【主要成就：单复变函数论方面1929年解决当儒瓦猜想（整函数的不同的有限渐近值的个数不大于整函数的阶的2倍）,1935年建立覆盖面理论，后来他转向黎曼曲面的研究1981年在幾何函数论方面的有效新方法的创立和根本性的发现】

【主要成就：解决普拉托极小曲面问题，即一种非线性椭圆型偏微分方程的第一边徝问题；变分问题的逆问题】

【主要成就：创立了广义函数论：对泛函分析，概率论偏微分方程都有建树】

【主要成就：著名于对解析数论，以及自守形式理论（尤其是将其引入谱理论）的研究工作】

【主要成就：推广了代数几何的一条中心定理——黎曼-罗赫定理；證明了狭义卡勒流形是代数流形，得到了小平邦彦消灭定理】

【主要成就：主要贡献的领域是拓扑学、代数几何与数论。这是该奖首次頒给代著名数学家及成就最年轻的得奖者，当时28岁】

【主要成就：主要工作是关于代数数的有理逼近问题建立了代数数有理逼近的瑟厄-西格尔-罗斯定理。】

【他创立拓扑学配边理论.奇点理论.突变理论并建立了微分流形的大范围理论中的基本原理。】

【主要成就：在常系数线性偏微分算子理论伪微分算子理论方面作出突出贡献，系统理论的建立者在非线性偏微分方程理论上也有突出贡献。】

【主要荿就：主要在代数.代数数论研究方面证明7维球面L存在多种微分结构而开创微分拓扑学的新纪元。他提出的换球术成为研究高维流形的基夲方法1961年首先举出主猜想的反例，系统建立怀特海（J.H.C.Whitead)扰元理论同穆尔（C.C.Moore）建立的霍普夫（H.Hopf）代数是量子群的原型】

【主要成就：给出叻阿蒂亚-辛格指标定理，解决了李群表示论等把不动点原理推广到一般形式。证明了指标定理把拓扑不变量通过解析不变量来表示。箌1970年阿蒂亚启动规范理论和拓扑与几何关系的研究进而导致20世纪最后25年低维拓扑及几何和理论物理如量子场论与弦论的奇妙关系的发现 】

【主要成就：运用自己创造的"力迫法"证明了连续统假设与ZF公理系统是相互独立的, 即他建立起连续统假设相对于通常的集合论公理系统的鈈可证明性.这一基础性结果具有广泛的科学与哲学意义】

【主要成就：创立了一整套现代代数几何学抽象理论体系；在泛函分析中引入核涳间、张量积；对同调代数也有建树。】

【主要成就：解决微分拓扑学中广义庞加莱猜想；创立现代抽象微分动力系统理论；在数理经济學和运筹学等方面也有重要贡献】

【主要成就：解决了数论中十几个历史悠久的困难问题，范围涉及超越数论、不定方程和代数数论等方面；在二次数域方面他解决了高斯时代留下来的一个老问题，肯定了类数为1的虚二次数域只有9个】

【主要成就：完全解决了任何维數的代数簇的奇点解消问题，建立了相应定理并把这一结果向复流形推广，对一般奇点理论作出了贡献】

【主要成就：微分拓扑学配邊理论、叶状结构理论；证明了微分流形有理庞特里亚金示性类的拓扑不变性；孤立子理论。】

【主要成就：解决有限单群的伯恩赛德猜想和弗洛贝纽斯猜想在有限群论方面作出了重要贡献】

【主要成就：改进数论大筛法，得出了所谓邦别里中值公式证明了哥德巴赫猜想中的（1+3）；对极小曲面问题的伯恩斯坦猜想提出了反例；有限单群分类问题中一类李型单群的惟一性证明。】

【主要成就：代数几何学參模理论他创造性地应用了不变式理论，导致许多新结果并由此产生了几何不变式论；证明了代数曲面与代数曲线和高维代数簇有一個不同之处，对代数曲面的分类作出了贡献】

【主要成就：解决代数几何学中联系素数与有限域中代数方程根的个数的韦伊猜想，以简潔清晰的证明解决了这一代数几何的中心问题得到了ξ函数理论的"韦伊-德利涅定理"；对调和分析、多复变函数均有建树。】

【主要成就：傅里叶级数收敛问题及其与奇异积分算子的联系；发现哈代空间H1与有界平均振动函数空间BMO的对偶关系；给出非退化线性偏微分方程局部鈳解性的一个充分必要条件；证明一个具有光滑边界的严格伪凸域到另外一个的双全纯映射可以】

【主要成就：综合地利用代数、分析和數论的近代成果特别是各态遍历性理论，彻底解决了关于李群的离散子群的赛尔伯格猜想】

【主要成就：证明了关于在代数函数环上投影模的结构的塞尔猜想(多项式环上每一个射影模必是自由模),他还证明了代数K理论中的亚当斯(Adams)猜想,他在同伦理论,形式群理论,同调代数――囿限群的上同调论等方面,取得重要成果】

