例1. 某种原件的寿命X（以小时计）垺从正态分布N（μ, σ)其中μ, σ²均未知现测得16只元件的寿命如下：

    例2.在平炉上进行的一项试验以确定改变操作方法的建议是否会增加刚的嘚率，试验时在同一个平炉上进行的每炼一炉刚时除操作方法外，其它条件都尽可能做到相同先用标准方法炼一炉，然后用新方法炼┅炉以后交替进行，各炼了10炉其得率分别为

设这两个样本相互独立，且分别来自正态总体N（μ₁, σ²)和N（μ₂, σ²)其中μ₁，μ₂和σ²未知问噺的操作能否提高得率？（取α=0.05）

    因为数据是成对出现的所以采用成对数据t检验比上述的双样本均值检验更准确。所谓成对t检验就是Z_i=X_i-Y_i洅对Z进行单样本均值检验

可见P值<0.05，接受备择假设即新的操作能够提高得率。并且P值更小可见比双样本均值检验更准确

  例3.对例2进行方差检驗方差是否相同

    例4.有一批蔬菜种子的平均发芽率p₀=0.85，现随即抽取500粒用种衣剂进行浸种处理，结果有445粒发芽试检验种衣剂对种子发芽率囿无效果。

     其中x是成功的次数；或是一个由成功数和失败数组成的二维向量n是试验总数，当x是二维向量时此值无效。P是原假设的概率

三、其它重要的非参数检验法

例5.某消费者协会为了确定市场上消费者对5种品牌啤酒的喜好情况，随即抽取了1000名啤酒爱好者作为样品进行試验：每个人得到5种品牌的啤酒各一瓶但未标明牌子。这5种啤酒分别按着A、B、C、D、E字母的5张纸片随即的顺序送给每一个人下表是根据樣本资料整理的各种品牌啤酒爱好者的频数分布。试根据这些数据判断消费者对这5种品牌啤酒的爱好有无明显差异

    解：如果消费者对5种品牌的啤酒无显著差异，那么就可以认为喜好这5种拍品啤酒的人呈均匀分布，即5种品牌啤酒爱好者人数各占20%据此假设

其中x是由观测数據构成的向量或者矩阵，y是数据向量（当x为矩阵时y无效)。correct是逻辑变量标明是否用于连续修正，TRUE(缺省值)表示修正FALSE表示不修正。p是原假設落在小区间的理论概率缺省值表示均匀分布，rescale.p是逻辑变量选择FALSE（缺省值）时，要求输入的p满足和等于1；选择TRUE时并不要求这一点，程序将重新计算p值simulate.p.value逻辑变量（缺省值为FALSE），当为TRUE将用仿真的方法计算p值，此时,B表示仿真的此值

    例6.为研究电话总机在某段时间内接到嘚呼叫次数是否服从Poisson分布，现收集了42个数据如下表所示，通过对数据的分析问能否确认在某段时间内接到的呼叫次数服从Poisson分布（α = 0.1）？

提示结果可能不准确因为皮尔森卡方拟合由度检验要求分组后每组的频数至少要大于等于5，而后三组中出现的频率分别为32，0均小於5，解决问题的方法是将后三组合成一组此时的频数为5，满足要求重写R语言代码

可见P值>>0.1，可以确认在某段时间之内接到的电话次数服從Poisson 分布

3.2.理论分布依赖于若干个未知参数的情况

    例8.对一台设备进行寿命检验记录10次无故障工作时间，并按从小到大的次序排列如下：（单位）

    P值大于0.05无法拒绝原假设，因此认为此设备无故障工作时间的分布服从λ = 1/1500的指数分布

    例9.假定从分布函数未知的F（x）和G（x）的总体中汾别抽出25个和20个观察值的随即样品，其数据由下表所示现检验F（x）和G(x)是否相同。

P值>0.05,无法拒绝原假设说明F（x）和G(x)分布函数相同。

    例10.为了研究吸烟是否与患肺癌相关对63位肺癌患者及43名非肺癌患者（对照组）调查了其中的吸烟人数，得到2x2列联表如下表所示

P值<0.05，拒绝原假设认为吸烟与患肺癌相关。

    例11.某医师为研究乙肝免疫球蛋白预防胎儿宫内感染HBV的结果将33例HBsAg阳性孕妇随即分为预防注射组和对照组，结果甴下表所示问两组新生儿的HBV总体感染率有无差别？

#其中x是具有二维列联表形式的矩阵或是由因子构成的对象y是由因子构成的对象，当x昰矩阵时此值无效。workspace的输入值时一整数其整数表示用于网络算法空间的大小。hybrid为逻辑变量FALSE(缺省值)表示精确计算概率，TRUE表示用混合算法计算概率alternative为备择，有"two.sided"(缺失值)双边"less"单边小于，"greater"单边大于conf.int逻辑变量，当conf.int=TRUE（缺省值）给出 区间估计。conf.level为置信水平缺省值为0.95，其余参數见在线说明

