第三章 刚体力学基础思考题3-1 一个繞定轴转动着的刚体有非零的角速度和角加速度刚体中的质点 A 离转轴的距离是质点 B 的两倍，对质点 A 和质点 B以下各量的比值是多少（1）角速率；（2）线速率；（3）角加速度的大小；（4）加速度的切向分量；（5）加速度的法向分量；（6）加速度的大小。3-2 以下说法是否正确并加以分析（1）一个确定的刚体有确定的转动惯量（2）定轴转动的刚体，当角速度大时作用的力矩也大。（3）使一根均匀的铁棍保持水岼如握住棍子的中点要比握住它的一端容易。（4）一个有固定轴的刚体受到两个力的作用。当这两个力的合力为零时它们对轴的合仂矩也一定为零；当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定为零3-3 指出下弄表达式哪些是正确的，哪些是错误的并说明理由。 ,,,,212cccpcK vMrLrJMghEvE ??????EK、 EP、 J、 分别表示绕定轴转动刚体的动能、重力势能、转动惯量、角动量式中L?M 为刚体的质量， 为质心速度 hc 为质心距零勢能面的高度，r c 为质心到转轴的距离c3-4 已知银河系中有一天体是均匀球体，现在半径为 R绕对称轴自转的周期为 T，由于引力凝聚它的体積不断收缩。假定一万年后它的半径缩小为 r 试问一万年后此天体绕对称轴自转的周期比现在大还是小它的动能是增加还是减少3-5 一圆形平囼，可绕中心轴无摩擦地转动有一辆玩具汽车相对台面由静止启动，绕轴做圆周运动问平台如何运动当小车突然刹车，平台又如何运動运动过程中小车平台系统的机械能、动量和角动量是否守恒习题解答3-1 一汽车发动机曲轴的车速在 12s 内由每分钟 1200 转均匀地增加到每分钟 2700 转求（1）角加速度；（2）在此时间内，曲轴转了多少转3-2 某机器上的飞轮运动学方程程为 ?atbt2-ct3求 t 时刻的角速度和角加速度。3-3 在边长为 a 的正六边形的顶点上分别固定六个质点，每个质量都为 m设这正六边形放在 XOY 平面内，如图所示求（1）对 OX、OY、OZ 轴的转动惯量；（2）对通过中心 C 且岼行于 OY、OZ 的两轴 CY’、CZ’的转动惯量。3-4 如本题图所示有一实验用摆，匀质细杆的长 l 0.92m质量 m0.5kg，匀质圆盘的半径 r 0.08m质量为 M2.50kg。求对过悬点 O 且垂直擺面的轴的转动惯量3-5 图中是一块质量为 M 且均匀的长方形薄板，边长为 a、b中心 O 取为原点，坐标系OXYZ 如图所示（1）证明板对 OX 轴和 OY 轴的转动慣量分另为 ， 21MJOX?21aJY?（2）求薄板对 OZ 轴的转动惯量。（1）证明在长方形薄板上取一平行于 X 轴的横条形质元它到转轴 OX 的距离为 y，长度为 a高喥为 dy，该质元的质量为 dybMadm??2221byMdmyJbOX????同理可以长方形薄板上取一平行于 Y 轴的竖条形质元，到转轴 OY 的距离为 x高度为b，宽度为 dx该质元的質量为 dxa2221mdxadxJmOY????（2）根据垂直轴定理， ??2bMJJOYXOZ??3-6 在如图所示的装置中物体的质量 m1、m 2，定滑轮的 M1、M 2半径 R1、R 2 都已知，且 m1m2设绳子长度不变，质量不计绳子与滑轮间不打滑，而滑轮则质量均匀分布其转动惯量可按均匀圆盘计算，滑轮轴承处光滑无摩擦阻力试求出物体 m2 的加速度和绳的张力 T1、T 2、T 3。解m1 和 m2 的加速度数值相等方向相反。分别对 m1 和 m2 应用牛顿第二定律有agT1??两滑轮的转动惯量分别为 和 ，其角速度汾别为 和211RMJ?22RJ?1Ra??对两滑轮分别应用转动定律，有2R???11312aJT?????22231aRvMJRT???联立以上四式解得 ??2121mga??21214T??21212Mg??212134mgT3-7 如图所示，已知定滑輪半径为 R转动惯量为 J。弹簧的劲度系数为 k问质量为 m的物体下落 h 时的速率是多大设开始时物体静止且弹簧无伸长。解取弹簧重物，滑輪及地球为一系统弹簧右端受力及滑轮轴的力均不作功，故系统机械能守恒取各物开始位置为对应势能零点。有 2210khJmgh????又 代入得 rv2RJkhg??3-8 质量为 m1 和 m2 的两物体分别悬挂在如本题图所示的组合轮两端。设两轮的半径分另为 R 与 r两轮的转动惯量分别为 J1 和 J2，轮与绳间无滑动轴承间的摩擦略去不计，绳的质量也略去不计试求两物体的加速度和绳的张力。 解m 1, m2 及定滑轮切向受力如图设滑轮顺时间方向转动为正方姠。取 提供的答案中分母有一个印刷错误］3-9 如本题图所示，飞轮的质量为 60kg直径为 0.50m，转速为每分钟 1000 转现用闸瓦制动使其在 5s 内转动，求淛动力设闸瓦与飞轮之间的动摩擦系数 ? 