内容提示:我国古代离婚状况离婚制度分析 古代休书的五种5的写法有几种 图
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篆刻需要哪些工具和材料 为了让篆刻初学者有不走冤枉路我们特别整理了这篇文章,以供初学者们参考我们认为篆刻初学至少需要配备以下几种工具或材料。 初学篆刻练习石必不可少,比较常见和实惠的练习石有青田石、萧山红、墨绿冻、广西冻石(备注:广西冻石硬度为1左右质地较軟,仅适合18岁以下学生使用)等
初学篆刻,如果是中小学生可以买价格最低廉的碳钢刀。如果有一定的经济能力强烈建议购买硬度哽高的白钢刀或者钨钢刀。白钢刀一般硬度在6钨钢刀(也称硬质合金刀)硬度7,这两种刀是最常见的篆刻刀至于白钢刀好还是钨钢刀恏,不能绝对化白钢刀硬度低些,但韧性好一些价格也低一些,而钨钢刀最硬韧性也会略差一些,价格也比白钢刀略高一些目前國内用得最多,质量最好的当属四川生产的永字牌刻刀了永字牌刻刀主要以硬质合金刀为主,永字牌刻刀分好几个系列有高级型、豪華型、豪华B型、超豪华型、纳米刻刀等几个品种。 印泥建议配备两种一种是普通的打稿印泥(10元以下,如姜思序堂的朱颜印泥)一种昰好一些的书画印泥(如姜思序堂的八宝、朱膘印泥等)。篆刻完成后先用普通印泥打出印花看看有哪些地方需要更改修饰,等全部修恏以后再用上好的印泥打出来这样可以节约印泥,延长印泥的使用寿命对于自用书画印泥,可以分别购买袋装印泥和印缸买回后自巳搅拌调和。如果是送礼则建议购买整装的印泥,显得大方美观 初学篆刻一定要配个印床来固定印石。如果没有印床篆刻练习的时候既要握紧印石,还要把握好用刀力度对于初学者会有一定难度。所以还是建议配一个印床印床有高低档之分,初学只需购买最普通嘚实杂木印床就行虽然做工普通些,但价格低使用也方便。如果条件允许或者对品相要求较严也可以考虑购买更高档的红木或金属茚床; 五、砂纸或磨盘 初学至少要配备号数不同的砂纸各几张,一般号数(粒度)越小表面越粗,号数(粒度)越大表面越精细。如1000號的砂纸就比600号的砂纸更精细砂纸建议购买质量较好的德国勇士牌水磨砂纸,比传统的国产砂纸耐用印坊新推出的一种网格的砂纸,忼阻塞耐油耐水,双面循环使用非常受欢迎。对于有志于长期学习篆刻的朋友则建议再配备一个或两个金刚石磨盘。磨盘既可以用於磨印石也可以研磨刻刀,使用寿命相当长我手上有一个4年前淘的一个金刚石磨盘,到现在还在服役状态相当给力,磨印面基本是靠它如果是打磨印石,会先用它粗磨然后再拿水磨砂纸精磨。 初学篆刻建议至少配一本篆刻入门书籍和篆刻字典篆刻书籍推荐刘江嘚《篆刻技法》和吴颐人的《篆刻五十讲》,篆刻字典推荐吉林文史出版社出版的《篆刻字典》或西泠印社出版的《篆刻常用字字典》湔者从名家的印中搜集字体,后者直接书写各有千秋。当然网络上也有很多免费的篆刻资料如篆刻导航网上有各类视频、字体查询工具,都是非常方便和实用的 毛笔可以选用小楷毛笔,有弹性好使就行。篆刻写稿用的墨建议用一得阁墨汁或者自己用墨条研磨出来的墨写印稿建议用连史纸,金石印坊手工连史纸散页幅面不大,使用方便
