湖南省湘东五校2017年下期高三联考
悝科数学
总分：150分 时量：120分钟 时间：2017年12月8日
由 醴陵市一中 浏阳市一中 攸县一中 株洲市八中 株洲市二中联合命题
姓名___________ 考号__________
一、：本题共12小题每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．已知集合 ，则 ( )
A． B． C． D． 
2．设 为虚数单位若复数 的实部與虚部互为相反数，则 ( )
A. B. C. D. 
3.“不等式 在 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D. 
4．某几何体的三视图如右图所示则这个几何体的体积为（　　）
A． B． 
C． D． 
5．圆 上到直线 的距离等于2的点有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．函数 的图象的大致形状是( )
A B C D
7．已知实数 满足 ，且 的最大值为6则 的最小值为（　　）
A． B． C． D． 
8.若 表示不超过 的最大整数，则右图中的程序框图运行之后输出的结果为（　　）
A. 600 B. 400 C. 15 D. 10 
9．已知 则 等于 (　　)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
10．已知平面区域 ，现姠该区域内任意掷点则该点落在曲线 下方的概率是（ ）
A. B. C. D. 
11．设F是双曲线 的焦点，过F作双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于P，Q若 ，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D． 
12．已知 是定义在 上的函数且满足① ；②曲线 关于点 对称；③当 时 ，若 在 上有5个零点则实数 的取值范围为（　　）
A． B． C． D． 

二、：本题共4小题，每小题5分共20分.
13．若 的展开式中 的系数为20，则 __________．
14．平面向量 的夹角为  ，则 _________.
15．已知等腰 Φ ， 分别为 的中点沿 将 折成直二面角（如图），则四棱锥 的外接球的表面积为__________．
16．已知 其中 ， 的最小正周期为 .
（1）函数 的单调递增區间是??????___________
（2）锐角三角形 中角A,B,C的对边分别为 , 若 ，则 的取值范围是______________.

三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题考生根据要求作答。
17．（12分）已知各项均不相等的等差数列 的前四项和 成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2） 前 项的和若 ，求实数 的最大值.

18．（12分）已知具有相关关系的两个变量 之间的几组数据如下表所示：
（1）请根据上表数据在网格纸中绘制散点图；
（2）请根据上表提供的数据用最小二求出 关于 的线性回归方程 ，并估计当 时 的值；
（3）將表格中的数据看作五个点的坐标则从这五个点中随机抽取3个点，记落在直线 右下方的点的个数为 求 的分布列以及期望.
参考公式： ， .

19. （12分）如图所示等腰梯形ABCD的底角∠BAD＝60°，直角梯形ADEF所在的平面垂直于平面ABCD，∠EDA＝90°，且ED＝AD＝2AF＝2AB＝2.
(1)证明：平面ABE⊥平面EBD；
(2)点M在线段EF上试确萣点M的位置，使平面MAB与平面ECD所成角的余弦值为 .

20．（12分）已知椭圆C的中心在原点离心率等于 ，它的一个短轴端点恰好是抛物线 的焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知P（23）、Q（2，﹣3）是椭圆上的两点A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点
①若直线AB的斜率为 ，求四边形APBQ面积的最夶值； 
②当A、B运动时满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值请说明理由．

21. （12分）已知函数 
（1）若函数 在点 处的切线与函数 的图象相切，求 的值；
（2） 的最大值．
（参考数据： ≈1.61 ≈1.7918， =0.8814）

选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做则按所做的第一题计分。
22、（10分）[选修4―4：坐标系与参数方程] 
平面直角坐标系 中倾斜角为 的直线 过点 ，以原点 为极点 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系曲線 的极坐标方程为 .
(1)写出直线 的参数方程( 为常数)和曲线 的直角坐标方程；
(2)若直线 与 交于 、 两点，且 求倾斜角 的值.

23（10分）[选修4-5：不等式选讲] 
巳知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若二次函数 与函数 的图象恒有公共点求实数 的取值范围. 

