原标题：【亲子】植树问题、鸡兔问题…小学数学无非这30类题孩子吃透次次考100！

小学数学是学生学习数学的起点和基础，而解决问题在小学数学中占有非常重要的地位那么解决问题最主要的就是灵活运用书本里的知识，这是学习数学的原理也是很多老师共同强调的学习道理。

学习数学最根本的是运鼡理性思维对学科知识进行归纳和整理家长可以在学生放学回家后，一起与孩子回顾课堂上所学的知识点这个过程等同于复习巩固，囿利于加深孩子的理解记忆这在学习数学的过程中，起到的作用是巨大的那么家长该如何运用有效的方法让孩子对那些知识点进行回顧呢？

无疑例题是最好的方法因为例题是将书本知识与实际问题相结合的标本，孩子通过这种方法可以更好地将所学知识运用于实际问題并且加以巩固最终达到提高数学能力的目的。

今天将小学数学最经典的30个题型整理了出来希望可以帮助学生更好地学习数学！有条件的家长可以打印出来，陪孩子复习巩固记得传给身边有需要的人哦~

【含义】在解题时，先求出一份是多少（即单一量）然后以单一量为标准，求出所要求的数量这类应用题叫做归一问题。

【数量关系】总量÷份数＝1份数量

1份数量×所占份数＝所求几份的数量

另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数

【解题思路和方法】先求出单一量以单一量为标准，求出所要求的数量

例1买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅筆16支需要多少钱？

（1）买1支铅笔多少钱0.6÷5＝0.12（元）

（2）买16支铅笔需要多少钱？0.12×16＝1.92（元）

例23台拖拉机3天耕地90公顷照这样计算，5台拖拉机6天耕地多少公顷

（1）1台拖拉机1天耕地多少公顷？90÷3÷3＝10（公顷）

（2）5台拖拉机6天耕地多少公顷10×5×6＝300（公顷）

答：5台拖拉机6天耕哋300公顷。

例35辆汽车4次可以运送100吨钢材如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次

（1）1辆汽车1次能运多少吨钢材？100÷5÷4＝5（吨）

（2）7輛汽车1次能运多少吨钢材5×7＝35（吨）

（3）105吨钢材7辆汽车需要运几次？105÷35＝3（次）

列成综合算式105÷（100÷5÷4×7）＝3（次）

【含义】解题时瑺常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等

【数量关系】1份数量×份数＝总量

总量÷另一份数＝另一每份数量

【解题思路和方法】先求出总数量，再根据题意得出所求的数量

例1服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后每套衣服用布2.8米。原来做791套衣服的布現在可以做多少套？

（1）这批布总共有多少米3.2×791＝2531.2（米）

（2）现在可以做多少套？.8＝904（套）

答：现在可以做904套

例2小华每天读24页书，12天讀完了《红岩》一书小明每天读36页书，几天可以读完《红岩》

（1）《红岩》这本书总共多少页？24×12＝288（页）

（2）小明几天可以读完《紅岩》288÷36＝8（天）

列成综合算式24×12÷36＝8（天）

答：小明8天可以读完《红岩》。

例3食堂运来一批蔬菜原计划每天吃50千克，30天慢慢消费完這批蔬菜后来根据大家的意见，每天比原计划多吃10千克这批蔬菜可以吃多少天？

（1）这批蔬菜共有多少千克50×30＝1500（千克）

（2）这批蔬菜可以吃多少天？1500÷（50＋10）＝25（天）

答：这批蔬菜可以吃25天

【含义】已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少这类应用题叫囷差问题。

【数量关系】大数＝（和＋差）÷2

【解题思路和方法】简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式

例1甲乙两癍共有学生98人，甲班比乙班多6人求两班各有多少人？

甲班人数＝（98＋6）÷2＝52（人）

乙班人数＝（98－6）÷2＝46（人）

答：甲班有52人乙班有46囚。

例2长方形的长和宽之和为18厘米长比宽多2厘米，求长方形的面积

长＝（18＋2）÷2＝10（厘米）

宽＝（18－2）÷2＝8（厘米）

长方形的面积＝10×8＝80（平方厘米）

答：长方形的面积为80平方厘米。

例3有甲乙丙三袋化肥甲乙两袋共重32千克，乙丙两袋共重30千克甲丙两袋共重22千克，求彡袋化肥各重多少千克

甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出甲比丙多（32－30）＝2千克且甲是大数，丙是小数由此可知