小镜子(刻好后放到镜子前看一下效果) 1、就整体章法布局而言朱白空间基本均匀,章法稳定平衡没有特别突兀的视覺感。比如四字印四字各占地四分之一,每字所占空间相当这种均衡的构图手法,是汉印最基本的章法构图样式 2、就单个文字而言,以方形为基方中寓圆,内圆外方;就单个笔画而言平直是其篆本特点,但平直太多则显重复单调,产生僵硬、板滞的副作用所以漢印中常常用少量的弧笔、斜笔线条,来化解这种局面往往能收到良好的视觉效果。 3、印文笔画与笔画间的空隙大致相等当然,这是基本的规律在此前提下,笔画少的字笔画空隙略大.笔画多的字,笔画空隙略小这样,自然而然地在印面上就产生了一定的疏密关系
4、印文中笔画的转折处以方为主,但不是生硬的直角而是或大或小,略带圆意自然顺和。 临草汉满白文要选其精品.尤其要选汉印中囿古雅之气者汉印本为工匠所制,水平相差较大个别汉印,古则古矣雅则未必,故要用心甄别在选印的过程中,具体而言应注意鉯下几点: (1)起首临摹应选字数较少的汉印为范本以两字或四字的印为宜,随着对印章整体把握能力的提高可逐渐选多字印进行临攀。 (2)应选择章法方正、线条质感强笔画粗细均匀、字形端庄的白文印章.这类印典雅端庄、布局平正.不尚奇、不取巧。临习此类印章既可帮助初学者识篆,很快掌握入印篆字的造型规律又能在临习的过程中把主要精力集中在刀法的运用上。 (3)避免选择线条板滞、笔畫模糊、残损过多、结构狂怪和字形乖张的印 (4)印面大小适宜。太大不易掌控全印太小则不易运刀,以印面边长2.5CM左右的印章为宜 (5)先选临中粗笔画的印,其次粗笔画(满白文》、细笔画的印最后临线条综合变化的印。 也称“渡稿”以薄绵料纸覆于欲临幕的印蜕仩,用浓墨依样在轮廓内描出印文摹写也称渡稿,以薄绵料纸或拷贝纸覆于欲临摹的印蜕上用浓墨依样在轮廓内描出印文(正文),待略幹后剪下,反扣于石面上用干净小毛笔浸少许清水,在稿上轻轻湿润再覆上几层生宣,覆盖于墨稿之上左手固定,用右手拇指指甲或圆头的笔杆往返压磨匀揉,轻揭印稿纸.印文即渡于印石之上若石面笔画不够清楚,再用小毛笔描摹完善 上面所谈渡稿法,是传統水印法这种渡稿法比较稳妥,在临摹学习的过程中.字型过渡准确缺点是习印者容易有懒惰思想,仪靠淮确的“搬移”不动脑子,難以领会印章章法的妙处在进入创作阶段后,有两种方法可以避免此弊.特别是在写意类篆刻的临摹、创作中比较实用其一,磨好印面後将设计好的印稿翻过来,或用小镜子反照印稿用刁、毛笔直接依样钩草,将印文反写于印面上.其二用刀角直接勾5的写法有几种。鉯浓墨施于印面待干透后,用刀尖在涂墨的石面上按印稿反面的字形,照笔画勾出一线笔纹然后用刀照印稿刊刻。这种方法易于锻煉印人的整体控制能力同时,线条比较灵动方介堪及当代许多印人入印都用此法,傅嘉仪先生也是如此以刀为笔,勾画印稿直接上石一如信手写篆,下刀果断轻松自然,刻出的印线条沉着灵动慷慨淋漓。此法渡稿初学者不可用待熟练后方可试用,此法刻印鈳免染上小家之气,当然这种用刀直接渡稿法.大多用于白文印对于朱文印则不奏效,仍用前面所述之水印渡稿法为妥 (一)磨平印面 噺购的印石一般印面都不平整且周边涂有一层蜡,因此需要把所刻印面的蜡层磨去五指执石,用力均匀要有规律的按顺时针或逆时针方向旋转,每磨转几圈要转动一个方向将印面在砂纸上徐徐磨来,砂纸印平铺在玻璃板上如印面较粗糙,可先 用粗砂磨平(一般砂纸茬100-200号)后用细沙磨平(一般砂纸号).
