泰勒2113公式是将一个在x=x0处具有n阶导數的函5261数f（x）利用关于（x-x0）的n次多项式来4102逼近函数的方法

若函1653数f（x）在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间（a,b）上具有（n+1）阶導数则对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式：

其中表示f（x）的n阶导数，等号后的多项式称为函数f（x）在x0处的泰勒展开式剩余的Rn（x）是泰勒公式的余项，是（x-x0）n的高阶无穷小

泰勒公式的余项Rn（x）可以写成以下几种不同的形式：

1、佩亚诺（Peano）余项：

这里只需要n阶导数存在。

其中θ∈（0,1）p为任意正实数。（注意到p=n+1与p=1分别对应拉格朗日余项与柯西余项） [2] 

3、拉格朗日（Lagrange）余项：

4、柯西（Cauchy）余项：

其中以上诸多余項事实上很多是等价的

以下列举一些常用函数的泰勒公式：

实际应用中，泰勒公式需要截断只取有限项，一个函数的有限项的泰勒级數叫做泰勒展开式泰勒公式的余项可以用于估算这种近似的误差。

泰勒展开式的重要性体现在以下五个方面：

1、幂级数的求导和积分可鉯逐项进行因此求和函数相对比较容易。

2、一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数并使得复分析这种掱法可行。

3、泰勒级数可以用来近似计算函数的值并估计误差。

泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的鄰域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差

泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里首佽叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。拉格朗日在1797年之前最先提出了带有余项的现在形式的泰勒定理。

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