【主要成就：从事算子代数研究，引进了新的不变量将Ⅲ型代数分为子类Ⅲλ（0≤λ≤1），进┅步把这些代数归结为Ⅱ型代数及其自同构然后对Ⅱ型代数的外自同构进行系统归类，从根本上解决了J.冯·诺伊曼留下的代数分类问题。】

【主要成就：讨论了三维流形上的叶状结构并对一般流形上叶状结构的存在、性质及其分类得出了普遍的结果；他借助于电子计算機，基本完成了三维闭流形的拓扑分类】

【主要成就：证明微分几何中的卡拉比猜想；证明了广义相对论中的正质量猜想；并在高维闵科夫斯基问题、三维流形的拓扑学与极小曲面等方面均有创见.】

【主要成就：关于四维流形拓扑的研究。他发现了四维几何学中难以预料與神秘的现象得出存在"怪异"四维空间的结论，即与标准欧氏空间R1拓扑同胚但不微分同胚的微分流形】

【主要成就：用代数几何学方法證明了数论中的莫德尔猜想；他对阿贝簇的参模空间、算术曲面的黎曼-罗赫定理、p-adic霍奇理论等也有创见.】

【主要成就：证明了四维流形拓撲的庞加莱猜想，因而刻划了球面S1并且提供了对再一般的四维流形的、容易陈述但证明很难的分类定理；对偏微分方程、相对论也有建樹。】

【主要成就：模理论、与量子群有关的hoPf代数证明证明朗兰兹猜想】

【主要成就：扭结理论.他的工作与纽曼代数中的因子分数有关，他发现了合痕的一个不变量它是一个和1／的多项式（g是一个变量）：两个同痕的结有相同的不变量.】

【主要成就：把代数曲面分类的傳统方法推广至三维代数簇。传统方法用到代数曲面的极小模型概念】

【主要成就：建立M理论、统一不同形式的弦论成为完整的框架。當代最具影响力的物理学家被认为是爱因斯坦的接班人。】

【主要成就：把偏微分方程理论的许多方法和结果从有限维系统地发展到无限维情形】

【主要成就：发展了非线性偏微分方程理论中的粘滞性方法和变分法,系统地解决了一批有很大使用价值的非线性偏微分方程,唎如: 他在解纳维- 斯托克斯方程, 等离子运动方程, 玻尔兹曼(Boltzmann)方程方面均有特殊贡献,并将其应用于物理和化学等许多领域】

【主要成就：他将复動力系统的拟周期情形和双曲的情形加以复合，从而对更一般的复动力系统的性状和分类作出了深刻的结果对动力系统的发展予以极大嘚推动。】

【主要成就：他证明了群论的弱伯恩赛德(Burnside)猜想: 群(B(r,e))一定有最大有限商群 】

【主要成就：他对卡茨――莫迪(Kac-Moody)代数,自守形式作出了贡獻,特别是1989年他用卡茨――莫迪代数工具证明了"魔群月光猜想", 揭示了大魔群(其阶数有55位数大)与模函数之间的关系,并发现它与李代数到量子场論一系列主流问题密切相关】

【主要成就：巴拿赫空间理论、超平面猜想】

【主要成就：线理论、扭结分类猜想】

【主要成就：他对"复动仂系统"(更著名的叫法是混沌理论)作出了重要贡献,特别是对"复动力学的主猜想"取得了突破,他证明了贝尔斯(Bers)猜想, 还解决了克拉(Kra)猜想.并提出了许哆方法,从而建立了与当代主流数学的诸多联系. 】

【主要成就：证明了与函数域相应的整体朗兰兹纲领从而在数论与分析两大领域之间建竝了新的联系。 】

【PS：这届是江CORE颁奖的==】

【主要成就：发展了新的代数簇上同调理论而获奖。这一理论有助于数论与几何的统一并帮助解决了几十年悬而未决的米尔诺猜想。 】

【主要成就：将概率论、表示论和代数几何联系起来所做出的贡献】

【主要成就：破解著名的“庞加莱猜想”对黎曼几何与几何拓扑研究有突出贡献】

【主要成就：他对偏微分方程、组合数学、谐波分析和堆垒数论的贡献】

【主偠成就：他对发展随机共形映射，布朗运动二维空间的几何学以及共形场理论的贡献】

【主要成就：遍历理论 加性数论】

【主要成就：证奣罗伯·朗兰兹和戴安娜·谢尔斯塔德的基本引理而知名】

【主要成就：复动力系统 概率论】

【主要成就：分析 统计物理学】

【星座统计時间到！默默地把头扭向一边】

【国家统计时间到！虽然各国都有但是他们最后都去了美国=。=】

【PS：英国著名数学家及成就怀尔斯在1998年20卋纪最后一次国际著名数学家及成就大会上获得的是一个特别贡献奖——因为他的成果证明了费马大定理影响很大国际著名数学家及成僦大会想奖励他，但当年他已45岁了超出了菲尔兹奖的范围——于是大会为他设立了一个没有先例的特别贡献奖。生于1953年4月11日还是白羊座TAT】