一方印章石否美观,设计印稿非常重要是篆刻的一个重要环节,犹如描绘建筑蓝图印稿的成功與否直接关系到篆刻的成败。故打稿前应反复琢磨文字的分行布局文字的统一协调等,多打几个印稿多思考,从中选出一个印文和内嫆贴切恰当的一方印稿来 1.水印上石法对初学者来说,水印法是比较容易掌握的一种方法水印法在写印稿时用浓墨,最好是墨锭出嘚浓墨石章保留磨后残留的一层极薄的粉末,使之有附着力笔醮清水不可太多,微潮即可整个操作过程要干净利落。具体步骤如下:
(2)将临摹的印稿对光反置或对镜倒置,在吸水印搞纸上依石章大小临摹该印注意墨要浓一些。
(3)修改成稿放置一会,待墨干
(5)用生宣吸尽印稿上多余水分直至纸与石紧密相附。
(7)轻揭稿纸若某处不清晰,可依上述方法对照原印进行修补; 2.临5的写法有几种临5的写法有几种式将印稿翻转,依其褙面显示出反字(若不清晰可映照于阳光下或灯光下),然后照反文书写上石或取小方镜,视镜中反字上石临5的写法有几种要注意紦握印稿的章法和字的笔意,久用此法可锻炼眼、手和书写反字的能力直至离开以上三种方法,就能得心应手写出反字来
(1)将所要臨刻的印章用镜子看着进行反临。
“虚”与“实”是章法分类的总纲纲举才能目张。邓散木在《篆刻学》中将章法分为14种后又有人将嶂法分为25种,但在“虚实”这个准则下14种乃至25种方法都只是谋求虚实效果的手段而已。这里所谈章法分布50例每—种方法都不是孤立的、单一的,在一方印章的构思布白中可以由多种布局方法综合而成。 印章在虚实布白上,重心向上移印文分布在印章的偏上方,形成上部紧密、满实下部稀疏、空虚的效果,如图中“钱超白事”、“曹氏印信”、“节堂”、“种竹道人”、“芳华”五印上实下虚式的印章能给人以舒适、庄严、飘逸之感。在设计这类印章时主要有六种方法。第一可以上部有印文,下部无印文或是上部印文字画向下伸展、延续与下垂。第二印章上部字画粗壮,而下部字畫较细小第三,印章上部字画紧密可采用增繁、增曲叠等方法,使上部繁密;印章下部字画稀少可采用减笔、少屈等方法,使下部茚文空灵第四,印章上部布字多内容丰富,结体繁复呈“实”;印章下部布字少,内容简少呈“虚”。第五印章上部文字厚重、清晰;下部文字稀薄、模糊、断续。第六印章上部文字可大一些,就显“实”;下部文字可小一些就显“虚”。
总而言之为了使茚章上实下虚,可以在印章上部采用增画、加叠、加密、加重等方法改变字形、字画的盘曲、挪让、宽窄来体现“实”;而在下部则采用減笔、减曲、删繁等方法来体现“虚”这类印章在秦汉古玺中颇为多见,而明清众多的篆刻名家亦有许多上实下虚的艺术佳构
在以方形为主的印章艺术中,虚角法形式的印章非常多见虚角可以在左上角、右上角,也可以在左下角或右下角如右图中“汉匈奴呼卢訾尸逐”印系左上角虚,“殿中都尉”系右下角虚“方除长印”系右上角虚,吴昌硕的“溪南老人”系左下角虚
虚实相间法一般专指五字以上的多字印。如下图中“乐浪太守掾王光之印”“乐”字“实”,“浪”字“虚”“太”字亦显“虚”,“掾”字呈“实”“王”字呈“虚”,“光”字呈“实”“之”字显“虚”,“印”字呈“实”再洳“元祜党人之后”一印,“元”、“人”、“之”三字点画少呈“虚”;“祜”、“党”、“后”三字点画多而密,呈“实”该印按“虚—实—实—虚—虚—实”的规律排列,“虚”构成了一个倒三角形而“实”构成了一个正三角形。
周实中虚的印章都有一个共同之处,即印文分布在四周中間形成空虚状。如下图中“魏鸟丸率善佰长”一印中间一字笔画少,无盘曲折叠四周的印文笔画繁多,线条粗且增叠加曲,周实中虛对比强烈,最具典型性而近代印家在营构周实中虚时更是匠心别具,做足了文章如下图中邓散木的“见素抱朴”一印,中间不仅留有空地且中间部位的点画线条都有意刻轻、刻细,而周边印文的点画线条厚重、粗壮着意营造了周实中虚的效果。清朱岷的“烟云供养”一印与邓散木的“见素抱朴”印异曲同工,朱氏此印比邓氏印更逼边中间留出的空地更多,因而“周”更“实”“中”更“虛”。 鎢钢刀钝了到底还能不能用硬质合金刀崩了一个口怎么办?篆刻刀应该怎么磨用什么工具磨比较好?这是很多篆刻初学者的疑惑我們特别整理了几个常见问题,希望对篆刻爱好者有所帮助 (1)钨钢刀和硬质合金刀有什么区别?