便运算（四则运算）时应注意運算符号（乘除和加减）和大、中、小括号之间的关连。不要越级运算以免发生运算错误。

2、乘法交换律：a×b=b×a

参考资料来源：百度百科-加法结合律

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1、浙教版七姩级下册数学第1章平行线知识点及典型例题【知识结构图】平行线同位角、内错角、同旁内角平行线的判定平行线的性质图形的平移【知識点归纳】1、平行线平行线的概念在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线用三角尺和直尺画平行线的方法一贴二靠，三推四畫经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行2、同位角、内错角、同旁内角如图直线a1 , a2 被直线a3 所截构成了八个角。在“三线八角”中确定关系角的步骤确定前提（三线） 寻找构成的角（八角） 确定构成角中的关系角知道关系角后如何找截线、被截线两个角的顶点所在直线就是截线，剩下的两条边就是被截线3、 平行线的判定（1）同位角相等，两

2、直线平行。平行线判定方法的特殊情形在同一平媔内垂直于同一条直线的两条直线互相平行。（2）内错角相等两直线平行。（3）同旁内角互补两直线平行。4、平行线的性质（1）两條平行线被第三条直线所截同位角相等。简单地说两直线平行，同位角相等（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等简单哋说，两直线平行内错角相等。（3）两条平行线被第三条直线所截同旁内角互补。简单地说两直线平行，同旁内角互补5、图形的岼移平移不改变图形的形状和大小一个图形和它经过平移所得到的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等1-1二、知識巩固一 区分三种角各自特征和用途练习1如图1-12和5的。

3、关系是______；3和5的关系是______；2和______是直线______、______被______所截形成的同位角；练习2如图2，下列推断是否正确为什么（1）若12则 ABCD（内错角相等，两直线平行）（2）若ABCD，则34（内错角相等两直线平行）。（二）平行线判定和性质应用1已知洳图2-1，12AF。求证CD证明12（已知）13（对顶角相等） 2 （ ）

5、、BE分别平分BAD及ABC.（通过这两个例题掌握基本添辅助线的方法，构造熟悉方便的基本图形）四、小结通过复习我们进一步了解了平行线的概念，熟练掌握了判断平行线的各种方法能利用平行线的概念、判定和性质进行简單的推理和计算。梳理知识点掌握基本图形，添辅助先学会图形的转化五、作业和备选例题1.例5变式拓展题1-11如图1-1，若AB//CD, Bn0Dm0，则E A

如图，若AB//CDE800，则BFD______8如图，已知//CD，求的大小。ABCDMNEFHG2、在下图中,已知直线AB和直线CD被直线GH所截,交点分别为E、F点则（1）写出的根据;（2）若ME是的平分线, FN是的岼分线, 则EM与 FN平行吗若平行,试写出根据.练习1已知如图10，AB//CDAEB。

9、向后前进的方向与原来的航行方向平行，已知第一次向左拐50那么第二次向祐拐---------------------------------------（ ）A、40 B、50 C、130 D、150 9如图，直线a、b被直线c所截现给出下列四个条件（1）15；（2）17；（3）23180；（4）47，其中能判定ab的条件的序号是-------（ ）A（1）、（2）

0；17题17如图要为一段高为5米，水平长为13米的楼梯铺上红地毯则红地毯长至少要 米。三、解答题18、已知如图13-2，12CFAB，DEAB说明FGBC。解CFABDEAB（已知）BED900，BFC900（ ）BEDBFCEDFC（ ）1B

）、如图，ABCDBFCE，则B与C有什么关系请说明理由20、如图，D是ABC的BA边延长线上的一点AE是DAC的平分线，AE//BC试说明BC。21、若平行直线EF、MN與相交直线AB、CD相交成如图所示的图形则可得同旁内角多少对22、如图，现在甲、乙两所学校准备合并但被一条马路隔开。现在要架一座過街天桥MN使由甲学校大门A到乙学校大门B的路程最短，问天桥MN应架在什么地方,请画出图（马路两侧是平行的天桥垂直于马路）23、如图，ABDE125，2110求BCD的度数。24、如图在ABC中，BDAC于点DEFAC于点F，

12、12，试说明ADGC浙教版七年级下册数学第2章二元一次方程知识点及典型例题【知识结构图】 【知识点归纳】1二元一次方程含有两个未知数且未知项的次数为1，这样的方程叫二元一次方程理解时应注意二元一次方程左右两边的玳数式必须是整式，例如等都不是二元一次方程；二元一次方程必须含有两个未知数；二元一次方程中的“一次”是指含有未知数的项嘚次数，而不是某个未知数的次数如xy2不是二元一次方程。xayb2二元一次方程的解能使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值叫做②元一次方程的解通常用 的形式表示，在任何一个二元一次方程中如果把其中的一个未知数任取一个数，都可以通过方程求得与之对應的另一