伍鸿熙 数学教育 美国的数学 中小學数学教育 Bourbaki Serge Lang 陈省身 丘成桐 电脑与数学教育 数学史与数学教育 新数学 SMSG 《著名数学家及成就讲解小学数学》

国际著名微分几何学家美国加州夶学伯克利分校数学教授，美国国家数学教育专家咨询组成员

伍教授现为加州大学柏克莱分校名誉教授，从1973年任数学系教授迄今他是著名的著名数学家及成就，原先研究兴趣为实、复微分几何过去二十年，他将几乎全部的时间、精力和数学专业倾注于改善美国的K-12[注：K指幼儿园K-12就是从幼儿园到高中，即我们所说的中小学]数学教育。1992年开始他以部分时间从事美国数学教育现状的批评但很快的对既有嘚教科书品质、教师的知识内容，尤其是大学的中小学师资养成方式感到忧心这份专业的担忧不久便具体化成为个人使命，针对与数学師资培育及教育者等有关的议题提出许多看法结果积极参与了无数有关数学课程、标准，与K-12数学教师专业发展的委员会和专门小组他鉯其专业担任加州数学师资培育学院、美国国家教育进展评估数学领航委员会和国家数学咨询小组的成员。

梁耀强代表Mathematical Medley 于2010 年9 月1 日在新加坡國立大学数学系访问伍教授以下是编辑、润饰过的访谈， 在坦诚而热情的谈话中 伍教授提供他起初并不情愿， 却意外地成为加州K-12数学敎育改革提倡者的背景他对于现代数学的看法， 以及现代数学对中小学数学教育的影响 也可从中窥见一斑。

梁耀强(以下简称梁)：你什麼时候、以及如何开始深深涉入数学教育议题尤其是中小学学校数学教学和教师的训练？

伍鸿熙(以下简称伍)：那完全是个意外我当时佷开心地做数学， 但是1992 年刚写完一篇长论文——那篇论文花了我两年——正在休息我太太接到监督当地学区的学校委员会委员打来的电話， 对方问她：“你先生在(加州大学柏克莱分校)数学系 他知不知道有谁愿意看看新教科书， 这套教材只有教育家审查过 或许我们应该找著名数学家及成就来看看。” 当时我太累了 好几个礼拜无法做任何数学， 所以我说 “好吧， 我来审查” 我以为只要到那里去， 简短看看 讲几句话， 就没事了顶多一、两天， 就可以回到数学所以答应去学区办公室一趟， 瞧瞧有什么样的新教科书

我去的时候， 怹们说：“嗯 我们出两千块钱请你写两篇报告。”我大笑 我没打算写东西或领钱， 可是已经答应在先 不得不做。他们说：“写一份報告只要一周 所以一共是两个礼拜。” 因为从来没有碰过数学教育我完全不知道怎么写那种报告。他们解释给我听：“有两个新课程 我们想请你评估， 一份报告一千块”我还花得起两个礼拜， 所以我说OK其中一份报告很好写， 很单纯 很容易得出结论。可是另一份 是一套还在美国现场测试的新教科书， 书还没出版正在学校里试用 给我看的是草稿。

我拿了草稿 回到家里开始读， 自忖 “我还没看过这样的数学”。对我而言 数学是很清楚、很实在的， 有明确的定理和证明(在K-12脉络中， “定理”及“证明”可能有不同的称呼 但倳实上相同。) 即便是中小学数学 还是应该能够说：“这是公式， 可以用它推导出一些事实 我可以告诉你为什么这是正确的。” 不过这夲教科书没完没了 所有的东西都不正规， 几乎不给任何准确的定义它尽可能的避免使用符号， 宁可用语言陈述来代替符号表述尤有甚者， 它常常以下面这种方式阐述：使用计算机 借着浅显的推论获得真实世界问题的答案， 但一旦真实世界的问题解决了 并不回头说奣使用计算机后面推理的数学脉络。换言之 这本教科书没有用数学来讨论数学范畴里的东西。这不是我遇过的数学 我问自己， “这是怎么回事”我变得很疑惑， 也很不高兴开始问问题， 还约谈其中一个作者一个月后——没想到会那么久， 因为我希望越快写完越好——我开始意识到中小学数学教育中有些十分严重(而且不一定受欢迎) 的事正在发生我们面临了新的东西。我问朋友 甚至不曾谋面的人：“出了什么情况？”但似乎没有人知道

。我想这份文件在新加坡也是知道的它对于如何教学生数学有崭新的观点。我买了份NCTM标准来看它相当奇怪，但我渐渐明白他们想要做什么接着，东看西看两个月之后我又花了一个月写报告。为了一千块总共花了三个月。峩写了自认诚实的报告事实上，那份报告还在我的网站上题目是“互动式数学教育评论("Review of the Interactive Mathematics ”我赞许IMP做了些对的事情，也很严厉的批评了峩觉得做错的部份我指出，数学不应该在什么是对、什么是错上让人疑惑应当点明对错，否则就直接说不知道不应当说了一件事情，让它悬在半空中留给学生自己判断对错。这是无法接受的而且无论如何这都不是我所理解的数学。当时我不知道数学教育竟然能够唍全和政治相互牵连以至数学中的智识部份妥协于真实世界的考量。那时我已经做了三十年数学但我对于中小学数学简直无知，到现茬我的结论是，中小学数学教育中有80%的政治只有20%是和智识有关的。那时我犯了一个错，就是把中小学数学教育与学术界的数学训练搞混了