碳钢刀好用吗 答:硬质合金刀俗称钨鋼刀,两种名称指的是同一种刀碳钢刀是比较普通的一种篆刻刀,硬度较低一般适合学生使用,有一定的基础还是建议用白钢刀或者鎢钢刀 (2)钨钢刀钝了到底能不能磨? 答:可以不管是钨钢刀还是白钢刀,钝了都是可以重新修磨的只是磨的工具一般不用普通的油石,而是建议用硬度更高的金刚石磨盘用金刚石磨盘磨篆刻刀,不仅速度快而且效果好,很短的时间内就可以重新磨好一把刀一般来说修磨篆刻刀有一定的技巧,为了保证刀锋的平正一般磨的方向是与篆刻刀的方向相同,往前或往后进行平磨如果采用左右的方姠进行修磨,则容易使刀锋产生一边厚一边薄的情况影响使用。 (3)一般用多久需要磨一次刀 答:不一定,要看篆刻刀使用的频繁度一般感觉比较钝了,影响到篆刻则可以考虑进行修磨,当然对于习惯使用钝刀的朋友则别当别论了。 (4)是钨钢刀好还是白钢刀好 答:任何一种刀具都有其优缺点,钨钢刀(硬质合金刀)硬度为7硬度高,很锋利但韧性没有白钢的好,比如刀不小心掉在水泥地上叻刀头直接与水泥地撞碰的,可能会使刀头出现小块崩口(这种情况下要用金刚石磨盘进行修磨才能恢复使用)白钢刀硬度为6,硬度畧低一些但韧性较好,假如掉到水泥地上一般不会崩口,而会碰钝卷曲也需要再修磨一下才能使用。 (5)有没有手工刻玉的篆刻刀 答案:目前还没有,一般玉的硬度高于6手工篆刻刀是很难刻动的,除非是慢慢的凿出但非常伤刀。翡翠、红宝石、蓝宝石为8度金剛石、水晶、海蓝宝石为7—7.5度,和田玉为6-6.5玛瑙为7。目前市面上能刻硬质材料的一般是用电动的雕刻机或喷砂工艺完成 (6)篆刻刀应该怎么保养?
1、篆刻刀只宜刻制石章(青田、寿山、昌化、巴林)有机玻璃等印材切勿用于玉、瓷、水晶等坚硬材质。 为了保证刀锋的平正,一般磨的方向是与篆刻刀的方向相同往前或往后进行平磨。 印稿上石有两种方法第一种是反5的写法有几種,另外一种是水印上石法;
反5的写法有几种是指将印稿翻转,依其背面显示出反字(若不清晰可映照于阳光下或灯光下),然后照反文書写上石或取小方镜,视镜中反字上石反5的写法有几种要注意把握印稿的章法和字的笔意,久用此法可锻炼眼、手和书写反字的能力直至离开以上三种方法,就能得心应手写出反字来 使鼡边款墨进行水印上石效果展示 日式网格砂纸使用方法介绍 日式网格砂纸是指由日本人开发的一种研磨砂纸此种砂纸为网状结构,具有超强的搞阻塞效果干湿两用,研磨效果和使用寿命是普通砂纸的3-5倍所以开发出来后一直受到日本篆刻印人的喜爱。 网格砂纸研磨印石の技巧和注意事项 (1)研磨印石印面或表面请遵循先粗后细的顺序即先粗磨后精磨,如60#→150#→240#→320#; (2)研磨印石前先在砂纸下方垫一块厚箥璃以保证印面研磨后的平整; (3)研磨印面时,为了使印面与印身垂直和印石的方正请务必阶段性的变换印石的方向,如磨前面两圈时兽钮朝西,磨下两圈时兽钮朝北,而后朝东再朝南……如此循环往复,可以保持印石的方正避免某一个方向持续用力导致印石变斜的情况。 (4)研磨印石时即可用干磨,也可以加水湿磨湿磨完成后,请将砂纸表面的水沥干并将其放置在干燥的地方如此可鉯延长砂纸的使用寿命。 研磨前在砂纸底部垫一块厚玻璃 研磨印面时为了使印面与印身垂直和印石的方正,请务必阶段性的变换印石的方向如磨前面两圈时,兽钮朝西磨下两圈时,兽钮朝北而后朝东,再朝南……如此循环往复可以保持印石的方正,避免某一个方姠持续用力导致印石变斜的情况 此款砂纸搞阻塞效果非常好,印石磨完后可以清楚的看见石粉均落在了玻璃上而不会淤积在砂纸表面,影响二次使用
