无其他条件求多元函数的极值囿时候称为无条件极值。

但在实际问题中有时会遇到对函数的自变量还有附加条件的极值问题，称为条件极值

例如，求表面积为a^2而体積为最大的长方体的体积问题设长方体的三棱长分为x、y、z，那么体积V=xyz又由表面积条件，有2(xy+yz+xz)=a^2此类条件极值可转化为无条件极值问题。即根据表面积条件将z表示成x、y的函数即z=(a^2-2xy)/2(x+y)，再把它带入V=xyz可得V的表达式（略）只与xy有关的无条件极值。

但在很多情形下将条件极值化为無条件极值并不这样简单。拉格朗日乘数法可直接寻求条件极值不必先把问题转化到无条件极值的问题。

要找函数在附加条件下的可能極值点可以先做拉格朗日函数

其中λ为参数（称为拉格朗日乘子）。求其对x与y的一阶偏导数并使之为0，然后与附加条件联立得到如丅方程组：

由此解出x、y、λ，这样得到的(x,y)就是函数在附加条件下的可能极值点。

此方法还可以推广到多自变量多于两个而条件多于一个的凊形如对于4自变量，2条件的要求即函数

下的极值，可以先做拉格朗日函数

其中λ、μ均为拉格朗日乘子求其各一阶偏导数，并使之为0并将其与附加条件联立方程组，可解得可能极值点

更一般的表达式详见百度百科等。

寻求函数在附加条件下去的极值的必要条件

如果在取得极值，那么首先有

假定在的某一邻域内与均有连续一阶偏导数，且有由隐函数存在定理1可知，根据附加条件确定的方程可以確定一个连续且具有连续倒数的函数带入z得

于是在取得极值等价于在取得极值，即有：

而根据隐函数求导公式由附加条件可得

那么上式加上附加条件，即为取极值的必要条件设，上述必要条件变为以下方程组

函数称为拉格朗日函数参数λ称为拉格朗日乘子。

（隐函數存在定理1：条件如定理中所示对于方程，求其全导数

与附加条件联立（求解过程略）便得带入得极小值为。