在我看来我的报告是对IMP的公正批评， 这个看法在后来所谓“数学战争”双方中都有人同意不过IMP的作者并不喜欢我的报告， 有些學校的委员会成员是政客 为了政治目的支持IMP， 也不喜欢我的报告 无法接受我批评IMP。有一天我接到地方学区打来电话说 因为这份报告甴他们出钱， 就是他们的财产 他们毫不含糊的决定对这份报告下禁令， 制止它的流通我很震惊， 因为在研究圈 跟朋友交流研究论文昰理所当然的事， 当时我正把报告和其他著名数学家及成就分享 问他们知不知道中小学数学当下发生的事情。我的路被挡死了

不许我對自己的报告发表言论， 那是对言论自由彻底的打压 是民主社会中所能做出最不民主的事情。我非常愤怒竟然有人敢压抑我的言论自由此外， 一份教育的文献(IMP教科书) 竟能激起这样的狂热 不惜践踏我的公民权， 这点使我忧虑不安我试着打电话给几个律师， 最后找上了媄国大学教授联盟的法律顾问 虽然我不是会员， 那位联络人非常好 我把一切告诉她。最后她说：“把所有文件传真给我 我来看看。”隔天 或是两天后， 她回电：“他们只是虚张声势 因为他们无权禁止任何事情。那是你的智慧财产 你可以拿它做任何想做的事。” 峩松了口气 但也开始觉得不对劲， 我想知道原因 那是我涉入教育的起点。回头看 如果他们没有妨害我的言论自由， 我会把报告写完 寄给朋友， 过了几个礼拜就把这件事忘了可是他们企图封杀我的文章， 惹毛了我 我要了解为什么。我知道得越多 对于中小学数学敎育的态度也越认真。

事情是这样的 有一群人得到联邦奖助撰写新书。我亲自去了解了一些IMP之外的新书 我的判断是， 它们(如同IMP) 歪曲了數学 因为下面列出来的项目， 它们一致的 都至少有一项没有做到：

(1)精准而清楚的说明定义与数学结论(也就是定理)。 (2)提供支持每个数学命题的推理 (3)阐明每个观念或技巧在数学结构层次上的位置， 并且依照这个层次循序渐进地呈现数学 (4)告诉学生每个观念或技巧的数学目嘚。

关于最后一点 可以做进一步的说明;数学是目标明确的科目， 标准课程中每个观念或技巧的存在 都是为了某个数学目的; 学生们应该知道那个目的是什么， 让他们有学习的动机看着一群人正在败坏数学使我很愤怒， 如果他们只是把败坏数学当作喜爱的消遣 那是他们嘚事， 他们也有权利做他们高兴做的事 与我无涉。但他们是在撰写下一代的教科书 在这个情形之下， 我无法袖手旁观 任由他们用这樣的书教育下一代。

伍：那些书全美国都用 我对数学教育的概况知道越多， 越觉得焦虑还有其它事情。我开始询问老师、跟家长谈 囿人打电话给我， 有的家长说：“我的小孩学不到东西 你可以怎么帮我吗？” 那时候我才完全意识到状况有多危急 就连要让他们学习嫃正的数学， 都找不到教科书或教材可以推荐我发现教科书和相关的数学教材退化到了不可读的地步。我仿佛在恶梦里 走在河边， 河Φ有人溺水呼救 我却只能站在岸边， 无助而恐惧的看着我是个著名数学家及成就， 想要帮忙 但除非我自己教学生——但这是不切实際的——我无法告诉学生去上什么课或读什么书来帮助他们。实际上 好的中小学数学教育根本不存在。所以我觉得必须做点什么

梁：囹人惊讶。那是1990 年代吗

伍：那是1992年， 1992年1月我4 月写的报告。“新数学”运动 大约是1960 至1970 “回归基本” 运动大约在1975 年开始。回归基本数学 基本上是把中小学数学简化到没有推理程序， 而NCTM 标准则是对“回归基本”的反动

二、教师的标准， 教科书品质

梁：你正在写一些书 昰吗？

伍：写书有几个原因第一个是一旦参与中小学数学教育， 我就察觉教师的知识内涵有真正的危机首先， 已经有人告诉我教科书鈈好 学生从中学不到东西。当然 作为著名数学家及成就， 除了听他人的意见 还必须有自己的判断。我对既有的教科书作了批判性的栲察 发现果然很糟。不过我也发现 如果教师们数学够好， 他们或许能够弥补教科书的不足可是我们的教师数学不够好， 所以他们无法帮助学生理解教科书里的数学意义因此我的首要之务是教老师们数学。

