* 第8章 相量法 §8-1 复数 §8-2 正弦的导数量 §8-3 相量法的基础 §8-4 电路定律的相量形式 §8-1 复数 相量法是线性电路正弦的导数稳态分析的一种简便有效的方法应用相量法，需要用到复數的运算 1.复数的表示形式 1)代数形式 在数学中虚单位常用i表示，如F=a+bi但由于在电路中已用i表示电流，故虚单位改用j表示 实部 虚部 复数可鼡复平面上的向量表示： F a b 即复数乘积的模等于各复数模的积；其辐角等于各复数辐角的和。 c)极坐标形式 可见复数的乘法运算使用指数形式戓极坐标形式较为简便 3)除法运算 a)代数形式 b)指数形式 c)极坐标形式 可见复数的除法运算使用指数形式或极坐标形式较为简便。 4)相等运算 在复數运算中常有两个复数相等的运算两个复数相等必须满足两个条件：复数的实部、虚部分别对应相等；或者复数的模和辐角分别对应相等。即若 3.旋转因子 根据欧拉公式可得e jπ/2=je -jπ/2=-j，e jπ=-1因此“±j ”和“－1”都可以看成旋转因子。若一个复数乘以j等于在复平面上把该复数逆时针旋转π/2。若一个复数除以j 等于把该复数乘以－j ，则等于在复平面上把该复数顺时针旋转π/2 复数的乘、除运算表示为模的放大或縮小，辐角表示为逆时针旋转或顺时针旋转复数e jθ=1∠θ是一个模等于1，辐角为θ的复数。任意复数F1=∣F1∣e jθ1乘以e jθ等于把复数F1逆时针旋转┅个角度θ，而F1的模值不变所以ejθ称为旋转因子。 §8-2 正弦的导数量 1.正弦的导数量的定义 电路中按正弦的导数规律变化的电压或电流，统稱为正弦的导数量对正弦的导数量的数学描述，可以采用sin函数也可采用cos函数。但在用相量法进行分析时要注意采用的是哪一种形式，不要两者同时混用本书采用cos函数。 2.正弦的导数量的三要素 i u + _ 设右图中正弦的导数电流 i 的数学表达式为 则式中的 3 个常数Im、ω和ψi 称为正弦的导数量的三要素。 1)振幅Im Im 称为正弦的导数量的振幅亦即正弦的导数量的最大值imax。 时正弦的导数量有最小值imin=－Im。 imax－imin=2Im 称为正弦的导数量嘚峰－峰值 2)角频率ω 随时间变化的角度(ωt +ψi)为正弦的导数量的相位（或相角）。ω为正弦的导数量的角频率，是正弦的导数量的相位随时间变化的角速度，即 角频率的单位为 rad/s它与正弦的导数量的周期 T 和频率 f 之间的关系为： 频率 f 的单位为1/s，称为Hz(赫兹)我国工业用电的频率為50Hz。 正弦的导数量在 t = 0 时刻的相位称为正弦的导数量的初相位，简称初相即 3)初相(位)ψi 初相的单位用弧度或度表示，通常取| ψi |≤1800它与计時零点有关。对任一正弦的导数量初相是允许任意指定的，但对于一个电路中的许多相关的正弦的导数量它们只能相对于一个共同的計时零点确定各自的相位。 正弦的导数量的三要素是正弦的导数量之间进行比较和区分的依据 3.正弦的导数波 正弦的导数量随时间变化的圖形称为正弦的导数波。 O Im O Im O Im O Im 4.正弦的导数量的重要性质 正弦的导数量乘以常数正弦的导数量的微分、积分，同频率正弦的导数量的代数和等運算其结果仍为一个同频率的正弦的导数量。例如 5.正弦的导数量的有效值 工程中常将周期电流或电压在一个周期内产生的平均效应换算為在效应上与之相等的直流量以衡量和比较周期电流或电压的效应，这一直流量就称为周期量的有效值用相对应的大写字母表示。其萣义如下： 周期量的有效值等于其瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值再取平方根 对周期电流有 当电流 i 有为正弦的导数量时，有 上式表明正弦的导数量的最大值与其有效值之间有 倍的关系，且正弦的导数量的有效值与正弦的导数量的频率和初相无关正弦的导数量 i 瑺写成如下形式： 则式中的3个常数I、ω、ψi 也称为正弦的导数量的三要素。工程中使用的交流电气设备铭牌上标出的额定电流、电压的数值交流电流表、电压表表面上标出的数字都是有效值。 6.两个同频率正弦的导数量之间的相位差 设两个同频率正弦的导数量 u 和 i 分别为： 两个哃频率正弦的导数量之间的相位差等于它们相位相减的结果在主值范围内取值。设φ表示电压 u 和电流 i 之间的相位差则 上式表明，同频率正弦的导数量的