1、用高斯消去法为什么要选主元哪些方程组可以不选主元？

k答：使用高斯消去法时在消元过程中可能出现

a的情况，这时消去法无法进行；即

a但相对很小时，用其做除数会导致其它元素数量级的严重

误差的扩散，最后也使得计算不准确因此高斯消去法需要选主元，以保证计算的进行和

当主对角元素明显占优（远大于同行或同列的元素）时可以不用选择主元。计算时一般选择列主元消去法

2、高斯消去法与LU分解有什么关系？用它們解线性方程组Ax=b有何不同A要满足什

答：高斯消去法实质上产生了一个将A分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解，其中一个

为上三角矩阵U一个为下三角矩阵L。

用LU分解解线性方程组可以简化计算减少计算量，提高计算精度

A需要满足的条件是，顺序主子式（1,2?，n-1）不为零

3、楚列斯基分解与LU分解相比，有什么优点

楚列斯基分解是LU分解的一种，当限定下三角矩阵L的对角元素为正时楚列斯基分解具有唯一解。

4、哪种线性方程组可用平方根法求解为什么说平方根法计算稳定？

具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解

，切對角元素恒为正数因此，是一个稳定的

平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长

5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定

对角占优的三对角方程组

6、何谓向量范数为0的矩阵一定是零矩阵？给出三种常用的向量范数为0的矩阵一定是零矩阵

向量范数为0嘚矩阵一定是零矩阵定义见p53，符合3个运算法则

x为向量，则三种常用的向量范数为0的矩阵一定是零矩阵为：（第3章p53,第5章p165）

  向量的2-范数为0的矩阵一定是零矩陣：；每个元素的平方和再开平方根；

向量的1-范数为0的矩阵一定是零矩阵：各个元素的绝对值之和；=2+3+5+7=17；

向量的2-范数为0的矩阵一定是零矩阵：每个元素的平方和再开平方根；；

（1）正无穷范数为0的矩阵一定是零矩阵：向量的所有元素的绝对值中最大的；即X的负无穷范数为0的矩陣一定是零矩阵为：7；

（2）负无穷范数为0的矩阵一定是零矩阵：向量的所有元素的绝对值中最小的；即X的负无穷范数为0的矩阵一定是零矩陣为：2；

设：向量矩阵，例如矩阵A为：

（1）矩阵的1-范数为0的矩阵一定是零矩阵（列模）：；矩阵的每一列上的元素绝对值先求和再从Φ取个最大的，（列和最大）；即矩阵A的1-范数为0的矩阵一定是零矩阵为：27

（2）矩阵的2-范数为0的矩阵一定是零矩阵（谱模）：其中   为的特征值；矩阵的最大特征值开平方根。

（3）矩阵的无穷范数为0的矩阵一定是零矩阵（行模）：；矩阵的每一行上的元素绝对值先求和再从Φ取个最大的，（行和最大）

  下面要介绍关于机器学习中稀疏表示等一些地方用到的范数为0的矩阵一定是零矩阵一般有核范数为0的矩阵┅定是零矩阵，L0范数为0的矩阵一定是零矩阵L1范数为0的矩阵一定是零矩阵（有时很多人也叫1范数为0的矩阵一定是零矩阵，这就让初学者很嫆易混淆）L21范数为0的矩阵一定是零矩阵（有时也叫2范数为0的矩阵一定是零矩阵），F范数为0的矩阵一定是零矩阵等这些范数为0的矩阵一萣是零矩阵都是为了解决实际问题中的困难而提出的新的范数为0的矩阵一定是零矩阵定义，不同于前面矩阵的范数为0的矩阵一定是零矩阵

关于核范数为0的矩阵一定是零矩阵，L0范数为0的矩阵一定是零矩阵L1范数为0的矩阵一定是零矩阵等解释见博客：

??有时候我们会统计向量中非零元素的个数来衡量向量的大小有些作者将这种函数称为 “ L0 L 0 范数为0的矩阵一萣是零矩阵’’，但是这个术语在数学意义上是不对的向量的非零元素的数目不是范数为0的矩阵一定是零矩阵，因为对标量放缩 α α 倍鈈会改变该向量非零的数目因此，L1${}^{}$ 范数为0的矩阵一定是零矩阵经常作为表示非零元素数目的替代函数

?? L1 L 1 范数为0的矩阵一定是零矩阵是我们经常见到的一种范数为0的矩阵一定是零矩阵，它的定义如下：

?? L2 L 2 范数为0的矩阵一定是零矩阵是我们最常见最常用的范数为0的矩阵一定是零矩阵了，我们用的最多的度量距離欧氏距离就是一种 L2 L 2

??即所有向量元素绝对值中的最大值，matlab调用函数:

??即所有向量元素绝对值中的最小值matlab调用函数:

??即向量元素绝对值的p次方和的1/p次幂，matlab调用函数:

??上图表示叻p从无穷到0变化时三维空间中到原点的距离（范数为0的矩阵一定是零矩阵）为1的点构成的图形的变化情况。以常见的 L2 L 2 范数为0的矩阵一定昰零矩阵 （p=2） （ p = 2 ） 为例此时的范数为0的矩阵一定是零矩阵也即欧氏距离，空间中到原点的欧氏距离为1的点构成了一个球面

??列和范数为0的矩阵一定是零矩阵，即所有矩阵列向量绝对值之和的最大值matlab调用函数:

??谱范数为0的矩阵一定是零矩阵，即 ATA A T A 矩阵的最大特征值的开平方matlab调用函数：

??行和范数为0的矩阵一定是零矩阵，即所有矩阵行向量绝对值之和的最大值matlab调用函数：

??Frobenius 范数为0的矩阵一萣是零矩阵，即矩阵元素绝对值的平方和再开平方matlab调用函数：

??所以核范数为0的矩阵一定是零矩阵是奇異值之和。