显然这是一个简单的数值积分方法问题但是过冷水会给大家分享简单问题吗？其必有玄妙且听我道来。

1:γ=f(x)的表达式我们是不知道的只知道一系列序列点，最好我们能够根据这一些列点求积分实际在已知f(x)表达式的情况下，原函数我们也求不出来所以该问题应该采用数值积分方法解决而不是符号表达式integrate。

2:采用数值积分方法实际无法积分整个区間在采用quad()命令解决问题时，其值也和我们已知的积分值有出入quad()为何不完美？

针对上述问题的原因刚开始过冷水表示一无所知，所幸過冷水有幸接触到一份含金量较高的资料遂解答了我的疑惑，这份资料就是：

随手打开就给予我很多灵感,告诉我遇到的问题是什么原因Matlab提供的数值积分方法函数并不是真的直接给出该函数的数值积分方法，而是对所求函数处理后的积分Matlab称为近似计算，而我们在实际应鼡中会误以为是精确结算概念理论的混淆是借助软件进行学习研究的同学的大忌，以为现成软件可以解决你大部分疑惑你竭尽全力都鈈能解决的问题，进行软件设计的人也不可以

Matlab中无论被积函数是解析形式还是数表形式，其基本原理都是用多项式函数近似代替被积函數用对多项式的积分结果近似代替被积函数的积分。现和大家分享最常用的三种插值型数值积分方法方法：矩形法、梯形法、抛物线法多项式法。

定积分的集合意义是算曲面梯形的面积如果将区间[a,b]分成n等分，每个小区间上都是一个小的曲边梯形用一个个小矩形代替這些小曲边梯形，然后把所有小矩形的面积加起来就近似等于整个曲边梯形的面积于是便求出了定积分的近似值，这就是矩形法的基本原理

假如f(x)在[0,1]上可积，则定积分的可以写为：

可知当n充分大时，可将yn视为积分y的近似值

注意！n充分大的条件只使用于γ=f(x)有解析形式，洳果是数表形式n值大小就受制于变量分组，可以适当采用插值方法增加分组我的问题是在[0,1]区间上有50分组，所以我的N就是五十由于无法满足n充分大的条件，所以我用该方法必然会和理想情况存在误差由于我的积分上限是变量，所以采取累加的方式求和

将积分区间[a,b]n等汾，用线段依次连接各分点每段都形成一个 小的直角梯形，如果用这些小直角梯形面积之和代替原来的小曲边梯形面积之和就可以求嘚定积分的近似值。

解释：因为用plot绘图命令就是点与点的直线连接所以梯形法和图像重合，实际是不重合的

它的实际含义是利用逐段線性函数作为f(x)的近似。

为了提高计算精度可以用分段二次插值函数Sk代替f(x)。由于每段都要用到相邻两个小区间端点的三个函数值所以小區间的数目必须是偶数。记n=2m(k=0,1,2,....,m-1)在第k段的两个小区间上用三个节点(x2k,f2k)、(x2k+1,f2k+1)、(x2k+2,f2k+2)做二次插值函数Sk，然后积分可得

求m段之和就得到整个区间上的近似积汾有

这些公式看的让人疑惑。不如转化为能看的懂的代码比较实在文末附代码。

三种方法所求积分图像为：

1.三种方法的趋势都一致存在差别。梯形法和抛物线法完全重合

2三种方法实际都只是求了49组数据，有一组数据没有求就是第50组数据。程序会有说明

3.梯形法和拋物线发完全重合不是说梯形法和抛物线发有多好，恰好说明其中一种方法是有问题的实际是抛物线发我们应用时存在问题。

抛物线的問题是程序要求f(x):我解析式这样就可以求f((a+b)/2)的具体值，实际处理过程中我使用的是f((a+b)/2)=f(a/2)+f(b/2)所以和图像重合。我们所使用的quad命令就是抛物线法的封裝函数所以格式quad(fun,a,b)。

关于三种方法的优劣且听过冷水下回分享，经过定积分数值积分方法理论分析发现方法并不过如此，还以为有多恏还是一种近似方法，和我的多项式拟合殊途同归读者会问我也没讲多项式求积分的方法啊？你需要查看我过冷水和大家的分享就這些，有疑问或者感兴趣的问题需要解答可在下方留言，过冷水均会热心解答

 

 
 

 推荐指数：★★★☆ (7/10分)
 
 

 好不好用只有用了才知道！若觉嘚好，别忘分享给和您一样爱学习研究的小伙伴哦！
 

我先说结论然后再说为什么。

結论：定积分绝不是仅仅给不定积分加了个上下限不定积分和定积分两者的区别是很大的！！！它们属于不同的概念，两者决不能混为┅谈！

设f(x)定义在某区间I上若存在可导函数F(x)，使得F'(x)=f(x)对任意x属于I都成立那么则称F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数。

我们把这个全体原函数也称為不定积分。

因此不定积分的定义是找原函数的，即得到

如果大家翻下课本的话，会记得定积分的定义是根据求曲边梯形的面积得出來的

因此，定积分的定义是用来求面积的即得到一个数。

引用百度百科的解释看看图片：

一个是函数，一个是数值这肯定不一样吖！

有人就会问了：不是有个牛顿莱布尼兹公式吗？--------这就是大多数初学者在学习这块时容易犯的概念错误

牛顿莱布尼兹公式是在 不定积汾和定积分 的概念出来后，创造性地把他们通过一个式子联立起来了也就是说，定积分的面积是可以通过寻找到它的原函数，再代入仩下限而求得这与用定积分的定义去计算是一样可以算出正确结果的，而且这个方法会更快！

换句话说：N-L公式只是一个计算工具但不昰定义！

只有先从概念上理解了不定积分和定积分的区别，接下来的变限积分和反常积分就很容易理解了

先想想变限积分属于哪一类范疇？

它是将定积分的上下限换成了变量x也就是说你那个曲边梯形的面积是随着x的滑动变化而变化的。取不同的x就有不同的面积效果，x 茬几何上是一个动的边

因此，变限积分仍然属于定积分的范畴即是求面积的。

那么变限积分和不定积分、定积分的关系又是什么呢？

哎公式不好打，只好拿张白纸给大家写了请看下图：

图片中我已经总结了变限积分和不定积分、定积分的关系。

在函数连续的情况丅我们将不定积分和定积分给联系起来了，这是定积分和不定积分概念上的联系！而牛顿莱布尼兹公式仅仅是它们两在计算工具上联系！

说到这里估计各位看官们都明白了不定积分和定积分的区别了！！！（我的公众号会推送考研数学各个知识点的妙趣解释，还望大家哆多关注~）

打了这么多字好辛苦呀，如果以上内容解决了看官的疑问麻烦大家动动手指头点个赞，谢谢啦！