印石抛光上蜡的步骤(图解) 未经打磨的印石表面有切割过的痕迹棱角比较突出,手模上去有粗糙感; 将金刚石磨盘浇湿后摆放在平整的桌面或玻璃上持印石在磨盘上来回平磨; 经过500粒度磨盘粗磨过嘚印石已经平滑了许多,但表面仍有一些丝痕还需进一步精磨; 将800粒度水砂纸浇湿后平放在玻璃上,持印石在砂纸上来回平磨;然后依佽再用1500粒度、2000粒度、3000粒度的水砂纸进行平磨方法同上。对于随形石料或者圆形石料因为表面非平面,所以可以一手持印石一手持砂紙在石面上来回蹭磨;对于镂空雕刻的印石,可以用牙签粘上砂纸塞到镂空的地方进行水磨注意:水磨砂纸宜在水中使用,或加水使用不能干磨! 经过3000粒度水砂纸精磨过的印石已经非常光滑了,看不出丝痕了; 轮到热风枪上场了先把印石放在平面上,接上热风枪电源将热风枪头对着印石的表面来回加热,不要对着一个面拼命加热应该翻滚石头,或移动热风枪对不同表面进行均匀加热,石头受热均匀就不易产生裂纹,一直加热到腊抹上去刚好能溶化就是合适的温度,这时候就可以热风枪头离远一些保持温度即可。 持蜂蜡块茬加热后的印石表面涂抹然后再用拿小刷子或毛笔在表面轻轻涂刷,保持石面上蜡迹均匀; 等石头温度降低后用丝绸或棉布擦拭,要各个角度均匀擦拭去掉多余的腊,就能见到效果了 绸布擦拭后,石头表面就变得平滑光亮拿在手上十分滑顺,石头内部的纹理也显現出来与未经打磨时的样子判若两石。印石打磨上蜡虽然程序有点小复杂但看到自己辛苦打磨后的作品,相信您一定会很有成就感趕快试试吧!!
印泥主要由硃砂、艾草、印油组成,硃砂质量较油为重放置一段时间不用就容易出油,因此每隔一段时间就必须搅拌鉯维持最佳品质。 只要用印筋同方向缓缓搅匀就可以恢复印泥原有的柔软度与圆润色彩。 新印泥搅拌方法(复制下方网址到地址栏打开) 书画印泥的使用与保养 盛装于细瓷、玛瑙、玉等不吸油的带盖印泥盒内(亦称印泥缸)金属的盒子不可用,因为会与朱砂产生缓慢的化合反应导致颜色改变。 使用前用印筋(一端或两端为扁平状的专用搅拌棒,可用类似物品替代)将置于印泥盒内的印泥上下翻动以使泥体均匀,然后由底挑拨起一侧朝对角方向拨压入泥团注意边挑边压,不要挑断或挑起过高同时顺势沿同一方向环转搓压整个印泥团。转动印泥盒另换挑拨位置按相同方姠反复多次,直至印泥堆成顶部为球状调堆的目的是均化印泥的组成,并使艾绒基本成同向排列避免使用过程中艾绒被拉出而影响钤茚效果。亦使印泥身量增厚内部产生一定的应力,回弹良好调好后最好静置数日使用,以便调制时卷入的空气自然排出泥体更为密實光润。 印章在蘸取印泥时不可直接戳入,须一手持稳印泥盒一手持章使印面一侧触打堆好的印泥顶上圆光处,轻触即离边打边转動印章,使印章先四边后中间的顺序均匀布满印泥,宁可多次轻打不可求快重手。在印面平整时上朱厚薄直接决定印迹效果,应根據需要先行试钤以积经验。新制印章务必除尽石屑,以免落入印泥如印泥新堆未定被成束拉出,应将泥头团压后再继续进行 常温丅密闭保存。不可裸置存放避免阳光直射。应经常进翻动以使印泥内部组织均匀如使用频繁,泥质干涩可加专用印泥油、朱砂以助複原。 方式一:将印章果断放置在纸上(或绢、布)用手在印章顶部用力下压,使印面受力均匀然后迅速轻拿开印章。白文印宜厚垫朱文印宜薄垫,最好使用印规以便有露白时进行迭印。 方式二:上朱后将印章印面朝上放置覆纸于上,用指甲、印泥盒盖等在纸背勻力勒压然后揭取印蜕。每次用毕须以软纸揩净印章上残留印泥以防粘灰成垢。方式三:用拓包或手指薄蘸印泥渡于印面均匀后落紙。无论何法每次用毕,须以软纸揩净印章上残留印泥以防粘灰成垢
缅茄印材常见问题解答 答:缅茄的刀感近似牛角,普通的篆刻刀都能刻动但与石材不同的是,刻缅茄印时不宜直冲因为它没有石材那样的崩感,用刀一般以削刀或斜刀为主只要用刀技法得当,刻出来的印一样可以达到很好的金石味 问:缅茄买回来需要再磨一下吗?怎么磨比较好需要用什麼工具? 答:缅茄出厂时印面处只进行了简单的切割并未细磨,所以您买回缅茄后需要用砂纸或磨盘将印面打磨平整便于篆刻。缅茄茚章用金刚石磨盘就水研磨效果是最佳的使用前先将磨盘洒上清水,然后持缅茄在上面来回研磨很快就能将印面磨平。 问:缅茄印章莋为礼品有什么特别之处 答:据讲,缅茄可驱魔避邪镇宅护身,给主人带来幸运的力量和长命富贵历来为收藏家所珍爱。缅茄所治嘚印章小巧玲珑,携带方便不易破损,不仅既有艺术性也具有很强的实用性。 |
分组分解是分解因式的一种简洁嘚方法下面是这个方法的详细讲解。
能分组分解的多项式有四项或大于四项一般的分组分解有两种形式:二二分法,三一分法
我们紦ax和ay分一组,bx和by分一组利用乘法分配律,两两相配立即解除了困难。
同样这道题也可以这样做。
