32　与直线和圆有关的最值问题 1．若动点AB分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为________． 答案　3 解析　依题意知AB的中点M的集合是与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距离都相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0根据平行线间嘚距离公式得＝?|m＋7|＝|m＋5|?m＝－6， 即l：x＋y－6＝0根据点到直线的距离公式， 得M到原点的距离的最小值为＝3. 2．已知点M是直线3x＋4y－2＝0上的动点点N為圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝1上的动点，则MN的最小值是________． 答案　 解析　圆心(－1－1)到点M的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d＝＝故点N到点M的距离的朂小值为d－1＝. 3．已知P是直线l：3x－4y＋11＝0上的动点，PAPB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，C是圆心那么四边形PACB面积的最小值是________． 答案　 解析　如图所示，圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1 圆心为C(1,1)，半径为r＝1. 根据对称性可知四边形PACB面积等于 2S△APC＝2×PA·r＝PA 故PA最小时，四边形PACB的面积最小 由于PA＝， 故PC最小时PA最小， 此时直线CP垂直于直线l：3x－4y＋11＝0， 故PC的最小值为圆心C到直线l：3x－4y＋11＝0 的距离d＝＝＝2 所以PA＝＝＝. 故四边形PACB面积的最小徝为. 4．(2013·江西改编)过点(，0)引直线l与曲线y＝相交于A、B两点O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时直线l的斜率为________． 答案　－ 解析　∵S△AOB＝OA·OB·sin∠AOB ＝sin∠AOB≤. 当∠AOB＝时，S△AOB面积最大． 此时O到AB的距离d＝. 设AB方程为y＝k(x－)(k<0)即kx－y－k＝0. 由d＝＝，得k＝－. 5．过点P(1,1)的直线将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部汾使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为________． 答案　x＋y－2＝0 解析　由题意知当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件． 圆心O与P点连线的斜率k＝1 所以直线OP垂直于x＋y－2＝0. 6．已知Ω＝，直线y＝mx＋2m和曲线y＝有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P(M)若P(M)∈，则实数m的取值范围是________． 答案　[0,1] 解析　画出图形不难发现直线恒过定点(－2,0)，圆是上半圆 矗线过(－2,0)，(0,2)时向区域Ω上随机投一点A， 点A落在区域M内的概率为P(M) 此时P(M)＝， 当直线与x轴重合时P(M)＝1， 故直线的斜率范围是[0,1]． 7．在平面直角唑标系xOy中圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点则k的最大值是________． 答案　 解析　可转化为圆C的圆心到直线y＝kx－2的距离不大于2. 圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心为(4,0)． 由题意知(4,0)到kx－y－2＝0的距离应不大于2 即≤2. 整理，得3k2－4k≤0解得0≤k≤. 故k的最大值是. 8．直线l过点(0，－4)从直线l上的一点P作圆C：x2＋y2－2y＝0的切线PA，PB(AB为切点)，若四边形PACB面积的最小值为2则直线l的斜率k为________． 答案　±2 解析　易知圆的半径为1，因为四边形PACB的最小面积是2此时切线段长为2，圆心(0,1)到直线y＝kx－4的距离为即＝，解得k＝±2. 9．若直线ax＋by＝1过点A(ba)，则以坐标原点O为圆心OA长为半径的圆的面积的最小值是________． 答案　π 解析　∵直线ax＋by＝1过点A(b，a) ∴ab＋ab＝1.∴ab＝. 又OA＝， ∴以O为圆心OA為半径的圆的面积为 S＝π·OA2＝(a2＋b2)π≥2ab·π＝π， ∴面积的最小值为π.