图片中提到的线性微分方程的解嘚结构定理应该就是下面的这个定理。

在线性代数中谈到过向量的线性相关和线性无关实际上线性相关和線性无关的概念可以推广到函数当中（函数有时也是一种向量）。函数的线性相关和线性无关的定义是：
若 则称函数组 线性相关
（因为其中任意一个函数都能够用其它函数线性表出，所以说线性相关）；

若 则称函数组 线性无关
（因为其中任意一个函数都不能够用其它函數线性表出，所以说线性无关）

题主所发的问题的解答的第一步实际上是在寻找两个线性无关的特解，以便匹配定理中给出的微分方程嘚解的结构不过这两个特解是用于匹配齐次方程的通解的，所以第一步才会尝试一个特解分别减去另外的两个特解看看得到的两个差昰否线性无关，它的原理实际上是

非齐次微分方程的特解是

这三个特解中任意两个特解相减都会消掉非齐次方程的那个特解 因而用 就可鉯得到两个齐次方程的特解，即
齐次方程的通解结构是

当然，在做这道题的时候我们并不知道到底哪个是齐次方程的特解，哪个是非齊次方程的特解因此这里可以通过这种形式推导来发现找出齐次特解的方法，而在我们将三个特解中任意两个特解相减后我们的确得到叻齐次方程的特解

为了简化计算，我们需要对这两个特解进行进一步的处理这就是图片中出现
“ ”的原因，实际上是 和 线性无关这兩个解十分简短，可用于构造齐次微分方程的通解然后选择任意一个特解，去掉上面这两个解的一个线性组合就得到较为简短的非齐佽的特解，然后可以根据常系数二阶非齐次线性微分方程的解的结构写出微分方程的解（当然求微分方程实际上用到了特征方程的知识）

题中说了，是二阶常系数非齐次线性微分方程那其实可以通过求导来找出这个微分方程

设所求微分方程是 ，把这些原函数和导函数统統代入进去：

代入回所求微分方程有
然后将一个特解代入，得

P. S.：题主的疑问

是这样的实际上书上的 和 是同类项，完全可以合并在一起然后我们把 写成新的 得到的就是我刚刚算出来的微分方程的通解。

自己推导出来之后这个通解公式我再也不会忘记了^_^

一阶非齐次线性微分方程：

设g是x的函数，(2)两边乘以g得

根据函数的求导法则，有

（观察发现(3)的左边和(4)的右边比较接近只要P(x)g = g'就相等了！！）

将(5)两边积分，得

(6)是齐次线性微分方程，而且只需要求出一个特解根据齐次线性微分方程通解公式，得

(? ???ω??? ?)推导完毕

其实直接设 的话推导的步骤会更简洁，但是谁能直接想到这样设呀ヽ(｀Д?)?