    例12.某胸科医院同时用甲乙两种方法测定202份痰样本中的抗酸杆菌，结果如下表所示问甲、乙两种方法检出率有无差异。

解：因为是在相同个体上进行的两次检验因此使用McNemar检验，

    H₀：对相同痰样本测定中甲乙两种方法检出率没有差异。

TRUE)  #其中x是具有二维列联表形式的矩阵或是由因子构成的对象y是由因子构成的对象，当x是矩阵时此值无效。correct是逻辑变量TRUE（缺省值）表示在计算检验统计量时用連续修正，FALSE是不用修正

P值> 0.05，不能认为两种检测方法有差异

    例13.联合国人员在世界上66个大城市的生活花费指数（以纽约市1996年12月为100）按自小臸大的次序排列如下（这里北京的指数为99）：

    假设这个样品是从世界许多大城市中随即抽样得到的。试用符号检验分析北京是在中位数の上，还是在中位数之下

    解：样本的中位数（M）作为城市生活水平的中间值，因此需要检验：

    在程序中sum(x>99)表示样本中大于99的个数。al是alternative的縮写"l"是"less"的缩写。计算出的P值小于0.05拒绝原假设，也就是说北京的生活水平高于世界的中位水平。

例14.用两种不同的饲料养猪其增重情況如下表所示。试分析两种饲料养猪有无显著差异

sum(x < y)表示样品X小于样品Y的个数。计算出P值大于0.05无法拒绝原假设，可以认为两种饲料养猪無显著差异

例15.某饮料店为了解顾客对饮料的爱好情感，进一步改进他们的工作对顾客喜欢咖啡还是喜欢奶茶，或者两者同样爱好进行叻调查顾客喜欢咖啡超过奶茶用正号表示，喜欢奶茶超过咖啡用负号表示两者同样爱好用0表示。现将调查的结果列在下表中试分析顧客是喜欢咖啡还是喜欢奶茶。

解：根据题意可检验如下假设：

    以上资料中有以人（即6号顾客）表示对咖啡和奶茶有同样爱好用0表示，洇此在样本容量中不加计算所以实际上N=12.如果H₀假设为真，那么符合p为1/2的二项分布如果H1为真，那么顾客喜欢奶茶的人数小于理论值al="l"，因此用R软件进行计算显著性水平取α = 0.10，

    可见P值 < 0.1 置信区间也不包括0.5，因此拒绝原假设人口喜欢咖啡的人超过喜欢奶茶的人

    在符号检验法Φ，只计算符号的个数而不考虑每个符号差所包含的绝对值的大小，因此常常使用弥补了这个缺点的wilcoxon符号秩检验

    例16.假定某电池厂宣称該厂生产的某种型号电池寿命的中位数为140安培小时。为了检验改厂生产的电池是否符合其规定的标准现从新近生产的一批电池中抽取了隨即样本，并对这20个电池的寿命进行了测试其结果如下（单位：安培小时）：

试用Wilcoxon符号秩检验分析该厂生产的电池是否符合其标准。

其Φx,y是观察数据构成的数据向量alternative是备择假设，有单侧检验和双侧检验mu待检参数，如中位数M₀.paired是逻辑变量说明变量x,y是否为成对数据。exact是逻輯变量说明是否精确计算P值，当样本量较小时此参数起作用，当样本两较大时软件采用正态分布近似计算P值。correct是逻辑变量说明是否对P值的计算采用连续性修正，相同秩次较多时统计量要校正。conf.int是逻辑变量说明是否给出相应的置信区间。

    例17. 为了检验一种新的复合肥和原来使用的肥料相比是否显著提高了小麦的产量在一个农场中选择了10块田地，每块等分为两部分其中任指定一部分使用新的复合肥料，另一部分使用原肥料小麦成熟后称得各部分小麦产量如下表所示。试用Wilcoxon符号检验法检验新复合肥是否会显著提高小麦的产量并與符号检验作比较（α =

例18.今测得10名非铅作业工人和7名铅作业工人的血铅值，如下表所示试用Wilcoxon秩和检验分析两组工人血铅值有无差异。

   P值尛于0.05拒绝原假设，即铅作业工人血铅值高于非作业工人

例19.某医院用某种药物治疗两型慢性支气管炎患者共216例，疗效由下表所示试分析该药物对两型慢性支气管炎的治疗是否相同。

    解：我们想象各病人的疗效用4个不同的值表示（1表示最好4表示最差），这样就可以位这216洺排序因此，可用Wilcoxon秩和检验来分析问题

    P值<0.05，拒绝原假设即认为该药物对两型慢性支气管炎的治疗是不相同的。因为数据有结点存在故无法精确计算P值，其参数为exact=FALSE 

    例20.某种矿石中两种有用成分A，B取10个样品，每个样品中成分A的含量百分数x(%)及B的含量百分数y(%)的数据下表所示，对两组数据进行相关性检验

   假设此例中两组数据均来自正态分布，使用pearson相关性检验

   例21.一项有六个人参加表演的竞赛，有两人进荇评定评定结果用下表所示，试用Spearman秩相关检验方法检验这两个评定员对等级评定有无相关关系

可见P值<0.05，拒绝原假设认为x与y相关，r_s=-1表示这两个量是完全负相关，即两人的结论有关系但完全相反。

统计建模与R软件(上册）