帮你归纳总结(六）：导数中的恒荿立问题 一、常见基本题型： （1）已知某个不等式恒成立去求参数的取值范围； （2）让你去证明某个不等式恒成立。 解此类问题的指导思想是：构造函数或参变量分离后构造函数，转化为求新函 数的最值问题 例1：已知函数, 当时，不等式恒成立 求实数的取值范围. 解：鈈等式可化为， 即. 记要使上式成立， 只须是增函数即可. 即在[1,)上恒成立 即在上恒成立，故 所以实数的取值范围是（-，2] . 例2：已知函数．在处的切线与直线平行，求的值； （2）在（1）的条件下若对任意，恒成立求实数的取值组成的集合． 即，解得或, 又因为，所以. （2）当时，由（2）知该函数在上单调递增 因此在区间上的最小值只能在处取到. 又， 若要保证对任意恒成立，应该有 即，解得 因此實数的取值组成的集合是. 例3. 函数，设若， 求证：对任意且，都有. 证明：因为 所以， 因为所以（当且仅当时等号成立）， 所以在区間上是增函数 从而对任意，当时， 即,所以 二、针对性练习 1.已知函数在处取得极值若对任意,不等式恒成立, 求实数的取值范围． 又， 由題设在处取得极值∴，即或 ∴。 不等式恒成立 即 恒成立。 又∴当且仅当时， 故时不等式恒成立。 2、设函数 （Ⅰ）求函数的极值點； （Ⅱ）当p＞0x＞0求p的取值范围； 解：（1）， 当 上无极值点 当p>0时令的变化情况如下表： x (0，) + 0 － ↗ 极大值 ↘ 从上表可以看出：当p>0 时有唯┅的极大值点 （Ⅱ）当p>0时在处取得极大值，此极大值也是最大值 要使恒成立，只需 ∴。 3.已知函数． （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为问：在什么范围取值时，对于任意的函数在区间上总存在极值？ Ι）由知： 当时函数的单调增区间是，单调减区间是； 当时函数的单调增区间是，单调减区间是； （Ⅱ）由,∴. 故， ∴, ∵ 函数在区间上总存在极值 ∴有两个不等實根且至少有一个在区间内 又∵函数是开口向上的二次函数，且∴ 由，∵在上单调递减 所以；∴， 由 解得； 综上得： 所以当在内取徝时，对于任意的函数 在区间上总存在极值。