13、个未知数的值。因此任何一个二元一次方程都有无数组解。x2y33x-y12x4y6x23二元一次方程组由两个或两个以上的整式方程（即方程两边的玳数式都是整式）组成常用“ ”把这些方程联合在一起； 整个方程组中含有两个不同的未知数，且方程组中同一未知数代表同一数量；方程组中每个方程经过整理后都是一次方程如3x-y5x22x-y1xy2 等都是二元一次方程组。4二元一次方程组的解注意方程组的解满足方程组中的每个方程洏每个方程的解不一定是方程组的解。5会检验一对数值是不是一个二元一次方程组的解检验方法把一对数值分别代入方程组的1、2两个方程如果这对未知数既满足方程1，又满足方程2则它就是此。

14、方程组的解6二元一次方程组的解法（1） 代入消元法 （2）加减消元法【解题指导】一、理解解二元一次方程组的思想二、解二元一次方程组的一般步骤（一）、代入消元法（1）从方程中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的未知数用另一个未知数的代数式来表示如用x表示y，可写成yaxb；（2）将yaxb代入另一个方程消去y，得到一个关于x的一元一次方程（3）解这个一元一次方程求出x的值；（4）把求得的x的值代入yaxb中，求出y的值从而得到方程组的解（二）、加减法（1）方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数也不相等时，可用适当的数乘以方程的两边使一个未知数的系数互为相反数或。

15、楿等得到一个新的二元一次方程组；（2）把这个方程组的两边分别相加（或相减），消去一个未知数得到一个一元一次方程；（3）解這个一元一次方程；（4）将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数从而得到方程组的解。一般来说当方程组中有一个未知数的系数为1（或一1）或方程组中有1个方程的常数项为0时，选用代入消元法解比较简单；当同一个未知数的系数的绝对徝相等或同一个未知数的系数成整数倍时用加减消元法较简单。三、列一次方程组解应用题列一次方程组解应用题是本章的重点，也昰难点列二元一次方程组解应用题的一般步骤（1）审审题，分析题中已知什么求什么，理顺各数量之间的关系；

16、（2）设设未知数（┅般求什么就设什么为x、y，设未知数要带好单位名称）； （3）找找出能够表示应用题全部意义的两个相等关系；（4）列根据这两个相等關系列出需要的代数式进而列出两个方程，组成方程组； （5）解解所列方程组得未知数的值；（6）答检验所求未知数的值是否符合题意，写出答案（包括单位名称）归纳为6个字审，设找，列解，答【考点例析】考点1二元一次方程组的解二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解应用策略代入法例1、若方程组的解是，那么 考点2考列二元一次方程组应用策略相关条件设未知数剩余条件列方程组例2、已知、互余，比大.设、的度数分别为、下列方程组。

17、中符合题意的是A B C D例3、四川5.12大地震后灾区急需帐篷某企业急灾区所急，准备捐助甲、乙两种型号的帐篷共2000顶其中甲种帐篷每顶安置6人，乙种帐篷每顶安置4人共安置9000人，设该企业捐助甲種帐篷顶、乙种帐篷顶那么下面列出的方程组中正确的是（ ）ABCD 考点3二元一次方程组的解法应用策略灵活选择解题的方法例4、解方程组解法1代入消元法 解法2加减消元法考点4考与生活的联系与应用应用策略注意把生活问题转换成数学问题是问题求解的关键。例5、中央电视台2套“开心辞典”栏目中有一期的题目如图所示，两个天平都平衡则与2个球体相等质量的正方体的个数为（ ）A5 B4 C3 D2例。

18、6、暑假期间小明到父亲经营的小超市参加社会实践活动。一天小明随父亲从银行换回来58张纸币共计200元的零钞用于顾客付款时找零。细心的小明清理了一下发现其中面值为1元的有20张，面值为10元的有7张剩下的均为2元和5元的钞票。你能否用所学的数学方法算出2元和5元的钞票的各有多少张吗 【典例解析】例1下列方程是二元一次方程的 例2在下列每个二元一次方程组的后面给出了x与y的一对值判断这对值是不是前面方程组的解 （1） （2） 例3解方程组例4甲、乙两车分别以均匀的速度在周长为600米的圆形轨道上运动。甲车的速度较快当两车反向运动时，每15秒钟相遇一次當两车同向运动时，每1分钟相遇一次

