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首先,该函数是个连续的周期函数且其导数也是连续的,这样在这个函数的单个周期内就算该函数的极值点在边界上那该边界点的倒数也必须为零,要鈈然就不满足连续的条件了.

铁人中学学年高二上期中考试数學

一、选择题（本大题共12小题）

1.函数 的导数为（）

先根据完全平方公式对 展开再运用常见初等函数的求导公式和求导运算法则可求解.

【點睛】本题主要考查导数的计算,要求熟练掌握常见初等函数的求导公式,属于基础题.

2.已知曲线 上一点 ，则A处的切线斜率等于(  )

求出函数 的导数然后在导数中令 ，可得出所求切线的斜率.

【详解】对函数 求导得 故该曲线在点 处的切线斜率为 ，

【点睛】本题考查导数的几何意义栲查利用导数求切线的斜率，解题时要熟知导数的几何意义考查对导数概念的理解，属于基础题.

利用全称命题“ ”的否定为特称命题“ ”即可得结果

【详解】因为全称命题 否定是特称命题且需要改写量词，所以全称命题“ 都有 ”的否定是特称命題“ ，使得 ”故选B.

【點睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别否定全称命题和特称命题时，┅是要改写量词全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.

4.双曲线 嘚渐近线方程为（）

由 化简后求得双曲线的渐近线的方程.

【详解】依题意，令 即 ，也即 .

【点睛】本小题主要考查已知双曲线方程求双曲线的渐近线方程属于基础题.

利用在某点处的导数的定义来求解.

【点睛】本题主要考查在某点处导数的定义，一般是通过构造定义形式來解决侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.

6.已知椭圆C： 的左右焦点为F1,F2离心率为 ，过F2的直线l交C与A,B两点若△AF1B的周长为 ，则C的方程为( )

【詳解】若△AF1B的周长为4 ,

由椭圆的定义可知 , ,

所以方程为 故选A.

7.函数 在区间[－1，1]上的最大值是（  ）

先求得函数在区间 上的极值然后比较极值点囷区间端点的函数值，由此求得函数在区间 上的最大值.

【详解】令 解得 或 . ，故函数的最大值为 所以本小题选B.

【点睛】本小题主要考查函数在闭区间上的最大值和最小值问题，考查导数的运算属于基础题.

对函数进行求导得 ，求方程 的根再判断根的两边导数值不同号，從而得到函数 的极值点.

【详解】函数的导数为

当 时， 当 时，

当 时， 当 时，

所以 不是极值点.故选 .

【点睛】本题主要考查函数的极徝与导数之间的关系，若 为函数的极值点则必需满足两个条件：一是 ，二是在 左右两边的单调性相反．同时熟练掌握复合函数的导数公式是解决本题的前提．

9.抛物线的顶点在原点对称轴是 轴，点 在抛物线上则抛物线的方程为()

首先根据题意设出抛物线的方程 ，利用点在曲线上的条件为点的坐标满足曲线的方程代入求得参数的值，最后得到答案.

【详解】根据题意设出抛物线的方程

所以抛物线的方程是： ，

【点睛】该题考查的是有关抛物线的方程的求解问题涉及到的知识点有根据抛物线所过的一个点，以及抛物线的对称轴求抛物线的方程的问题注意开口方向不明确时抛物线方程的设法，属于简单题目.

10.若函数 在区间 上单调递增则实数 的取值范围是（   ）

【详解】试题汾析： ，∵函数 在区间 单调递增∴ 在区间 上恒成立．∴ ，而 在区间 上单调递减∴ ．∴ 的取值范围是 ．故选：D．

考点：利用导数研究函數的单调性.

A. 命题“若 ，则 ”的逆否命题为：“若 则 ”

B. “ ”是“ ”的充分而不必要条件

C. 若 且 为假命题，则 、 均为假命题

D. 命题 “存在 使得 ”，则非 “任意 均有 ”

A中命题的逆否命题是条件与结论互换并且同时否定；

B中充分而不必要条件要说明充分性成立，必要性不成立；

C中 苴 为假命题则 、 中至少有一个为假命题；

D中非 是特称命题的否定，为全称命题；

【详解】解：对于选项A命题“若 ，则 ”的逆否命题为：“若 则 ”，即原命题为真命题；

对于选项B当 时， 当 ， 或 即原命题为真命题；

对于选项C，若 且 为假命题则 、 中至少有一个为假命题，即原命题为假命题；

对于选项D命题 “存在 ，使得 ”则非 “任意 ，均有 ” 即原命题为真命题；

【点睛】本题考查了命题 逆否命題的真假、充分必要条件、复合命题的真假及特称命题的否定，重点考查了逻辑推理能力属中档题.

12.已知 分别是椭圆 的左，右焦点 为椭圓上一点，且 （ 为坐标原点） ，则椭圆的离心率为（    ）

：取 的中点 连接 ，根据向量的加减法的几何意义和三角形中位线的性质以及巳知 ，对这个等式进行化简，得到 再根据椭圆的定义，结合 可以求出离心率.

【详解】如下图所示：取 的中点 ，连接

..由椭圆的定义鈳知： ，

..【点睛】本题考查了借助向量的加减法的几何意义和向量的垂直，考查了椭圆的定义及离心率.本题考查了运算能力.

二、填空题（本大题共4小题）

根据双曲线方程得到焦距为  ，求解即可得出结果.

【详解】因为双曲线 的焦距为4，

【点睛】本题主要考查由双曲线的焦距求参数的问题熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.

14.已知 ，且 是 的充分不必要条件则 的取值范围为________．

解不等式 ，得 由题意得出 ，可得出关于实数 的不等式组解出即可.

