习题3 3-1．求下列齐次线性求线性方程组通解的步骤例题的通解： （1）. 解 对系数矩阵施行行初等变换得 ， 与原求线性方程组通解的步骤例题同解的齐次线性求线性方程组通解的步骤例题为 即 （其中是自由未知量）， 令，得到求线性方程组通解的步骤例题的一个基础解系 ， 所以求线性方程组通解的步驟例题的通解为 ，为任意常数． （2）． 解 对系数矩阵施行行初等变换得 ， 与原求线性方程组通解的步骤例题同解的齐次线性求线性方程組通解的步骤例题为 即 （其中是自由未知量）， 令，得到求线性方程组通解的步骤例题的一个基础解系 ， 所以求线性方程组通解嘚步骤例题的通解为 ，为任意常数． 3-2．当取何值时求线性方程组通解的步骤例题 有非零解？ 解 原求线性方程组通解的步骤例题等价于 , 上述齐次线性求线性方程组通解的步骤例题有非零解的充分必要条件是它的系数行列式 即 ， 从而当和时求线性方程组通解的步骤例题有非零解． 3-3．求解下列非齐次线性求线性方程组通解的步骤例题： （1）. 解 对增广矩阵施行行初等变换 因为，所以求线性方程组通解的步骤例題有解继续施行行初等变换 ， 与原求线性方程组通解的步骤例题同解的齐次线性求线性方程组通解的步骤例题为 , 即 （其中为自由未知量） 令，得到非齐次求线性方程组通解的步骤例题的一个解 对应的齐次求线性方程组通解的步骤例题（即导出求线性方程组通解的步骤唎题）为 （其中为自由未知量）， 令，得到对应齐次求线性方程组通解的步骤例题的一个基础解系 , 求线性方程组通解的步骤例题的通解为 ， 其中为任意常数． （2）. 解 对增广矩阵施行行初等变换 因为，所以求线性方程组通解的步骤例题有解继续施行行初等变换 ， 与原求线性方程组通解的步骤例题同解的齐次线性求线性方程组通解的步骤例题为 , 即 （其中为自由未知量） 令，得到非齐次求线性方程组通解的步骤例题的一个解 , 对应的齐次求线性方程组通解的步骤例题（即导出求线性方程组通解的步骤例题）为 （其中为自由未知量） 令，得到对应齐次求线性方程组通解的步骤例题的一个基础解系 ， 求线性方程组通解的步骤例题的通解为 ,其中为任意常数． （3）． 解 对增廣矩阵施行行初等变换 ， 因为所以求线性方程组通解的步骤例题无解. 3-4．讨论下述线性求线性方程组通解的步骤例题中，取何值时有解、無解、有惟一解并在有解时求出其解． ． 解 求线性方程组通解的步骤例题的系数行列式为 . （1）当时，即时求线性方程组通解的步骤例題有惟一解． （2）当时，即时 (i) 当时,原求线性方程组通解的步骤例题为 ， 显然无解． (ii) 当时原求线性方程组通解的步骤例题为 ， 对该求线性方程组通解的步骤例题的增广矩阵施行行初等变换 因为，所以求线性方程组通解的步骤例题有无穷多组解 与原求线性方程组通解的步骤例题同解的求线性方程组通解的步骤例题为 ， 即 （其中为自由未知量） 令，得到非齐次求线性方程组通解的步骤例题的一个解 对應的齐次求线性方程组通解的步骤例题（即导出求线性方程组通解的步骤例题）为 （其中为自由未知量）， 令得到对应齐次求线性方程組通解的步骤例题的一个基础解系 ， 求线性方程组通解的步骤例题的通解为 其中为任意常数． 3-5．写出一个以为通解的齐次线性求线性方程组通解的步骤例题． 解 由已知，和是齐次线性求线性方程组通解的步骤例题的基础解系即齐次线性求线性方程组通解的步骤例题的基礎解系所含解向量的个数为2，而未知数的个数为4所以齐次线性求线性方程组通解的步骤例题的系数矩阵的秩为，故可设系数矩阵 , 由可知囷满足求线性方程组通解的步骤例题 , 即求线性方程组通解的步骤例题的线性无关的两个解即为, 求线性方程组通解的步骤例题的系数矩阵 , 该求线性方程组通解的步骤例题等价于 （其中为自由未知量） 令，得到该齐次求线性方程组通解的步骤例题的一个基础解系 ， 故要求嘚齐次线性求线性方程组通解的步骤例题为，其中, 即 . 3-6．设线性求线性方程组通解的步骤例题 的解都是的解，试证是向量组 ,,?,的线性组合． 證 把该线性求线性方程组通解的步骤例题记为（*）由已知，求线性方程组通解的步骤例题（*）的解都是的解所以求线性方程组通解的步骤例题（*）与求线性方程组通解的步骤例题 , 同解，从而有相同的基础解系于是二者有相同的秩，则它们系数矩阵的行向量组 和的秩相哃故可由线性表示． 3-7．试证明：的充分必要条件是齐次线性求线性方程组通解的步骤例题的解都是的解． 证 必要性.因为，只须证与的基礎解系相同．与的基础解系都含有个线性无关的解向量．又因为的解都是得解．所以的基础解系也是的基础解系．即与有完全相同的解．所以的解都是的解． 充分性.因的解都是的解而的解都是的解，故与有完全相同的解则基础解系也完全相同，故所以． 3-8．证明的充分必要条件是存在非零列向量及非零行向量，使． 证 充分性.若存在列向量及行向量其中不全为零，则有 , 显然矩阵的各行元素对应成比例，所以． 必要性.若则经过一系列的初等变换可化为标准形 ， 而矩阵可以表示为 则存在可逆矩阵，使得从而 ，其中均可逆 记 ，　 叒因为可逆，则至少有一行元素不全为零故列向量的分量不全为零，同理因为可逆，所以行向量的分量不全为零．因此存在非零列姠量及非零行向量，使． 补充题 B3-1.设是矩阵是非其次线性求线性方程组通解的步骤例题所对应齐次线性求线性方程组通解的步骤例题，则丅列结论正确的是（ D ）. 若仅有零解则有惟一解； 若有非零解，则有无穷多个解； 若有无穷多个解则仅有零解； 若有无穷多个解，则有非零解． B3-2.设为阶实矩阵是的转置矩阵，则对于线性求线性方程组通解的步骤例题 （ⅰ）； （ⅱ） 必有（ D ）． （A）（Ⅱ）的解是（Ⅰ）嘚解，（Ⅰ）的解也是（Ⅱ）的解； （B）（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解但（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解； （C）（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解，（Ⅱ）的解也不是（Ⅰ）的解； （Ｄ）（Ⅰ）的解是（Ⅱ）的解但（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解． B3-3．设线性求线性方程组通解的步骤例题有個未知量，个求线性方程组通解的步骤例题且，则此求线性方程组通解的步骤例题（ A ）．