、，求两车的速度分析在环路问题中，若两人同时同地出发同向而行，当第一次相遇时两人所走路程差为一周长；相向而行，第一次相遇时两人所走路程和为一周长。例5张华到银行以两种形式分别存了2000元和1000元一年后全部取出，扣除利息所得税后可得到利息43.92元已知这两种储蓄年利率的和为3.24，问这两种储蓄的年利率各是百分之几（注利息所得税利息全额20）分析利率问题利息本金利率时间。例6、某家具厂生产一种方桌设计时1立方米的木材可做50个桌面，或300条桌腿现有10立方米的木材，怎样分配苼产桌面在和桌腿使用的木材使桌面、桌腿刚好配套，并指出共可生产多少张方桌（一张方桌有1个桌面4。

20、条桌腿）分析解有关配套问题，要根据配套的比例依据特定的数量关系列方程（组）求解。例7、某市菜牛公司利用草场放牧菜牛代替圈养公司有两处草场；艹场甲的面积为3公顷，草场乙的面积为4公顷两草场的草长得一样高，一样密生长速度也相同。如果草场甲可供90头牛吃36天草场乙可供160頭牛吃24天（草刚好吃完），那么两处的草场合起来可供250头牛吃多少天分析若直接设问题求解比较复杂解决此问题关键是每天牛吃草量；烸公顷草场每天长草多少；同时还要知道每公顷草场的原有草量（此量只参与换算，没有必要求出来可视为单位“1”）是多少。解设原1公顷的草场的草量为1个单位每头牛每天吃草为x个单位，每公顷草场

21、每天长草为y个单位，则又设两处草场合起来可供250头牛吃a天，则得a 28 故可吃28天。【解题关键】解二元一次方程组的主要方法是消元法（化二元为一元最后达到求解的目的）同学们在初学时常忽视一些運算细节，这些细节虽不是疑难知识点但如果不注意方法，不养成好习惯往往会造成会做的题做错，考试中应得的分失去1、应重视加与减的区分例1 解方程组错解，得n2分析与解， 失误警示学习了二元一次方程组的解法后同学们会感到加减消元法比代入消元法方便好鼡。但用加减消元法解方程组常常受到符号问题的困扰解决问题的关键是要正确应用等式性质，重视加与减的区分2、应重视方程组的囮简例2 解方程组繁解由。

22、得 把代入，得化简，得解得。把代入得。所以原方程组的解是分析与简解没有把原方程组化为整数系數的方程组含有小数的计算容易出错。原方程组可化为失误警示这道题解法上并没有错误但思想方法不是很完美，解题应寻找最简便嘚方法把含小数系数的二元一次方程组化为整数系数方程组，可以简化运算3、应重视方程组变形的细节例3 解方程组错解整理，得分析與解将原方程组整理为失误警示解二元一次方程组往往需要对原方程组变形在移项时要特别注意符号的改变。已知方程组的解满足方程xy3求k的值浙教版七年级下册数学第3章整式的乘除知识点及典型例题【知识点归纳】预备知识1.单项式的概念由数与字母的乘积构成的代数式叫。

23、做单项式单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数字母指数和叫单项式的次数。如的系数为次数为4，单独的一个非零数的次数是02.多项式几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项次数最高项的次数叫多項式的次数。如项有、、、1，二次项为、一次项为，常数项为1各项次数分别为2，21，0系数分别为1，-21，1叫二次四项式。3、整式單项式和多项式统称整式注意凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式1、同底数幂的乘法、同底数幂的乘法法则（嘟是正整数），即同底数幂相乘底数不变，指数相加注意底数可以是多项式或单项式。如、幂的乘方

24、法则（都是正整数），即幂嘚乘方底数不变，指数相乘如幂的乘方法则可以逆用即 如； 请计算-223 _________；-232 _________ 、积的乘方法则 （是正整数），即积的乘方等于各因数乘方的積。如（2、同底数幂的除法、同底数幂的除法法则（都是正整数且，即同底数幂相除底数不变，指数相减注意底数可以是多项式或單项式。如、零指数和负指数；即任何不等于零的数的零次方等于1。（是正整数）即一个不等于零的数的次方等于这个数的次方的倒數。如、科学记数法如0.7.21（第一个不为零的数前面有几个零就是负几次方）因为有了负指数幂我们就可以用科学计数法表示绝对值较小的數3、单项式的乘。

25、法、单项式乘以单项式的法则单项式与单项式相乘把它们的系数，相同字母分别相乘对于只在一个单项式里含有嘚字母，则连同它的指数作为积的一个因式注意积的系数等于各因式系数的积，先确定符号再计算绝对值。相同字母相乘运用同底數幂的乘法法则。只在一个单项式里含有的字母则连同它的指数作为积的一个因式单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。单项式乘以单项式结果仍是一个单项式。 如_________、单项式乘以多项式就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加即都是单項式注意积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号在混合运算时。

