1.给出Ax=b的一个列子：

过高斯消元法得到R：

注意最后一列，右侧的b3=0保证此方程组有解。

味着b3-b1-b2=0只有b满足此条件，方程组才有解

当b在A的列向量空间中时，Ax=b有解；

如果行的線性组合得到零行那么b中元素相应的组合也为0（上面的例子是b3-b1-b2=0），此时Ax=b有解

第1列和第3列是主元列，第2列和第4列是自由列相应的x1和x3是主元变量，x2和x4是自由变量

第一步，为了寻找一个特解xp假定自由变量x2=x4=0，带入方程组可以得到x1=1,x3=6。

其实自由变量可以取0以外的值，没有問题这里取得是最简单的值。

第二步寻找Ax=0的解。

具体解法在第七讲已经很清楚了。

X是整个零空间平移到xp本身不是子空间，因为不過零点

考虑mxn的矩阵，其中矩阵的秩为r（定义为主元个数）

（主元个数不会超过行数m，当然也不会超过列数n）

（1）A是一个方阵且m=n=r，此時A是一个可逆方阵

此时每一个列都是主列，没有自由列此时零空间xN=0，x=xp此时有唯一解。

（2）若r=nm>n，即行数大于列数此时A是一个长条矩阵，m个方程n个未知数

每一个列都是主列，没有自由列零空间xN=0，x=xp此时有可能无解（b没在列空间内）或具有唯一解。

只有满足b3+b1+b2=0时才有唯一解否则无解。

（3）若r=m,n>m,即列数大于行数此时A是一个扁平矩阵

r个主元列，n-r个自由列因此xN肯定有非零解。且肯定能找到xp因为r=m,意味着列空间铺满整个Rm，无论b去何值肯定在次空间内。因此此时x有无数个解。

r个主元列n-r个自由列，因此xN肯定有非零解但不一定能找到xp，洇为列空间没有铺满整个Rm若b在列空间内，则有x无数个解；若b不再列空间内则x无解。

总结：把A整理成简化行阶梯形式rref可以看出对应的秩的情况：

(23541)=5;∴不成立∴i=1,j=2. 3. 设为奇数排列则为耦排列，反之也成立所以可以建立1，3…n所有奇偶数排列之间的一个一一映射所以n阶排列中，奇偶排列的个数相同从而中符号为正的項的个数相同于为负的项的个数，且都为 4. 解：显然，有0的项都为0所以每一行的元素都为确定的 ∴= == §2行列式的性质 1. 2. 3. 4. 习题 1.（1）证明： （2） 2．计算下列各题 解：把行列式D进行如下变换： 变换后的行列式第一列所有元素为1，第n列所有元素为3显然第一列与第三列成比例.∴D=0. (2)解： -4=4 （3）解：方程可化为 ，而展开得 即， 而方阵==0 §3．行列式的展开定理 1．（1） （2） =0,∴D=0 (3) (4) 2.解： 习题 解： , ; 解：由题意 证：设第k行元素全为1 ∴， ∴ 解：∵有一行元素全为1， ∴ 解：将行列式D进行++…+的交换得新行列式AA的第一列元素都为b，所以行列式D可以提出b,使得D=bB,B为第一列元素全为1其餘元素与A相同，显然++…+ §4．行列式计算举例 1. = 2. 习题 1. 2. 3.略 4.解： 同理可得，∴ 5.解： = 解： +a =()+a作业 §5.Cramer规则 1. ∴ 2.解： 习题 1证：由题意知存在ax+by+c=0(a,b不同时为0)st..考虑鉯为未知数的方程组：，∵方程组有非零解 ∴其系数行列式，证毕 第二章.矩阵 §1.矩阵的定义及其运算 1（1） （2） （3） （4） 2.解： , 3.证明：（1） （2） . 习题 1.（1）解： 再用数学归纳法得 （2）解： = 由数学归纳法得 （3）解：用数学归纳法证， 当n=2时， 5.证明：∵R(A)=r,∴存在m级可逆矩阵Pn级可逆矩阵Q， s.t 令 第三章 向量空间ξ1.向量向量的运算及其线性关系 1.解: 将原始化简得 2.证：假设存在不全为0的 3.(1) ∵ ∴ (2)假设 st.线性相关与 4.解：（1） （2） ∴线性无关。 （3） 解：由题意： 习题 1．证明： 2.证明