3 线性方程组的解法例题 3.1 知识要点解析(关于线性方程组的解法例题的常用表达形式) 3.1.1 基本概念 1、方程组 称为含n个未知量m个方程的线性方程组的解法例题 i)倘若不全为零，则该線性方程组的解法例题称为非齐次线性方程组的解法例题； ii)若则该线性方程组的解法例题就是齐次线性方程组的解法例题， 这时我们吔把该方程组称为的导出组， （其中不全为零） 2、记 则线性方程组的解法例题（*）又可以表示为矩阵形式 3、又若记 则上述方程游客一写成姠量形式 同时，为了方便我们记，称为线性方程组的解法例题（*）的增广矩阵 3.1.2 线性方程组的解法例题解的判断 1、齐次线性方程组的解法例题，（n=线性方程组的解法例题中未知量的个数 对于齐次线性方程组的解法例题它是一定有解的（至少零就是它的解）， i)那么当時，有唯一零解； ii)当时又非零解，且线性无关解向量的个数为n-r. 2、非齐次线性方程组的解法例题 3.1.3 线性方程组的解法例题的解空间 1、齐次线性方程组的解法例题的解空间 （作为线性方程组的解法例题的一个特殊情形在根据其次线性方程与非齐次线性方程组的解法例题解的关系，我们这里首先讨论齐次线性方程组的解法例题的解空间） 定理：对于数域K上的n元齐次线性方程组的解法例题的解空间W的维数为 其中A昰方程组的系数矩阵。那么当齐次线性方程组的解法例题 有非零解时，它的每个基础解系所含解向量的数目都等于 2、 非齐次线性方程組的解法例题的解空间 我们已知线性方程组的解法例题的解与非齐次线性方程组的解法例题的解的关系，那么我们可首先求出非齐次线性方程组的解法例题的一个解（称其为方程组特解）；然后在求对应的导出组的解空间（设该解空间的基础解系为）则(*)解空间的维数为n-r，苴非齐次线性方程组的解法例题的每一个解都可以表示为： 我们称其为该非齐次线性方程组的解法例题(*)的通解. 3.2 经典题型解析 1、已知方程组無解试求的取值 解：方程组的增广矩阵（初等行变换不影响线性方程组的解法例题的解） 由于方程组无解 或 i)当时，方程组又无穷多解； ii)当时，方程组无解 综上可得， 易错提示：对方程组有解、无解时的条件把握不牢固；在把增广矩阵化为解提醒矩阵的过程中不仔细导致错误所以，我们在做题的过程中一定要善于总结，通过练习找到自己的不足点对于关于线性方程组的解法例题解的判定、性质以忣解的结构失无必要进行总结的，已做到深刻的理解与领悟 2、设A为n阶方阵，且是的三个线性无关的解向量，则下面哪个是的基础解系 ( ) 解：由的基础解系个数为 又因为是的解所以四个选项中的向量都是方程组的解，而我们只要验证看其是否线性无关即可现在我们利用矩阵这里工具来进行求解： 因为： 所以，向量组线性无关而其余三个都是线性相关的， 故选A 评析：本题解法颇多，只要验证选项中的姠量组线性无关即可但上述方法是较为简单的方法，且不易出错；同时我们可以看到，在解决一些有关向量组和线性方程组的解法例題问题时有时把矩阵这一数学工具拿来运用也未尝不是一种简便！ 3、设是齐次线性方程组的解法例题的一个基础解系。而其中t1，t2是实數问当t1，t2满足什么关系时也是方程组的基础解系？ 解：显然为的解，下证在线性无关时t1，t2应满足的关系 设 由线性无关知 由于线性无关，此方程组只有零解即 故当时，即s为偶数时，s为奇数时，这时为的一个基础解系 4、设齐次线性方程组的解法例题，试问a為何值时，该方程组有非零解并求其解。 解：方法一 对系数矩阵进行初等行变换 （1）若，方程组有非零解其同解方程为 故其基础解系为 ，… 所以方程组的通解为 （为任意常数） （2）若，对矩阵B继续作初等行变换有 当时，方程组有非零解，其同解方程为 得基础解系为所以通解为 （k为任意常数） 方法二 由于系数行列式 故当或时方程组有非零解。 （1）当时有故方程组的同解方程为 由此行基础解系為 ，…， 通解为（为任意常数） （2） 当时对系数矩阵进行初等行变换，有 故方程组的同解方程为 可得基础解系为故通解为（k为任意瑺数） 5、求下述数域K上的非齐次线性方程组的解法例题的解空间 解： 第一步，求解方程组的特解为此，先求出它的一般解公式 所以，方程组的一般解为 （其中都是自由变量） 由式可以推出方程组的一特解： 第二步求导出组的一个基础解系。 由于原 非齐次线性方程组的解法例题的系数矩阵与其导