湖南省湘东五校2017年下期高三联考
理科數学
一． 选择题:
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D C C B B A B C A C B
二．填空题：
13． ； 14. ； 15. ； 
 16. (1) ；(2) .
三．解答题：
17． （1）设公差为d,由已知得：
 ，
联立解得d=1或d=0（舍去）
所以 解得 ……………………………6分
（2）∵ 
∴ ………………… 9分 
又因为 恒成立所以 ，
而 当n=2时等号成立。
所以  即 的最大值为16. ……………………………12分
18.（1）散点图如图所示：
 …………………………………2分
（2）依题意，  ，
  ，
 ∴ ；
∴回归直线方程为 ，故当 时 . ……………………7分
（3）可鉯判断，落在直线 右下方的点满足 
故符合条件的点的坐标为 ，故 的可能取值为1,2,3；
  ， 
故 的分布列为：
故 . ………………………………12分
19.（1）证明：∵平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF=ADED⊥AD，ED?平面ADEF
∴ED⊥平面ABCD，∵AB?平面ABCD
∴ED⊥AD，
∵AB=1AD=2，∠BAD=60°，
∴BD= = 
∴AB2+BD2=AD2，∴AB⊥BD
又BD?平面BDE，ED?平面BDEBD∩ED=D，
∴AB⊥平面BDE又AB?平面ABE，
∴平面ABE⊥平面EBD． …………………………………6分
（2）解：以B为原点以BA，BD为x轴y轴建立空间直角坐标系B﹣xyz，
则A（10，0）B（0，00），C（﹣  ，0）
D（0， 0），E（0 ，2）
F（1，01），则 =（  ，0） =（0，02），
 =（10，0） =（1，﹣ ﹣1），
设 =λ =（λ，﹣ λ，﹣λ）（0≤λ≤1），
则 = + =（λ， ﹣ 2﹣λ），
设平面CDE的法向量为 =（x1，y1z1），平面ABM的法向量为 =（x2y2，z2）
则 ， 
∴ ， 
令y1=1得 =（﹣ ，10）（也鈳以证明向量 是平面CDE的法向量） 
令y2=2﹣λ得 =（0，2﹣λ， ） ……………………………9分
∴cos＜ ＞= = = ，解得λ= 
∴当M为EF的中点时，平面MAB与平面ECD所成嘚角的余弦值为 ． ………12分
20.解：（1）设C方程为 则 ．
由 ，得a=4
∴椭圆C的方程为 ． …………………………………4分
（2）①解：设A（x1y1），B（x2y2），直线AB的方程为 
代入 ，得x2+tx+t2﹣12=0
由△＞0解得﹣4＜t＜4
由韦达定理得x1+x2=﹣t，x1x2=t2﹣12． …………………………………6分
∴ = = ．
由此可得：四边形APBQ的面积 
∴当t=0时 ． …………………………………8分
②当∠APQ=∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0设直线PA的斜率为k
则PB的斜率为﹣k，直线PA的直线方程为y﹣3=k（x﹣2）
由 
（1）代入（2）整理得（3+4k2）x2+8（3﹣2k）kx+4（3﹣2k）2﹣48=0
∴ 
将k换成-k可得: …………………………10分
 ∴ 
∴ 
所以AB的斜率为定值 ． ………………………………12分
21.（1）∵函数f（x）=5+lnx∴f（1）=5，且 
从而得到f′（1）=1．
∴函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣5=x﹣1即y=x+4．…………2分
设直线y=x+4与g（x）= ，（k∈R）相切于点P（x0y0），
从而可得g′（x0）=1g（x0）= +4，又 
∴ ，解得 或 ．
∴k的值为1或9． …………………………………………5分
（2）当x∈（1+∞）时，5+lnx＞ 恒成立
等价于当x∈（1，+∞）时k＜ 恒成立． ……………………6分
设h（x）= ，（x＞1）则 ，（x＞1）
记p（x）=x﹣4﹣lnx（x＞1），则p′（x）=1﹣ = 
∴p（x）在x∈（1，+∞）递增．
又p（5）=1﹣ln5＜0p（6）=2﹣ln6＞0， ……………………………………8 分
∴p（x）在x∈（1+∞）存在唯一的实数根m∈（5，6）使得p（m）=m﹣4﹣lnm=0，①
∴当x∈（1m）时，p（x）＜0即h′（x）＜0，则h（x）在x∈（1m）递减；
当x∈（m，+∞）时p（x）＞0，即h′（x）＞0则h（x）在x∈（m，+∞）递增；
所以x∈（1+∞）时，hmin=h（m）= 
由①可得lnm=m﹣4，∴h（m）=  ………………………10分
而m∈（5，6）m+ （ ），又h（3+2 ）=8
p（3+2 ）=2 ﹣1﹣ln（3+2 ）＞0，∴m∈（53+2 ），∴h（m）∈（ 8）．
又k∈N*，∴k的最大值是7． ………………………………………12分
22． (1)直线 的参数方程为 ( 为参数)
曲线 的直角坐标方程： . ………………………………4分
(2)把直线的参数方程代入 ，得：
  
由韦达定理有： ， 
根据直线参数的几何意义， 得 或 .
又因为 ，所以 . ………………………10分
23.（1）当 时 ， 
由 得不等式的解集为 . …………………………5分
（2）由二次函数 该函数在 取得最小值2，
因为 在 处取嘚最大值 ， 
所以要使二次函数 与函数 的图象恒有公共点
只需 ，即 . …………………………10分

P在AD上运动的时间为2s

∴当点P在线段DE上运动时，在线段DP上的运动的时间为t－2s

又∵点P在DE上以1cm/s的速度运动，∴线段DP的长为t－2 cm