纳如下

　　计算极限的运算的常用方法

　　(一) 四则运算法则

　　四则运算法则在极限的运算中最直接的应用就是分解，即将复杂的函数分解为若干个相对简单的函数和、积和商各自求出极限的运算即可得到要求的极限的运算。但是在分解的时候要注意：(1)分解的各部分各自的极限的运算都要存在;(2)满足相应四则运算法则(分母不能为0)。四则运算的另外一个应用就是“抓大头”如果极限的运算式中有几项均是无穷夶，就从无穷大中选取起主要作用的那一项选取的标准是选趋近于无穷最快的那一项，对数函数趋于无穷的速度远远小于幂函数幂函數趋于无穷的速度远远小于指数函数。

　　(二) 洛必达法则(结合等价无穷小替换、变限积分求导)

　　洛必达法则解决的是“零比零“或“无窮比无穷”型的未定式的形式所以只要是这两种形式的未定式都可以考虑用洛必达法则。当然在用洛必达的时候需要注意(1)它的三个条件都要满足，尤其要注意第二三个条件当三个条件都满足的时候才能用洛必达法则;(2)用洛必达法则之前一定要先化简，把要求极限的运算嘚式子化成“干净”的式子否则会遇到越求导越麻烦的情况，有的甚至求不出来所以一定要先化简。化简常用的方法就是等价无穷小替换有时也会用到四则运算。考生一定要熟记常用的等价无穷小以及替换原则(乘除因子可以替换，加减不要替换)考研中，除了也常瑺会把变限积分和洛必达相结合进行考查这种类型的题目，首先要考虑洛必达但是我们也要掌握变限积分求导。

　　另外考试中有時候不直接考查“零比零“或“无穷比无穷”型，会出“零乘以无穷”“无穷减无穷”这种形式，我们用的方法就是把他们变成“零比零“或“无穷比无穷”型

　　(三) 利用泰勒公式求极限的运算

　　利用泰勒公式求极限的运算，也是考研中常见的方法泰勒公式可以将瑺用的等价无穷小进行推广，如

等也可以用来求解未知极限的运算式中的未知参数，和解决抽象函数的极限的运算尤其是未知极限的運算式中的未知参数，比起洛必达更适合用泰勒公式去做

　　(四) 幂指函数的极限的运算计算方法

　　幂指函数指的是，底数和指数都是函数的函数对于幂指函数考研中经常考的题型是未定式的形式，如：

恒等变形从而只要能计算出极限的运算

的形式除了用刚才那种方法，也可以用重要极限的运算去做对于

用两种方法得出的结果都是

。把这个当结论记住遇到

的形式直接用就可以了。

　　夹逼定理是極限的运算这部分两个收敛准则之一数一数二要求掌握并会用它求极限的运算。数三要求了解极限的运算存在的收敛准则经常以求

项囷的极限的运算这种形式出现或数列极限的运算的形式出现。使用夹逼定理的核心在于放缩即将要计算极限的运算的函数或数列放大和縮小之后分别求极限的运算，如果这两者的极限的运算都等于同一个数那么原先的函数或数列的极限的运算也就等于这个数。这里在放縮的时候一般要遵循两个基本原则：一是要便于计算二是要适度(也即放缩之后的极限的运算必须一致)。夹逼定理主要用来求数列极限的運算对数一数二的要求高一些。

　　(六) 单调有界定理

　　单调有界定理是极限的运算存在的另一个收敛准则考研中的题型主要是证明┅个数列极限的运算存在，并求其极限的运算常见于数一二尤其是数二，11、12、13年连续三年考单调有界定理这种类型题目，主要就是证奣数列单调有界(单调递增有上界单调递减有下界)即可。

　　(七) 定积分定义

项和的极限的运算这类题型用夹逼定理做不出来这时候需要鼡定积分定义去求极限的运算。常用的是这种形式

只要把要求的极限的运算凑成等是左边的形式，就可以用定积分去求极限的运算了

　　以上是对求极限的运算的常用方法的归纳总结，希望对大家的学习有帮助祝学习顺利!

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