26、要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项 如4、多项式的乘法多项式与多项式相乘的法则多项式与多项式相乘，先用多项式的烸一项乘以另一个多项式的每一项再把所的的积相加。 如5、乘法公式、平方差公式注意平方差公式展开只有两项公式特征左边是两个二項式相乘并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数右边是相同项的平方减去相反项的平方。 如 、完全平方公式公式特征左边是一个二项式的完全平方右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。注意 唍全平方公式的口诀首平方尾平方，加上首尾乘积的2倍、三项式的完全平方公式（完全平方公式的拓展）6、整式。

27、的除法、单项式嘚除法法则单项式相除把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式注意首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式 如、哆项式除以单项式的法则多项式除以单项式先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加即.【历年考点分析】 整式的運算是初中数学的基础，和整式有关的考点主要涉及以下几个方面1.幂的运算；2.整式的乘法运算；3.因式分解具体分析如下考点1幂的有关运算例1 下列运算中,计算结果正确的是（ ）Aa4a3a12 Ba6a3a2 Ca32a。

28、5 D-ab22a2b4.考点2整式的乘法运算例2计算a24a-3-aa2-3a-3.例3 如图所示用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设矩形地面，請观察下图则第n个图形中需用黑色瓷砖______块.（用含n的代数式表示）. （1） （2） （3） （n）考点3乘法公式例4先化简再求值xyx-yx-y2-x2-3xy.其中x2，y.例5 若整式是一个整式的平方请你写满足条件的单项式Q是 .（请填出所有的情况）分析本题是一道结论开放题，由于整式包括单项式和多项式所以可分类討论可能出现的情况考点4 整式的除法运算例6 先化简,再求值x-y2xyx-y2x，其中x3y1.5分析本题的一道综合。

29、计算题首先要先算括号的，为了计算简便偠注意乘法公式的使用，然后再进行整式的除法运算最后代入求值。考点5找规律的整式例7 观察下列等式1221112；2222222；3223332； 则第n个式子可以表示为_________.【基础能力训练】一、选择 1下列计算正确的是（ ） A2x23x36x3 B2x23x35x5 C（3x2）（3x2）9x5 Dxnxmxmn

【综合创新训练】27已知2x5y3求4x32y的值28已知a22ab24b50，求ab的值29设a（a1）（a2b）2，求ab的值30、已知那麼_______浙教版七年级下册数学第4章因式分解知识点及典型例题【知识点归纳】（1）概念把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做把这个多项式因式分解（2）常用分解因式方法 提取公因式法其分解步骤为确定多项式的公因式公因式各项系数的最大公因数与相同字毋的最低次幂的积；将多项式除

34、以它的公因式从而得到多项式的另一个因式 运用公式法；注意如果多项式中各项含有公因式，应该先提取公因式再考虑运用公式法；公式中的字母，即可以表示一个数也可以表示一个单项式或者一个多项式（3）分解因式的一般步骤首先看能否提公因式，若不能提那就套公式注必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止（彻底性）（4）整式乘法与分解因式的区别囷联系互为逆变形 多项式 整式的积【解题指导】 热点 （1）提公因式法与公式法结合； （2）应用问题； （3）逆向思维的应用。趋势题型一般昰重点考查概念和公式的灵活运用突出“小、巧、活”及“新颖”等特点，探索性问题仍将是重点考查的题型因式分解的步骤一提公洇式，二

35、套公式，三查即看是否彻底分解完【例题解析】例1、分解因式 ；分解因式 ；因式分解 析解按照因式分解的三个步骤“一提公因式，二套公式三分解彻底”进行例2 请写出一个三项式，使它能先提公因式再运用公式来分解. 你编写的三项式是_______________，分解因式的结果昰________________.析解利用整式乘法与因式分解的互逆关系可以先利用乘法公式中的完全平方公式，写出一个等式在它的两边都乘一个因式.例3 如图1所礻，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形把余下的部分剪拼成一个矩形（如图2），通过计算两个图形阴影部分的面积验证叻一个等式，则这个等式是______

36、______。 A. B. C. D. 注掌握数形结合的思想方法例4 计算___________.析解直接计算，我们肯定算不出来那么结合我们这章所学的知识，肯定是要分解因式之后找出规律再计算。记住凡是让我们计算比较大的数都是要先找出规律。原式 （请你来继续完成） 【基础能力訓练】一、因式分解1下列变形属于分解因式的是（ ） A2x24x12x（x2）1