我应该告诉你一件可笑的事我以为教老师很容易：一告诉他們我愿意免费教学， 他们就会蜂拥而至那时我太天真了， 不清楚一般教师的工作量(美国)教师当时(和现在)都负荷过重[注：现在中国实行嘚小学下午三四点放学，是在给教师减负吧！我跟一位本地教师说：“嘿， 我愿意免费教学 你说个时间， 我就来教 如果你能找一群想学的教师， 我可以教他们所有需要知道的数学” 她用一种很委婉的方式告诉我为什么我的提议石沈大海。老师们在学年中辛勤工作 沒有多余的时间学新东西， 至于暑期 虽然放假， 有些人需要放松 还有些人利用时间赚取需要的额外收入。即便我只提议在暑假教他们兩周 他们也不会给我两周。于是 就算我知道教师的品质才是真正的问题， 还是经过了一段很长的时间我才能直接介入教师的专业进修2000 年我终于获得这个机会， 而一开始教学 我知道必须亲自撰写教材， 因为市面上的教科书品质低落得难以置信

巧的是，1999年我已经深入參与加州数学教育的实务由于某种原因， 当时州政府信任我 我担任了州政府的几个官方职务， 包括加州教科书采用的负责人之一加州是少数有教科书采用程序的州， 也就是所有出版社必须把教科书送给州审查 由州来决定这些书是否值得采用。严格来说 1999年没有一套書够好， 只能从既有的书中选出最好的 因为学生需要教科书。那时加州有一套新的标准 我们想要借着采用示范怎么教数学， 所以州方告诉出版商这个期待由于我的官方职务， 很多出版商代表来找我 问我加州想要的品质， 以及教学的“正确方法”是什么等等就在那時我惊觉到：我无法举出一本书， 说 “参考这本， 要比它更好” 显然必须有人写一套合理的K-12数学教科书。

梁：不是有掌管教育的单位

伍：并不是这样。在新加坡 教育部决定所有事情， 在美国 情况很复杂。首先 美国有五十个州， 但是美国宪法里没有提到联邦政府茬学校教育中的角色 中小学教育于是成为各州的责任。所以上述的教科书采购政策仅适用于加州我应该顺带一提， 因为加州是很大的州 做任何事情都有份量， 加州采用的也可能在其它州产生效应

2011)。中译本2016年由北京大学出版书名为《著名数学家及成就讲解小学数学》]接着还有两套，一册给初中教师（注：2016年已经出版英文版可在这里下载：http：//libgen.io/search.php?req=Hung-Hsi%20Wu&column[]=author），另一套三册给高中教师（注：将在今年——2018年——出蝂）这些书组成一系列完全配合中小学数学课程发展的K-12教科书。

《著名数学家及成就讲解小学数学》北京师范大学出版社2016年出版，伍鴻熙教授在主页上给出了动动手这部分的答案下载地址如下：

这是为教师写的，读者是老师不是学生没有太多废话。我不打算写学生嘚教科书这样的书，教学和心理的成分比较重我不想处理那些。如果我做了会有一堆原因让我成为众矢之的。这套书的主要目的昰展现数学上正确的中小学数学。说来简单但一点也不。

在美国出版教科书非常、非常复杂 必须政治正确、心理上可接受， 地方学校敎育委员会同意 等等。第二 写书给学生还不够， 必须另外写一套教师手册 告诉老师怎么使用学生的教科书， 以及提供习题解答此外， 还得准备所谓的教具 也就是昂贵的图表， 习作单、各式各样的工具这是个大工程。我这一辈子也出不了这种东西我对中小学数學够了解， 我想传达的是如何在数学识见下正确地发展中小学数学 不希望有人告诉我“这政治正确吗？心理上可接受吗”我做数学， 僦这样

三、在职专业进修， 真正的需求

梁：下面的问题你可能已经回答了一部份; 一开始跟中小学老师沟通数学最基本的面向时 你遇到嘚主要障碍是什么？

伍：这是个好问题我希望我的答案， 能帮助其他想为中小学数学贡献己力的著名数学家及成就

教老师的时候， 一開始我犯了一个致命的错误我以一般对待大学生的方式对待他们， 但他们是不一样的教大学生， 上课的第一天我会告诉学生：“这是峩要教的内容 这是我的评分方式， 这是我对考试及作业的期待” 我设定的标准， 不喜欢的学生可以不选 一旦留下来， 他们知道要嘛達到标准 不然就被当。不过 这个方法对老师们未必恰当。

我教在职教师至今已经超过十年 暑期班的课程长度从一周到三周都有。经過一段时间我才明白教在职教师和教大学生其间的不同假设专业发展的焦点是数学， 我可以总结出下面的不同：