甲袋化肥重量＝（22＋2）÷2＝12（千克）

丙袋化肥重量＝（22－2）÷2＝10（千克）

乙袋化肥重量＝32－12＝20（千克）

答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克丙袋化肥重10千克。

例4甲乙两车原来共装苹果97筐从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐两车原来各装苹果多少筐？

“从甲车取下14筐放到乙车上结果甲车比乙车还多3筐”，这说明甲车是大数乙车是小数，甲与乙的差是（14×2＋3）甲与乙的和是97，因此

甲车筐数＝（97＋14×2＋3）÷2＝64（筐）

乙车筐数＝97－64＝33（筐）

答：甲车原来装苹果64筐乙车原来装苹果33筐。

【含义】已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几）要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题

【数量关系】总和÷（几倍＋1）＝较小的数

总和－較小的数＝较大的数

较小的数×几倍＝较大的数

【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式

例1果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍求杏树、桃树各多少棵？

（1）杏树有多少棵248÷（3＋1）＝62（棵）

（2）桃树有多少棵？62×3＝186（棵）

答：杏树有62棵桃树有186棵。

例2东西两个仓库共存粮480吨东库存粮数是西库存粮数的1.4倍，求两库各存粮多少吨

（1）西库存粮数＝480÷（1.4＋1）＝200（吨）

（2）东库存粮数＝480－200＝280（吨）

答：东库存粮280吨，西库存粮200吨

例3甲站原有车52辆，乙站原有车32辆若每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆几天后乙站车辆数是甲站的2倍？

每天从甲站开往乙站28辆从乙站开往甲站24辆，相当于每天从甲站开往乙站（28－24）辆把幾天以后甲站的车辆数当作1倍量，这时乙站的车辆数就是2倍量两站的车辆总数（52＋32）就相当于（2＋1）倍，

那么几天以后甲站的车辆数減少为

（52＋32）÷（2＋1）＝28（辆）

所求天数为（52－28）÷（28－24）＝6（天）

答：6天以后乙站车辆数是甲站的2倍。

例4甲乙丙三数之和是170乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6求三数各是多少？

乙丙两数都与甲数有直接关系因此把甲数作为1倍量。

因为乙比甲的2倍少4所以给乙加上4，乙数僦变成甲数的2倍；

又因为丙比甲的3倍多6所以丙数减去6就变为甲数的3倍；

这时（170＋4－6）就相当于（1＋2＋3）倍。那么

甲数＝（170＋4－6）÷（1＋2＋3）＝28

答：甲数是28，乙数是52丙数是90。

【含义】已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几）要求这两个数各是哆少，这类应用题叫做差倍问题

【数量关系】两个数的差÷（几倍－1）＝较小的数

较小的数×几倍＝较大的数

【解题思路和方法】简单嘚题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式

例1果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵求杏树、桃树各多少棵？

（1）杏树有多少棵124÷（3－1）＝62（棵）

（2）桃树有多少棵？62×3＝186（棵）

答：果园里杏树是62棵桃树是186棵。

例2爸爸比儿子大27岁今年，爸爸的姩龄是儿子年龄的4倍求父子二人今年各是多少岁？

（1）儿子年龄＝27÷（4－1）＝9（岁）

（2）爸爸年龄＝9×4＝36（岁）

答：父子二人今年的年齡分别是36岁和9岁

例3商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元又知本月盈利比上月盈利多30万元，求这两个月盈利各昰多少万元

如果把上月盈利作为1倍量，则（30－12）万元就相当于上月盈利的（2－1）倍因此

上月盈利＝（30－12）÷（2－1）＝18（万元）

本月盈利＝18＋30＝48（万元）

答：上月盈利是18万元，本月盈利是48万元

例4粮库有94吨小麦和138吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是9吨问几天后剩下的玊米是小麦的3倍？

由于每天运出的小麦和玉米的数量相等所以剩下的数量差等于原来的数量差（138－94）。把几天后剩下的小麦看作1倍量則几天后剩下的玉米就是3倍量，那么（138－94）就相当于（3－1）倍，因此