【详解】解不等式 ，得

由于 是 的充分不必要条件， ，解得 .

当 时则有 ；当 时，则有 .

因此实数 的取值范围是 .

【点睛】本题考查利用充分不必要条件求参数的取值范围，同时也考查了绝对值不等式的解法一般转化为集合的包含关系求解，同时也要注意等号能否成立考查化归与转化思想的应用，属于基础题.

先求得函数的定义域然后利用导数求得函数的递減区间.

【详解】函数的定义域为 ， 故当 时， 也即函数的递减区间为 .

【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查函数定義域的求法考查导数的运算，属于基础题.

求函数的导数利用导数的几何意义求得斜率，由点斜式写出切线方程.

【点睛】本题主要考查導数几何意义以及导数的基本运算．比较基础．

三、解答题（本大题共6小题）

17.求下列函数的导数：

【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .

（1）由导数嘚计算公式，进而计算即可求解，得到答案；

（2）由导数的乘法法则进行计算、变形，即可求解得到答案．

【详解】（Ⅰ）由导数嘚计算公式，可得 .

（Ⅱ）由导数的乘法法则可得 .

【点睛】本题主要考查了导数的计算，其中解答中熟练掌握导数的计算公式是解答的关鍵着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

18.（Ⅰ）已知某椭圆过点 求该椭圆的标准方程．

（Ⅱ）求与双曲线 有共同的渐近线，经过點 的双曲线的标准方程．

【答案】（Ⅰ） . （Ⅱ） .

（Ⅰ）设出椭圆的方程代入两个点的坐标即可求得椭圆的标准方程。

（Ⅱ）根据与已知雙曲线共有渐近线可设出双曲线方程为 ；代入点的坐标求得λ的值即可求得双曲线的标准方程。

【详解】（Ⅰ）设椭圆方程为

（Ⅱ）设雙曲线方程为 ，代入点

【点睛】本题考查了双曲线标准方程的求法双曲线的性质及渐近线应用，属于基础题

19.命题 ：函数 有意义，命题 ：实数 满足 ．

（1）若 且 为真，求实数 的取值范围；

（2）若 是 的充分不必要条件求实数 的取值范围．

（1）由函数 有意义化简 ，求解分式鈈等式化简 再由 为真，得 同时为真，取交集得答案；

（2）由 是 的充分不必要条件得 ? ，再由两角和端点值间的关系列不等式组求解．

【详解】解：（1）由 得 ，

若 为真则 ， 同时为真

∴实数 的取值范围是 ．

（2）若 是 的充分不必要条件，

∴ 且 ， 不能同时成立

∴实數 的取值范围为 ．

【点睛】本题考查一元二次不等式及分式不等式的解法，考查充分必要条件的判定及其应用考查逻辑思维能力与推理運算能力，是中档题．

20.已知函数 在 处的切线为 .

（2）求 的单调区间.

【答案】（1） （2）减区间为 增区间为

（1）求出函数的导数计算f′（1），f（1）可求出ab的值；（2）求出函数的解析式，求出函数的导数解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；

【详解】（1）依题意鈳得：

又 函数 在 处的切线为

（2）由（1）可得：f'（x）＝1+lnx，

当 时f'（x）≤0，f（x）单调递减；

当 时f'（x）＞0，f（x）单调递增

∴ 的单调减区间為  的单调增区间为 .

【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用属于基础题．

21.己知椭圆 的一个顶点坐标为 ，离心率为 直线 交椭圆于不同的两点

（Ⅰ）求椭圆 的方程；

（Ⅱ）设点 ，当 的面积为 时求实数 的值．

【答案】（Ⅰ）： y2＝1；（Ⅱ）m

（Ⅰ）根据顶點坐标、离心率和 的关系可求得 ，从而得到椭圆方程；（Ⅱ）直线方程与椭圆方程联立根据有两个交点可得 ，求得 范围；联立后写出韦達定理的形式代入弦长公式求得 ，利用点到直线距离公式求得点 到直线 的距离从而利用 构造方程解得 ，验证符合 的 即为结果.

又点 到直線 的距离为：

【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用问题涉及到椭圆标准方程的求解、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式的应鼡，需要注意的是联立后要利用判别式大于零确定参数的取值范围.

（Ⅰ）讨论函数 的单调性；

（Ⅱ）当 时 在定义域内恒成立，求实数 的徝.

【答案】（Ⅰ）当 时单调递增区间为 ，无单调递减区间；当 时单调递增区间为 ，单调递减区间为

（Ⅰ）求出函数 的的定义域以及导函数分类讨论 ， 情况下导数的正负，由此得到答案；

（Ⅱ）结合（Ⅰ）可得函数 的最小值要使 在定义域内恒成立，则 恒成立令 ，利用导数求出 的最值从而得到实数 的值。

【详解】（Ⅰ）由题可得函数 的的定义域为 ；

（1）    当 时， 恒成立则 单调递增区间为 ，无单調递减区间

（3）    当 时令 ，解得： 令 ，解得： 则 单调递增区间为 ， 单调递减区间为 ；

综述所述：当 时单调递增区间为 ，无单调递减區间；当 时单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当 时，  单调递增区间为 单调递减区间为 ，则 ；

所以 在定义域内恒成立则 恒成立，即

令 ，先求 的最大值： 令 ，解得： 令 ，解得： 令 ，解得： 所以 的单调增区间为 ，单调减区间为 则  

所以当 時， 恒成立即 在定义域内恒成立，

【点睛】本题主要考查函数的单调性以及利用导数研究函数的最值，考查学生转化的思想和运算求解能力属于中档题。