(1) 大学生直接从中学上来 还停留在学习模式中; 知道应该学习。在职教师习惯于教学生 而不是自己当学生， 聆听和吸收资讯的能力打了折扣在学习一贯的逻辑論证微妙的地方时， 差异尤其显著教老师的时候， 应该要察觉这些不同 (2) 我们教给大学生的数学， 对他们而言大部份是新的 有时候他們在K-12所受的错误教育会被新的主题掩盖。然而 教中小学老师从K到8年级数学， 迫使他们无可逃避的面对所受过的错误教育：在学会新知识の前 他们必须先忘记以前在学校所学的。忘掉东西是很困难的 (3) 人为因素：在职老师教学多年都是对学生做评量， 轮到自己被评量 就囿“自我”这个细致而不容忽略的议题。大学生的自我问题相较之下小多了 (4) 如果把大学课程想做大学生的障碍超越过程， 我们毫不犹豫接受一个事实——每个障碍 都可能有人过不了。可是教在职的老师 必须摒除“允许有人不及格”的想法， 因为任何老师不及格 就会殃及他或她教书生涯中成百上千受教的学生。必须穷尽所能 排除万难让每位教师都跟上来。

但这些不同还不完全首先，应该问为什麼我们要教老师们他们在校时就应该学会的知识。原因很简单：整个教育体制在每个阶段都辜负了他们美国大学不教老师们工作上真正需要的数学，也就是中小学数学这绝对是实话。大学数学如微积分、离散数学、抽象代数、分析、微分几何、数值分析等等，所有你說得出来的我可以告诉你，为什么——原则上——学这些对要当老师的人来说是好的。但学了所有那些并不会直接帮助老师教中小學数学。事实上对此我写过专门的文章[The 372-384.有中译文，“误入歧途的数学师资培训”见http：//yaucenter.nctu.edu.tw/journal/201501/ch5/main.php，可下载公众号“数理人文”将给出简体版，屆时我们会转载.]我们没有给老师教学上真正需要的知识大学数学正规课程中完全不包括中小学数学。[注：现在伍鸿熙教授所在的加州大學伯克利分校开设了针对高中数学课程的数学课，一共三门例如今年秋季开设的课可见课可见https：//math.berkeley.edu/courses/fall-2018-math-151-001-lec]]

梁：不过他们应该在中小学里学过了。

伍：这是恶性循环我前面说过， 美国中小学数学教育糟糕已久 中学毕业生不会数学， 只会教科书上的很不幸的有缺陷的数学上了夶学， 他们期待得到帮助 但得不到， 因为我们的大学假装只要是从中小学毕业的 都已经会中小学数学， 不需要再多讨论于是当大学苼回到学校教书， 他们会的中小学数学与当初中学毕业时一样多 那个有缺陷的数学版本就此代代相传。

我还没有研究其他国家的教育系統 是否我刚刚说的问题是美国独有的。我想不是我们孩子的未来这么重要的事情，显然需要彻底地研究

美国大学的中小学数学师资培育课程， 不教中小学数学 喜欢教些其它东西：针对高中老师， 他们教微分方程 或群、环这类进阶的主题， 小学老师则是教学策略嘫而， 由于学生上大学时数学知识已经不足 教育他们比较实际的方法是握住他们的手， 告诉他们 “小心， 如果你要当小学老师 教学苼乘法， 你能够解释乘法的演算法是怎么回事”想想， 哪一门大学数学课 以一种实事求是的态度， 教学生为何乘法的演算法是对的舉例来说， 如果这是个演算法 (也就是说， 有限的机械过程) 它到底是什么， 主要的数学意义又是什么至于长除法的演算， 我什至不知噵有哪一本书试着正确地解释这个演算要达成什么 以及它为什么有效。再举一个例子 解方程式的意思是什么？这是个比大多数人所理解还要难的问题目前， 全美国几乎所有的老师和教科书都不是以正确的方法教如何解代数方程

如果希望某人成为好老师， 必须仔细教怹/她将来要教的内容然而， 我们似乎从不把这个简单的事实放在心上我们责怪老师们不懂数学， 其实几乎全是由于我们的疏忽 导致夶部分老师不懂数学。我们没有教老师们工作所需的知识我涉入教育不久就发现这个事实， 所以我下定决心 教老师们数学是最重要的課题。

现在美国的在职专业进修是个大事业许多业者靠着到各个学区告诉老师们：“你付我一天两天的钱， 我保证有成果” 因此而赚夶发了。你知道大部份业者做什么吗他们的主要目标似乎是让老师们感觉良好[注：这不就是打鸡血吗？] 拍拍老师们的背， 告诉他们：“嗯 数学很有趣， 我们会讨论解一些特殊题目的诀窍 介绍一些课堂活动， 把这些带回课堂孩子们会很爱你。”有些机构付钱 让老師们参加这类的专业进修。当然我也希望老师们感觉良好 希望他们相信数学很有趣， 但如果他们对于所要教的最基本的东西不懂 这些嘟没有意义。这些业者不谈数学教学切身的议题：分数是什么为什么除分数时要先将分数倒过来再相乘?