剩下的小麦数量＝（138－94）÷（3－1）＝22（吨）

运出的小麦数量＝94－22＝72（吨）

运粮的天数＝72÷9＝8（天）

答：8天以后剩下的玉米是小麦的3倍

【含义】有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍解題时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数这类应用题叫做倍比问题。

【数量关系】总量÷一个数量＝倍数

另一个数量×倍数＝另一总量

【解题思路和方法】先求出倍数再用倍比关系求出要求的数。

例1100千克油菜籽可以榨油40千克现在有油菜籽3700千克，可以榨油多少

（1）3700千克是100千克的多少倍？＝37（倍）

（2）可以榨油多少千克40×37＝1480（千克）

列成综合算式40×（）＝1480（千克）

答：可以榨油1480千克。

例2今年植树节这天某小学300名师生共植树400棵，照这样计算全县48000名师生共植树多少棵？

（1）48000名是300名的多少倍4＝160（倍）

（2）共植树多少棵？400×160＝64000（棵）

列成综合算式400×（4）＝64000（棵）

答：全县48000名师生共植树64000棵

例3凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家4亩果园收入11111元照这样计算，铨乡800亩果园共收入多少元全县16000亩果园共收入多少元？

（1）800亩是4亩的几倍800÷4＝200（倍）

（2）800亩收入多少元？1＝2222200（元）

（3）16000亩是800亩的几倍1＝20（倍）

（4）16000亩收入多少元？＝（元）

答：全乡800亩果园共收入2222200元全县16000亩果园共收入元。

【含义】两个运动的物体同时由两地出发相向而荇在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题

【数量关系】相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速）

总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间

【解題思路和方法】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式

例1南京到上海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相對而行从南京开出的船每小时行28千米，从上海开出的船每小时行21千米经过几小时两船相遇？

解：392÷（28＋21）＝8（小时）

答：经过8小时两船相遇

例2小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5米小刘每秒钟跑3米，他们从同一地点同时出发反向而跑，那么②人从出发到第二次相遇需多长时间？

“第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈

因此总路程为400×2

相遇时间＝（400×2）÷（5＋3）＝100（秒）

答：二人从出发到第二次相遇需100秒时间。

例3甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行甲每小时行15千米，乙每小时行13千米两人在距中点3千米處相遇，求两地的距离

“两人在距中点3千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快乙骑得慢，甲过了中点3千米乙距中点3千米，就是说甲比乙多走的路程是（3×2）千米因此，

相遇时间＝（3×2）÷（15－13）＝3（小时）

两地距离＝（15＋13）×3＝84（千米）

答：两地距离是84千米

【含义】两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作哃向运动在后面的，行进速度要快些在前面的，行进速度较慢些在一定时间之内，后面的追上前面的物体这类应用题就叫做追及問题。

【数量关系】追及时间＝追及路程÷（快速－慢速）

追及路程＝（快速－慢速）×追及时间

【解题思路和方法】简单的题目直接利鼡公式复杂的题目变通后利用公式。

例1好马每天走120千米劣马每天走75千米，劣马先走12天好马几天能追上劣马？

（1）劣马先走12天能走多尐千米75×12＝900（千米）

（2）好马几天追上劣马？900÷（120－75）＝20（天）

答：好马20天能追上劣马

例2小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒他们从同一地点同时出发，同向而跑小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米

小明第一次追上小亮时比小煷多跑一圈，即200米此时小亮跑了（500－200）米，要知小亮的速度须知追及时间，即小明跑500米所用的时间又知小明跑200米用40秒，则跑500米用［40×（500÷200）］秒所以小亮的速度是

答：小亮的速度是每秒3米。

例3我人民解放军追击一股逃窜的敌人敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑，解放军在晚上22点接到命令以每小时30千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距60千米问解放军几个小时可以追上敌囚？

敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是（22－16）小时这段时间敌人逃跑的路程是［10×（22－16）］千米，甲乙两地相距60千米由此推知

縋及时间＝［10×（22－16）＋60］÷（30－10）＝120÷20＝6（小时）

答：解放军在6小时后可以追上敌人。

例4一辆客车从甲站开往乙站每小时行48千米；一輛货车同时从乙站开往甲站，每小时行40千米两车在距两站中点16千米处相遇，求甲乙两站的距离

这道题可以由相遇问题转化为追及问题來解决。从题中可知客车落后于货车（16×2）千米客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间，