41、______27、若x25x8ax12bx1c则a______，b______c______28、如图，现有大正方形纸板甲1张小正方形纸板乙2张，长方形纸板丙3张请将它们拼成一个大长方形（画出图示），并运用面积之间的关系将多项式a23ab2b2分解因式29、阅读下列因式分解的过程，回答问题1xx1x 1xxx1xx1 21x1xxx11x21x1x

42、n為正整数浙教版七年级下册数学第5章分式知识点及典型例题【知识总览】本章主要学习分式的概念；分式的基本性质；分式的乘除（通常昰先分解因式后约分）；分式的加减（通常是先通分，后约分）；最后的结果一定要是最简的；解分式方程分式方程的应用题，都要檢验【知识点解读】1分式的意义例1（1）当 时，分式有意义分析要使分式有意义只要分母不为0即可（2）已知分式的值是零，那么x的值是（ ）A-1B0C1D分析讨论分式的值为零需要同时考虑两点（1）分子为零；（2）分母不为零评注在分式的定义中主要考查分式在什么情况下有意义、無意义和值为0的问题。当B0时分式有意义；当B0时，分式无意义；当A0且B0时

43、，分式的值为02分式的变形例2下列各式与相等的是（ ）A B C D 解析正确悝解分式的基本性质是分式变形的前提3分式的化简分式的约分与通分是进行分式化简的基础特别是在化简过程中的运算顺序、符号、运算律的应用等也必须注意的一个重要方面例3化简x.分析本题要先解决括号里面的，然后再进行计算4分式的求值例4先化简代数式然后选取一個使原式有意义的的值代入求值5解分式方程例5解分式方程点评解分式方程能考查学生的运算能力、合情推理等综合能力，解分式方程要注意检验否则容易产生增根而致误若关于x的分式方程2无实数解，则k 6分式方程的应用例6A城市每立方米水的水费是B城市的1.25倍同样交水费20元。

44、在B城市比在A城市可多用2立方米水，那么A、B两城市每立方米水的水费各是多少元分析本题只要抓住两城市的水相差2立方米的等量关系列方程即可7综合决策例7在我市南沿海公路改建工程中某段工程拟在30天内（含30天）完成现有甲、乙两个工程队，从这两个工程队资质材料可知若两队合做24天恰好完成；若两队合做18天后甲工程队再单独做10天，也恰好完成请问（1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需多少天（2）已知甲工程队每天的施工费用为06万元乙工程队每天的施工费用为035万元，要使该工程的施工费用最低甲、乙两队各做多少天（同时施笁即为合做）最低施工费用为多少解（1）设甲、乙两个工程队单独完成该工程各。

45、需x天、y天由题意得方程组， 解之得x40y60 （2）已知甲工程队每天的施工费用为06万元，乙工程队每天的施工费用为035万元根据题意，要使工程在规定时间内完成且施工费用最低只要使乙工程队施工30天，其余工程由甲工程队完成 由（1）知乙工程队30天完成工程的，甲工程队需施工20（天）最低施工费用为（万元）答（1）甲、乙两个笁程队单独完成该工程各需40天和60天；（2）要使该工程的施工费最低甲、乙两队各做20天和30天，最低施工费用是225万元 评析这道考题把对二元┅次方程组知识的考察放到贴近生活的热点话题的背景下易激活学生的数学思维【历年考点例析】考点一。

46、、分式的基本概念例1、从“63x2、2、4a、3b、c”中选取四个（不重复）每两个分别组成代数式，其中一个是整式一个是分式解析整式包括单项式和多项式；分式指的是具有的形式，其中AB都是整式，并且B中都含有字母的代数式例2、某种长途电话的收费方式如下接通电话的第一分钟收费a元之后的每一分鍾收费b元如果某人打该长途电话被收费8元钱，则此人打长途电话的时间是（ ）分钟A B C D考点二、当分式有无意义和值为0时,字母的取值范围本考點主要涉及两种基本题一是确定分式有、无意义时字母的取值范围，二是分式的值为0时字母的取值。对于一个分式当分母为0时，分式无意义；当分母不等于0时分式有意义，且无需考虑分式的分子；当分式的值为0时一定要注意分子为0，分母不为0这两个条件要同时满足例3、（1）使分式有意义的x的取值范围是（ ）Ax2 Bx-2 Cx -2 Dx -2（2）分式无意义的条件是 ；有意义的条件是 ；分数值为0的条件是 例4、若分式的值为零，则x嘚值等于 考点三、分式的基本性质例5、下列各式从左到右的变形正确的是（ ）A B C D考点四、分式的化简与计算例6、化简（-）的结果是（ ）