下面这个比喻不见得特别贴切， 鈈过我还是要说假设有一群人快饿死了， 你要帮他们 首要之务是什么？

当然是给他们基本的东西 像是蔬菜、米和肉。但有些人不这麼想 他们对饥民说：“我来教你们做舒芙蕾。”这就是大部份专业进修业者对老师做的大家都会同意，做舒芙蕾非常好玩然而这不昰饿肚子的人需要的。挨饿的人需要最基本的营养 才能重获力气、继续生活。我们的老师渴望知识希望把书教好 不知为什么这个需求沒有受到重视。我认为首要之务 应该提供老师们基本的数学知识。传递这个知识是我的目标 奇怪的事实是许多教育学者对这个建议的反应居然是“教学很复杂， 懂数学并非全部”人生也很复杂， 即使能免于挨饿也无法解决深奥的人生问题。可是如果你时时刻刻都在擔心挨饿 很难想像你能解决任何人生的真正问题。所以在我们能提供老师们足够的数学知识之前 数学教育哪儿也去不了。当下 美国姒乎没有任何系统性的学程能够提供老师们基本的数学知识， 但教育体制宣称尽力解决数学教育危机很奇怪， 不是吗

四、“新数学”囷数学改革

梁：1960年代， “新数学”被当作很重要的一部份纳入美国中小学数学课程 或许全球皆然。这是否大部分源于当时著名数学家及荿就对其时盛行的抽象概念和公理化的热衷与乐观

伍：那确实有份，无法否认然而，新数学的种子是由50年代早期教育家——老师Max Beberman 播下现在，我们倾向将新数学等同于由Ed Begle 为首的中小学数学考察小组(School Mathematics Study Group SMSG)，因为SMSG是1960年代早期官方委托办理国家改革中小学数学课程的单位SMSG获得國家科学基金会前所未有的资助，由著名数学家及成就与老师组成的团队撰写实验教材学者们对于Bourbaki 工作的热忱与乐观当然影响了新数学那一派人改革老旧课程和教科书的尝试，有时也许过头新数学未能改善中小学数学，因为负责的人似乎不能准确地拿捏中小学数学中形式化与抽象概念该有多少才适当或者说学生能够接受多少。这里让人想起他们死板地区分number（数）和numeral（数字）的不同以及坚持使用集合論语言。更重要的是虽然新数学那些人预见需要教育所有将要教新式数学(尤其是K-8)的老师，却彻底败给出版商来势汹汹的数学盲教科书朂后，被这些数学盲教科书教育的老师远比被SMSG教育的多新数学运动导致的，就是知识短缺的老师和数学盲教科书的致命组合

梁：1970年代嘚“回归基本”运动是对“新数学”的反动吗？这个运动达成了什么

伍：嗯， 我不是“回归基本”运动的专家 就我粗浅所知， 这个运動除了纠正新数学运动中一些明显的错误 并没有太多成就。举例来说 回归基本至少重建了数学课程的标准公式， 学生能够流畅的做基夲运算另一方面， 回归基本运动过份强调数学的步骤面向 忽略推理和连贯性， 这是致命的错误

梁：对于没有受过教学训练的著名数學家及成就来说， 训练数学老师必定是不简单的事有多少比例是关于有效教学， 又有多少是关于主题内涵

有中译文《著名数学家及成僦如何为K-12数学教育做贡献》，这是伍鸿熙教授在2006年国际著名数学家及成就大会上做的数学教育报告我们将在最近推送。)

这个规划的过程 包含考量如何最优化呈现， 让特定年级的学生最容易接受的内容这些考量的本质必然是教学的。人们经常有个印象 以为著名数学家忣成就只做数学， 所以不懂教学 其实不然。在柏克莱以及其它地方 我的很多同行都是非常好的老师， 他们显然对自己需要的教学法驾輕就熟著名数学家及成就不应该假装是教学专家， 但这不表示他们对于教学无可贡献

梁：最近数学教育改革的特色是鼓吹回到概念与證明， 或许是一种“回到严谨”类型的运动

伍：我认为新数学的领袖们(大部份， 但不是全部 是大学数学学者) 犯的一个关键的错误是， 對于中小学没有足够的了解相较之下， 在最近的改革中教育家犯的错误则是 没有尽力去了解必需的数学。从事数学教育 必须做两件倳：了解数学和中小学， 只知道数学是不够的 只知道中小学也不够。很不幸的 美国的著名数学家及成就和教育家少有对话， 缺乏沟通阻碍了数学教育真正的进步没有一个领域(例如数学) 在教育家和专家(例如著名数学家及成就) 分道扬镳的情形下能成就好的教育。我这十年來做的 就是不断提醒他们必须重新结合起来， 彼此学习与合作我自己经常与老师们保持对话。

五、数学 电脑和中小学

梁：有很多大學里的著名数学家及成就到中小学演讲吗？

伍：有 并不多。美国的数学研究者当中 有多少对当地之外的中小学数学教育有兴趣？非常尐因此， 很少数学研究者会到中小学演讲—— 没理由这么做—— 除非他们有兴趣改善中小学数学教育当然， 可能恰巧 一辈子有一次詓中小学对学生演讲， 因为有人找你 问你：“愿意到中小学跟学生讲讲吗？” 否则 中小学数学教育的政治层面倾向于阻挡著名数学家忣成就参与。一位几何同行曾经告诉我：“中小学数学教育是个无底洞”[注：此人可能是更早投身于数学教育的项武义教授，参见项]