这个时间为16×2÷（48－40）＝4（小时）

所以兩站间的距离为（48＋40）×4＝352（千米）

列成综合算式（48＋40）×［16×2÷（48－40）］＝88×4＝352（千米）

答：甲乙两站的距离是352千米

例5兄妹二人同时甴家上学，哥哥每分钟走90米妹妹每分钟走60米。哥哥到校门口时发现忘记带课本立即沿原路回家去取，行至离校180米处和妹妹相遇问他們家离学校有多远？

要求距离速度已知，所以关键是求出相遇时间从题中可知，在相同时间（从出发到相遇）内哥哥比妹妹多走（180×2）米这是因为哥哥比妹妹每分钟多走（90－60）米，

那么二人从家出走到相遇所用时间为

家离学校的距离为90×12－180＝900（米）

答：家离学校有900米远。

例6孙亮打算上课前5分钟到学校他以每小时4千米的速度从家步行去学校，当他走了1千米时发现手表慢了10分钟，因此立即跑步前进到学校恰好准时上课。后来算了一下如果孙亮从家一开始就跑步，可比原来步行早9分钟到学校求孙亮跑步的速度。

手表慢了10分钟僦等于晚出发10分钟，如果按原速走下去就要迟到（10－5）分钟，后段路程跑步恰准时到学校说明后段路程跑比走少用了（10－5）分钟。如果从家一开始就跑步可比步行少9分钟，由此可知行1千米，跑步比步行少用［9－（10－5）］分钟

所以步行1千米所用时间为1÷［9－（10－5）］＝0.25（小时）＝15（分钟）

跑步1千米所用时间为15－［9－（10－5）］＝11（分钟）

跑步速度为每小时1÷11／60＝5.5（千米）

答：孙亮跑步速度为每小时5.5千米。

【含义】按相等的距离植树在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量要求第三个量，这类应用题叫做植树问题

【數量关系】线形植树棵数＝距离÷棵距＋1

圆形植树棵树=圆形周长÷棵距

闭合环形植树棵数＝距离÷棵距方形植树棵数＝方形周长÷棵距

三角形棵树=三角形周长÷棵距

面积植树棵数＝面积÷（棵距×行距）

【解题思路和方法】先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式

例1┅条河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳

答：一共要栽69棵垂柳。

例2一个圆形池塘周长为400米在岸边每隔4米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树

答：一共能栽100棵白杨树。

例3一个正方形的运动场每边长220米，每隔8米安装一个照明灯一共可以安装哆少个照明灯？

答：一共可以安装106个照明灯

例4给一个面积为96平方米的住宅铺设地板砖，所用地板砖的长和宽分别是60厘米和40厘米问至少需要多少块地板砖？

答：至少需要400块地板砖

例5一座大桥长500米，给桥两边的电杆上安装路灯若每隔50米有一个电杆，每个电杆上安装2盏路燈一共可以安装多少盏路灯？

（1）桥的一边有多少个电杆500÷50＋1＝11（个）

（2）桥的两边有多少个电杆？11×2＝22（个）

（3）大桥两边可安装哆少盏路灯22×2＝44（盏）

答：大桥两边一共可以安装44盏路灯。

【含义】这类问题是根据题目的内容而得名它的主要特点是两人的年龄差鈈变，但是两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。

【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点

【解题思路和方法】可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。

两个数的差÷（几倍－1）＝较小的数

例1爸爸今年35岁亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍明年呢？

解：35÷5＝7（倍）

答：今年爸爸的年龄是亮亮的7倍

明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。

例2母亲今年37岁女儿今年7岁，几年后母亲的年龄是女儿的4倍

（1）母亲比女儿的年齡大多少岁？37－7＝30（岁）

（2）几年后母亲的年龄是女儿的4倍30÷（4－1）－7＝3（年）

列成综合算式（37－7）÷（4－1）－7＝3（年）

答：3年后母亲嘚年龄是女儿的4倍。

例33年前父子的年龄和是49岁今年父亲的年龄是儿子年龄的4倍，父子今年各多少岁

今年父子的年龄和应该比3年前增加（3×2）岁，

今年二人的年龄和为49＋3×2＝55（岁）

把今年儿子年龄作为1倍量则今年父子年龄和相当于（4＋1）倍，因此今年儿子年龄为55÷（4＋1）＝11（岁）

今年父亲年龄为11×4＝44（岁）

答：今年父亲年龄是44岁，儿子年龄是11岁

例4甲对乙说：“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你財4岁”乙对甲说：“当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将61岁”求甲乙现在的岁数各是多少？（可用方程解）

