CMU凸优化笔记--凸集怎么证明和凸函數

结束了一段时间的学习任务于是打算做个总结。主要内容都是基于CMU的Ryan Tibshirani开设的Convex Optimization课程做的笔记这里只摘了部分内容做了笔记，很感谢Ryan Tibshirani在Φ所作的课程内容开源也很感谢韩龙飞在中的中文笔记，我在其基础上做了大量的内容参考才疏学浅，忘不吝赐教

直观上看，可以利用下图帮助理解假定我们的变量在二维空间中，$x,y$为二维空间变量黑体线代表的向量为$tx+(1-t)y$，$t$取值范围为$[0,1]$那么无论t怎么变化，向量$tx+(1-t)y$总会落在$x$和$y$张成的集合空间中

那么从定义出发，我们也能知道非凸集怎么证明的情况下图左侧为凸集怎么证明，右图为非凸集怎么证明

一呴话来概括凸集怎么证明就是集合内任意两点间连线依旧在集合内

• 空集、点、线都是凸集怎么证明合

其含义是指Normal cone中的点与集合$C$内的点的內积永远大于集合内任意点与Normal cone内点的内积。如下图所示：

• 集合交（Intersection）：任何凸集怎么证明之交产生的集合依旧是凸集怎么证明

1.6  凸集怎么證明与保凸操作相关例子

从上图可以看出，$f$的函数值总是位于连接$f(x)$和$f(y)$之间的直线下方

$a^Tx+b$既是凸函数又是非凸函数

2.3 凸函数的一些特性

Note:如何证奣凸函数的一阶特性？

2.5 证明凸函数例子

那么为了证明凸函数首先我们知道仿射函数均是凸函数，并且对于求和函数可以看成是$f(x)=log(\sum_{i=1}^{n}e^{x_i})$与$h(x)=a_i^Tx+b_i$的复合函数因此只需要证明$f(x)$为凸函数即可。