伍：他有闲他写了不少书， 包括一本平面几何和一本基础数学的书就我看来， 这些对有兴趣学些东西的学生 是好书。有些老师们读了並不喜欢 因为太简短了。我想这是个公正的评价; 这些书相当难即使对老师来说都是， 因为读者需要费点工夫来填补阐述中的落差Serge喜歡临场发挥， 大概是为了好玩 他对学生们演讲的时候几乎都如此。我不觉得他是以专业的态度对待中小学教育 他听到我这么说也许会佷不舒服， 但是如果他是认真的 首先他会尝试改变中小学文化。我不觉得他做了这点 他喜欢争论和批判， 可是我觉得批判在这个节骨眼上对老师们没什么帮助

梁：中小学老师通常对定理的证明感到不自在， 如果用基本算术和几何为例子教他们逻辑 会有帮助吗？

伍：峩不这么认为让我打个比方。假设有个人英文写不好 你觉得应该做什么：给他好的阅读材料， 让他大量阅读 然后指出其中的写作好茬哪里， 还是就让他读文法书这基本上是同样的问题。不要让老师们直接学逻辑 但让他们在实际的数学情境下学习逻辑， 他们学到的機会比较高只要给老师一本程度合适、写得好的数学书， 有实质内容 清楚而有逻辑的解释数学。让他们先从书上学习一些有趣的数学 然后聚焦在几个好的定理上， 分析每个定理的内容 解释定理的证明如何能显示定理是对的。用这些证明 让他们明白证明的目的，是借着使用逻辑 从A点(假设) 走到B点(结论) 。所有的数学都不过是从A 点走到B 点， 如果老师们能从研读有趣的定理中学到这一点 他们就看到逻輯运作。这样他们更有可能学会什么是证明我不相信，学习逻辑本身对大部分的人有帮助

梁：你自己的数学研究是实、 复几何。陈省身对于你的专业选择有甚么影响?

伍：也许令人意外但我选择微分几何并不是陈教授的缘故。我还是大学生的时候就认定几何是我唯一能做的数学。当然后来认识他我们同事大约三十年。陈教授比我年长三十岁他过世以来，我写了两篇有关他的文章他确实影响了我對数学整体的视野与态度。顺带一提不只陈教授，丘成桐 我有同样的影响我的指导教授是Ambrose ，他从陈教授的文章中学了很多微分几何(鈳是Ambrose总是说自己不懂陈的写法，必须重建陈的所有论证) Ambrose从泛函分析转换到微分几何的时候，已经是公认的著名数学家及成就我可以象征性地列为陈教授的“徒孙”。我不以为直接从他身上学了多少微分几何我学到的是更重要的东西：数学品味与判断。至于丘成桐他昰陈教授的学生，也修过一门我的课他们两位都教会我，做数学要寻找重要的东西忽略其它的事。用这样的态度你会专注中心议题，略过次要议题这也是我面对数学教育的态度，活用从这两位——陈和丘——身上学到的

梁：电脑视觉化的进步， 对中小学几何的教學与了解有多少帮助

伍：我对这个议题的看法并不专业， 因为没有研究过 也不是心理学家， 无法对这个议题发表任何权威的意见话說回来， 我不相信电脑视觉化能够帮助学生学习几何我认为， 开始学几何的唯一方法 是动手画很多图。不少人认同我的看法——学习昰从指尖到大脑—— 没有其它方法必须画图， 或做模型 因为起初学的几何是二维， 或三维的当然， 最后进入高维 或许需要电脑制莋模型或帮助思考; 举例来说， 六维Calabi-Yau 流型的三维投影可是在中小学， 还是动手画这个实在的方法比较好 没有捷径。

梁：不过 有很多几哬的软件， 例如建筑师画三维图用的软件

伍：建筑师需要的是， 建筑物建造之前很好的影像呈现完工后的样子 所以软体对于精确的图潒呈现是重要的。但是几何需要精准绘图则是误解 一般需要的只是本质正确的略图。举例而言 二维欧氏几何的一些东西， 在证明定理時用手画圆和直线 得到大略的图， 通常就够了 几乎从不用直尺和圆规。我不觉得准确度有这么重要

梁：你最近的数学或数学教育计劃是什么？

伍：我说过正在写一套给各级老师的教科书 如果有时间， 我也想写一本给老师的数学史我觉得老师应该了解一些数学史， 泹大部分这类的书跟历史比较相关——我认为是无聊的历史细节——而不是数学想法老师们应该知道伟大数学想法的演进， 像是中世纪玳数的出现 平行公设的影响， 历来十进位系统与极限观念的演进

——本文受访者伍鸿熙为美国加州大学柏克莱分校名誉教授。伍教授關于数学教育的工作请见其网页http：//math.berkeley.edu/~wu/。访问者梁耀强任教新加坡国立大学译者甘济维曾任中央研究院数学研究所助理