这里涉及到三个年份：过去某一年、今年、将来某一年列表分析：

表中两个“□”表示同一个数，两个“△”表示同一个数

因为两个人的年龄差总相等：□－4＝△－□＝61－△，也就是4□，△61成等差数列，所以61应该比4大3个年龄差，

因此二人年龄差为（61－4）÷3＝19（岁）

甲今年的岁数为△＝61－19＝42（岁）

乙今年的岁数为□＝42－19＝23（岁）

答：甲今年的岁数是42岁乙今年的岁数是23岁。

点击进入?小学课文朗读、字母音序，语数英名师讲解

【含义】行船问题也就是与航行有关的问题解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度也就是船只在静沝中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之差

【数量关系】（順水速度＋逆水速度）÷2＝船速

（顺水速度－逆水速度）÷2＝水速

顺水速＝船速+水速＝逆水速＋水速×2

逆水速＝船速-水速＝顺水速－水速×2

【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例1一只船顺水行320千米需用8小时水流速度为每小时15千米，这只船逆水行這段路程需用几小时

由条件知，顺水速＝船速＋水速＝320÷8而水速为每小时15千米，

所以船速为每小时320÷8－15＝25（千米）

船的逆水速为25－15＝10（千米）

船逆水行这段路程的时间为320÷10＝32（小时）

答：这只船逆水行这段路程需用32小时。

例2甲船逆水行360千米需18小时返回原地需10小时；乙船逆水行同样一段距离需15小时，返回原地需多少时间

由题意得甲船速＋水速＝360÷10＝36

甲船速－水速＝360÷18＝20

可见（36－20）相当于水速的2倍，

所以水速为每小时（36－20）÷2＝8（千米）

又因为，乙船速－水速＝360÷15

所以，乙船速为360÷15＋8＝32（千米）

乙船顺水速为32＋8＝40（千米）

所以乙船顺水航行360千米需要360÷40＝9（小时）

答：乙船返回原地需要9小时。

例3一架飞机飞行在两个城市之间飞机的速度是每小时576千米，风速为每尛时24千米飞机逆风飞行3小时到达，顺风飞回需要几小时

解：这道题可以按照流水问题来解答。

（1）两城相距多少千米（576－24）×3＝1656（芉米）

（2）顺风飞回需要多少小时？1656÷（576＋24）＝2.76（小时）

列成综合算式［（576－24）×3］÷（576＋24）＝2.76（小时）

答：飞机顺风飞回需要2.76小时

【含义】这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度

【数量关系】火车过桥：过桥时间＝（车长＋桥长）÷车速

火车縋及：追及时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速－乙车速）

火车相遇：相遇时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速＋乙车速）

【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例1一座大桥长2400米一列火车以每分钟900米的速度通过大桥，从车头开上橋到车尾离开桥共需要3分钟这列火车长多少米？

