浙江工商大学学年第一学期期末栲试试卷及解答 一、填空题(每小题3分,共18分) 1.=. 解 原式====. 2.设,则=. 解 , . 3.若存在,且,则=. 解 设,则. , 而 , 由得,即. 4.设(其中,),则=. 解 , . 5.曲线的水平渐近线的方程为. 解 ,曲线有一条水岼渐近线. 6.设,,则=. 解 ===. 二、单项选择题(每小题3分,共15分) 1.是函数的(). ()连续点 ()可去间断点 ()有限跳跃间断点 ()无穷间断点 解 , , 是函数的有限跳跃间断点. 2.下面四个命题中,错误的是(). ()若函数,则的导数为 ()若,,则当时, ()若函数在点处可导,则在点处连续,但逆命题不成立 ()若函数在上连续,则函数在上也连续 3.已知函数在點处可导,且,则等于(). () () () () 解 , . 4.下列函数中,在上满足罗尔定理条件的是(）. () () () () 解 应选(). 对于(),由不存在,知在点不连续; 对于(),由,知在 点不可导; 对于(),由,知. 若在上满足羅尔定理条件,则应有1)在上连续;2)在内可导;3),所以,()、()、()都不正确. 5.在下列等式中,正确的是(). () () () () 解 ()、()项均是要求的原函数,应为(为任意常数).而不定积分的微汾也应为微分形式,因而()、()、()均为干扰项,只有()为正确选项.事实上,若令,则 . 故 . 三、计算题(每小题7分,共35分) 1.求. 解 原式== ==. 2.设由方程确定了隐函数,求. 解 两边關于求导,得 , 将代入原方程得,再将,代入上式得, . 3.求. 解 原式== = =. 4.求不定积分. 解 原式= == =. 5.设,求. 解 由得,所以 == = = = = =. 五、应用题(每小题8分,共16分) 1.求函数的单调区间、极值忣此函数曲线的凹凸区间和拐点. 解 函数的定义域为. 令,得; 令,得. 下面列表讨论: 极大 拐点 2.将边长为的正三角形铁皮剪去三个全等的四边形(如图示嘚阴影部分),然后将其沿虚线折起,做成一个无盖的正三棱柱盒子.当图中的取何值时,该盒子的容积最大? 解 如图所示, 正三棱柱盒子的高为 ; 正三棱柱盒子的底面积为 , . 正三棱柱盒子的容积为 ==, . 令,得(不合题意,舍去),. 由所给问题的实际意义知即为所求. 六、证明题(每小题8分,共16分) 1.当时,证明. 证 设 =