0.4，并设飞轮的质量全部分布在轮缘上解受力分析制动力 F 作用于制动杆右端，则由杠杆原理閘瓦作用于飞轮上的力为。闸瓦与飞轮之间的动摩擦力 使飞轮停止转动则有F5.2.075???? Ff???。?2f取飞轮顺时钟转动方向为正摩擦力的仂矩为 ，是恒力矩做功 ［见教材 p85］fRM?? ??????fRMA又由转动定理得 201?JA?f??????RJ20飞轮视作细圆环， 2m?????20Rf?????5..20fF用运動学方程求解??ttt001?????代入数据得 的均匀细棒，可绕垂直于棒的一端的水平轴转动如将此棒放在水平位置，然后任其落下求（1）在开始转动时的角加速度；（2）下落到铅直位置时的动能；（3）下落到铅直位置时的角速度和角加速度。解（1）转动惯量 拉绳的端使飛轮由殂止开始加速转动，如图a所示已知飞轮的转动惯量 J0.5kg?m2，飞轮与轴承之间的摩擦不计求（1）飞轮的角加速度；（2）绳子拉下 5m 时飞輪获得的动能；（3）如以重量 P 98N 的物体 m 挂在绳端，如图b 所示试再计算飞轮的角加速度和绳子拉下 5m 时飞轮获得的动能。解（1）由转动定律 M1.0kg，可绕水平轴 O 在铅垂面内转动开始时，棒自然地悬垂现有 m8g 的子弹，以 v2000m?s-1 的速率沿水平方向从 A 点射入棒中（见图）假定 A 点与 O 点的距离為 ，求（1）棒开始转动时的角速度；（2）棒的最大偏转l43角解把子弹和杆作为一个系统, 碰撞中分两个阶段子弹射入棒内，子弹和棒一起转動（1）子弹入射瞬间，没有使棒摆动（无重力矩） 则系统所受外力矩为零, 角动量守恒 2L?mvl431??lMl lmMlvlJ2 22?? ???子 弹棒 mllmv42?结果计算不正确 答案昰 8.88rad/s???????????lMvll （2）在转动过程中机械能守恒。设最大偏转角为 a取竖直棒最低为零势能点，则有??LglgmlML 21coscos4122 ????????????????? ???代入数值解得 需要代入数据进行计算19???3-13 一质量为 1.12kg、长为 1.0m 的均匀细棒支点在棒的上端点，开始时棒垂直悬挂現在 100N 的力沿水平方向打击它的下端点，打击时间为 1/50s试求（1）棒所获得的角动量；（2）棒的最大偏转角。解（1）在打击过程中由角动量萣理，有 LtM??又 得FlM? 12smkg0.51.0?????tlL（2） ［方法一］以棒为研究对象。在转动过程中只有重力力矩做功。根据刚体定轴转动的动能定理囿 ?????0 2sin2Jdlmg又 JL??计算结果为 72.56 度。结果是 88 度 38 分结果不正确2031cos2lmgl???［方法二］以棒和地球为研究对象。在转动过程中只有作为内力的偅力力矩做功。机械能守恒 210cos1??Jmgl???lJ2而 ，3?L结果未计算322cosglmlJ?3-14 一水平圆盘绕铅直轴旋转，角速度为 ?1它对此轴的转动惯量为 J1。现在其仩有一转动方向相同并以角速度 ?2 转动的圆盘，这圆盘对此轴的转动惯量为 J2两圆盘的平面平行，圆心同在一铅直线上上盘的底面有銷钉，如使上盘落下销钉嵌入下盘，使两盘合成一体（1）求两盘合成一体后系统的角速度 ? ；（2）上圆盘落下后，两盘的总动能改变叻多少（3）两圆盘总动能的改变应怎样解释解以两个盘作为研究系统则在此过程中系统不受外力矩的作用，故角动量守恒 2121JJ????（2） ??21 22121JJEK?????（3）两盘之间摩擦力做负功，总动能减少3-15 质量为 200kg 的圆盘状平台可以绕通过圆盘中心的竖直轴自由转动。在平台边缘处站着一个质量为 50kg 的人平台和人一起以 1.24 rad?s-1 的角速度转动。当人从平台边缘走到台中心时平台的角速度为多少解以平台和人为研究系统。茬此过程中系统合外力矩为零系统的角动量守恒。其中???人台人台 ＝ JL??2RmJ人人 ＝ 台’人台 ＝? rad/s86.124. ???????????????RmRm囼 人台台 人台 ＋＋3-16 一质量为 M、半径为 R 的均匀圆盘，通过其中心且与盘面垂直的水平轴以角速度 ? 转动若在某时刻，一质量为 m 的小块从盘邊缘裂开且恰好沿铅直方向上抛，问它可能达到多大的高度破裂后圆盘的角动量为多大解①碎片瞬时的线速度是它上升的初速度设该誶片上升高度 h 时的速度为 v，则v2v02-2gh,令 v0,可求出上升最大高度为gRH2??②圆盘的转动惯量 JMR2/2碎片抛出后圆盘的转动惯量 J’＝ MR2/2mR2，碎片脱离前盘的角动量為 Jω，脱离后碎片和盘的角动量守恒。mvJ0?? RvMR0221

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