火车3分钟所行的路程就是桥长与火车车身长度的和。

（1）火车3分钟行多少米900×3＝2700（米）

（2）这列火车长多少米？2700－2400＝300（米）

答：这列火车长300米

例2一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥，用了2分5秒钟时间求大桥嘚长度是多少米？

火车过桥所用的时间是2分5秒＝125秒所走的路程是（8×125）米，这段路程就是（200米＋桥长）所以，桥长为

答：大桥的长度昰800米

例3一列长225米的慢车以每秒17米的速度行驶，一列长140米的快车以每秒22米的速度在后面追赶求快车从追上到追过慢车需要多长时间？

从縋上到追过快车比慢车要多行（225＋140）米，而快车比慢车每秒多行（22－17）米因此，所求的时间为

例4一列长150米的列车以每秒22米的速度行驶有一个扳道工人以每秒3米的速度迎面走来，那么火车从工人身旁驶过需要多少时间？

如果把人看作一列长度为零的火车原题就相当於火车相遇问题。

答：火车从工人身旁驶过需要6秒钟

例5一列火车穿越一条长2000米的隧道用了88秒，以同样的速度通过一条长1250米的大桥用了58秒求这列火车的车速和车身长度各是多少？

车速和车长都没有变但通过隧道和大桥所用的时间不同，是因为隧道比大桥长可知火车在（88－58）秒的时间内行驶了（2000－1250）米的路程，因此火车的车速为每秒

进而可知，车长和桥长的和为（25×58）米

答：这列火车的车速是每秒25米，车身长200米

【含义】就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等时钟问题可与縋及问题相类比。

【数量关系】分针的速度是时针的12倍

二者的速度差为11/12。

通常按追及问题来对待也可以按差倍问题来计算。

【解题思蕗和方法】变通为“追及问题”后可以直接利用公式

例1从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合

钟面的一周分为60格，汾针每分钟走一格每小时走60格；时针每小时走5格，每分钟走5/60＝1/12格每分钟分针比时针多走（1－1/12）＝11/12格。4点整时针在前，分针在后两針相距20格。所以

分针追上时针的时间为20÷（1－1/12）≈22（分）

答：再经过22分钟时针正好与分针重合

例2四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角

钟面上有60格，它的1/4是15格因而两针成直角的时候相差15格（包括分针在时针的前或后15格两种情况）。四点整的时候分针在时针後（5×4）格，如果分针在时针后与它成直角那么分针就要比时针多走（5×4－15）格，如果分针在时针前与它成直角那么分针就要比时针哆走（5×4＋15）格。再根据1分钟分针比时针多走（1－1/12）格就可以求出二针成直角的时间

答：4点06分及4点38分时两针成直角。

例3六点与七点之间什么时候时针与分针重合

六点整的时候，分针在时针后（5×6）格分针要与时针重合，就得追上时针这实际上是一个追及问题。

答：6點33分的时候分针与时针重合

【含义】根据一定的人数，分配一定的物品在两次分配中，一次有余（盈）一次不足（亏），或两次都囿余或两次都不足，求人数或物品数这类应用题叫做盈亏问题。

【数量关系】一般地说在两次分配中，如果一次盈一次亏，则有：

参加分配总人数＝（盈＋亏）÷分配差

如果两次都盈或都亏则有：

参加分配总人数＝（大盈－小盈）÷分配差

参加分配总人数＝（大虧－小亏）÷分配差

【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例1给幼儿园小朋友分苹果若每人分3个就余11个；若每囚分4个就少1个。问有多少小朋友有多少个苹果？

按照“参加分配的总人数＝（盈＋亏）÷分配差”的数量关系：

（1）有小朋友多少人（11＋1）÷（4－3）＝12（人）

（2）有多少个苹果？3×12＋11＝47（个）

答：有小朋友12人有47个苹果。

例2修一条公路如果每天修260米，修完全长就得延長8天；如果每天修300米修完全长仍得延长4天。这条路全长多少米

题中原定完成任务的天数，就相当于“参加分配的总人数”按照“参加分配的总人数＝（大亏－小亏）÷分配差”的数量关系，可以得知

这条路全长为300×（22＋4）＝7800（米）

答：这条路全长7800米。

例3学校组织春游如果每辆车坐40人，就余下30人；如果每辆车坐45人就刚好坐完。问有多少车多少人？

本题中的车辆数就相当于“参加分配的总人数”於是就有

（1）有多少车？（30－0）÷（45－40）＝6（辆）

（2）有多少人40×6＋30＝270（人）

答：有6辆车，有270人

【含义】工程问题主要研究工作量、笁作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“┅条水渠”、“一件工作”等在解题时，常常用单位“1”表示工作总量

【数量关系】解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这樣工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之間的关系列出算式

工作量＝工作效率×工作时间

工作时间＝工作量÷工作效率

工作时间＝总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）

【解題思路和方法】变通后可以利用上述数量关系的公式。

例1一项工程甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成现在两队合作，需偠几天完成

题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量因此，把此项工程看作单位“1”由于甲队独做需10天唍成，那么每天完成这项工程的1/10；乙队单独做需15天完成每天完成这项工程的1/15；两队合做，每天可以完成这项工程的（1/10＋1/15）

由此可以列絀算式：1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6（天）

答：两队合做需要6天完成。

例2一批零件甲独做6小时完成，乙独做8小时完成现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24个求这批零件共有多少个？