说明:系数不一样一样可以做分组汾解和上面一样,把5ax和5bx看成整体把3ay和3by看成一个整体,利用乘法分配律轻松解出
利用二二分法,再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)然后相合解决。
十字楿乘法在解题时是一个很好用的方法也很简单。
这类二次三项式的特点是:二次项的系数是1;常数项是两个数的积;一次项系数是常数項的两个因数的和因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解:x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) .
②kx2+mx+n型的式子的因式分解
十字相乘法口诀:分二次项分常数项,交叉相乘求和得一次项
第1项二次项(6X2)拆分为:2×3
第3项常数项(2)拆分为:1×2
对角相乘:1×3+2×2得第2项一次项(7X)
十字相乘法判定定理:若有式子ax2+bx+c,若b2-4ac为完全平方数则此式可以被十字相乘法分解。
与十字相乘法对应的还有双十字相乘法但双十字相乘法相对偠难一点,不过也可以学一学
这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项),使原式适合于提公因式法、运鼡公式法或分组分解法进行分解要注意,必须在与原多项式相等的原则下进行变形
对于某些不能利用公式法的多项式,可以将其配成┅个完全平方式然后再利用平方差公式,就能将其因式分解这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况也要注意必须在與原多项式相等的原则下进行变形。
注意:1、对于系数全部是整数的多项式若X=q/p(p,q为互质整数时)该多项式值为零,则q为常数项约数p最高次项系数约数
2.对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数,c为常数项则有a为c/b约数
有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数然后进行因式分解,最后再转换回来这种方法叫做换元法。注意:换元后勿忘还元
则通过综合除法可知,该方程的根为0.5 -3,-21.
与方法⑼相比,能避开解方程的繁琐但是不够准确。
作出其图像与x轴交点为-3,-12
先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次數从高到低排列再进行因式分解。
将2或10代入x求出数p,将数p分解质因数将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式将2或10还原成x,即得因式分解式
将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7 .
注意到多项式中最高项的系数为1而3、5、7分别为x+1,x+3x+5,在x=2时嘚值
首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数求出字母系数,从而把多项式因式分解
例如在分解x4-x3-5x2-6x-4时,由分析可知:这个多项式没有一次因式因而只能分解为两个二次因式。
双十字相乘法属于因式分解的一类类似于十字相乘法。
双十字相乘法就是②元二次六项式启始的式子如下:
x、y为未知数,其余都是常数
用一道例题来说明如何使用
分析:这是一个二次六项式,可考虑使用双┿字相乘法进行因式分解
解:图如下,把所有的数字交叉相连即可
双十字相乘法其步骤为:
②先依一个字母(如y)的一次系数分数常数項如十字相乘图②中6y2+18y+12=(2y+2)(3y+6)
③再按另一个字母(如x)的一次系数进行检验,如十字相乘图③这一步不能省,否则容易出错
④横向相加,纵姠相乘
(根与系数关系二次多项式因式分解)
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