J(q) 可以看成是关节空间的速度矢量 $\stackrel{}{}$q˙? 向笛卡尔空间的速度矢量 $\stackrel{}{}$x˙ 的线性映射雅可比矩阵 $$J(q) 依赖于机器人的构形，是一个依赖于 $$q 的线性变换矩阵雅可比矩阵 $$J(q) 不一定是方阵，它可能是长矩阵也可能是高矩阵，$$J(q) 的行数等于机器人在笛卡尔空间中的自由度数比如平面操作臂的雅可比矩阵有3行，6关节的空间操莋臂的雅可比矩阵是6行对于 $$n 关节的机器人，其雅可比矩阵 ${}^{}$$$6×n的矩阵其中前3行表示对末端执行器线速度 $$v 的传递比，后3行表示对末端执行器角速度 $$

另一方面每一列代表相应的关节速度 $\stackrel{}{{}_{}}$

$\begin{array}{cc}\begin{array}{c}{}_{}\stackrel{}{{}_{}}{}_{}\stackrel{}{{}_{}}{}_{}\stackrel{}{{}_{}}{}_{}\stackrel{}{{}_{}}{}_{}\stackrel{}{{}_{}}{}_{}\stackrel{}{{}_{}}\\ {}_{}\stackrel{}{{}_{}}{}_{}\stackrel{}{{}_{}}{}_{}\stackrel{}{{}_{}}{}_{}\stackrel{}{{}_{}}{}_{}\stackrel{}{{}_{}}{}_{}\stackrel{}{{}_{}}\end{array}& \end{array}$Jai? 分别表示关节 $$i 的单位关节速度引起的末端执行器的线速度和角速度

下面基于矢量积法，不求导而直接构造出 ${}_{}$

Whitney于1972年提出雅可比矩阵的矢量积构造方法线速度和角速度分别使用 $$

$\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\\ \end{array}\begin{array}{c}{}_{}\\ 0\end{array}\stackrel{}{{}_{}}{}_{}\begin{array}{c}{}_{}\\ 0\end{array}& \end{array}$i 在末端执行器上产生的角速度 $$

$\begin{array}{cc}{}_{}\stackrel{}{{}_{}}& \end{array}$

$\begin{array}{cc}{}_{}{}^{}{0}_{}^{}{\stackrel{}{}}_{}& \end{array}$

$\begin{array}{cc}{}_{}\begin{array}{c}{}_{}{}^{}{0}_{}^{}\\ {}_{}\end{array}\begin{array}{c}{}_{}{0}_{}^{}{}^{}{}_{}\\ {}_{}\end{array}& \end{array}$i} 的 z 轴单位矢量（在基座坐标系{0}中表示）

0 表示末端执行器坐标原点想对于坐标系 {$$i} 的位置矢量在基坐标系{$0$

$\begin{array}{cc}{}^{}{0}_{}^{}{0}_{}^{}{}^{}{}_{}& \end{array}$$$T}中进行表示。为此需要在 $$

$\begin{array}{cc}\begin{array}{c}{}^{}\\ {}^{}\end{array}\begin{array}{cc}{0}_{}^{}& 0\\ 0& 0_{}^{}{}^{}\end{array}\begin{array}{c}\\ \end{array}\begin{array}{cc}{0}_{}^{}& 0\\ 0& 0_{}^{}{}^{}\end{array}\stackrel{}{}{}^{}\stackrel{}{}& \end{array}$TJ(q)表示在工具坐标系{$$

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$$