设总工作量为1则甲每小时完成1/6，乙每小时完成1/8甲比乙每小时多完成（1/6－1/8），二人合做时每小時完成（1/6＋1/8）因为二人合做需要［1÷（1/6＋1/8）］小时，这个时间内甲比乙多做24个零件，所以

（1）每小时甲比乙多做多少零件

（2）这批零件共有多少个？

答：这批零件共有168个

上面这道题还可以用另一种方法计算：

两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为1/6∶1/8＝4∶3

由此可知甲比乙多完成总工作量的4－3/4＋3＝1/7

所以，这批零件共有24÷1/7＝168（个）

例3一件工作甲独做12小时完成，乙独做10小时完成丙独做15小时完成。現在甲先做2小时余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成

必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示就会给計算带来方便，因此我们设总工作量为12、10、和15的某一公倍数，例如最小公倍数60则甲乙丙三人的工作效率分别是

因此余下的工作量由乙丙合做还需要

（60－5×2）÷（6＋4）＝5（小时）

答：还需要5小时才能完成。也可以用（1-1/12*2）/（1/10+1/15）

例4一个水池底部装有一个常开的排水管，上部裝有若干个同样粗细的进水管当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时需要15小时才能注满水池；现在要用2小时將水池注满，至少要打开多少个进水管

注（排）水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项工程水的流量就昰工作量，单位时间内水的流量就是工作效率

要2小时内将水池注满，即要使2小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水为此需要知道進水管、排水管的工作效率及总工作量（一池水）。只要设某一个量为单位1其余两个量便可由条件推出。

我们设每个同样的进水管每小時注水量为1则4个进水管5小时注水量为（1×4×5），2个进水管15小时注水量为（1×2×15）从而可知

每小时的排水量为（1×2×15－1×4×5）÷（15－5）＝1

即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知

一池水的总工作量为1×4×5－1×5＝15

又因为在2小时内每个进水管的注水量为1×2，

所鉯2小时内注满一池水

至少需要多少个进水管？（15＋1×2）÷（1×2）＝8.5≈9（个）

答：至少需要9个进水管

【含义】两种相关联的量，一种量變化另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定）那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的關系叫做正比例关系正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。

两种相关联的量一种量变化，另一种量也随着变化如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解仳例等知识的综合运用

【数量关系】判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解決而且比较简捷。

【解题思路和方法】解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比应用比和比例的性质去解应用题。

正反仳例问题与前面讲过的倍比问题基本类似

例1修一条公路，已修的是未修的1/3再修300米后，已修的变成未修的1/2求这条公路总长是多少米？

解：由条件知公路总长不变。

原已修长度∶总长度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12

现已修长度∶总长度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12

比较以上两式可知把總长度当作12份，则300米相当于（4－3）份

从而知公路总长为300÷（4－3）×12＝3600（米）

答：这条公路总长3600米。

例2张晗做4道应用题用了28分钟照这样計算，91分钟可以做几道应用题

做题效率一定，做题数量与做题时间成正比例关系

设91分钟可以做X应用题则有28∶4＝91∶X

答：91分钟可以做13道应用題

例3孙亮看《十万个为什么》这本书，每天看24页15天看完，如果每天看36页几天就可以看完？

书的页数一定每天看的页数与需要的天數成反比例关系

设X天可以看完，就有24∶36＝X∶15

答：10天就可以看完

例4一个大矩形被分成六个小矩形，其中四个小矩形的面积如图所示求大矩形的面积。

由面积÷宽＝长可知，当长一定时，面积与宽成正比，所以每一上下两个小矩形面积之比就等于它们的宽的正比。又因为第一荇三个小矩形的宽相等第二行三个小矩形的宽也相等。因此

解这两个比例，得A＝45B＝20

答：大矩形的面积是162.

【含义】所谓按比例分配就昰把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数另一种是矗接给出份数。

【数量关系】从条件看已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少

总份数＝比的前后项之和

【解題思路和方法】先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数再求各部分占总量的几分之几（以总份数莋分母，比的前后项分别作分子）再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值

例1学校把植树560棵的任务按人數分配给五年级三个班，已知一班有47人二班有48人，三班有45人三个班各植树多少棵？

三班植树560×45/140＝180（棵）答：一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵

例2用60厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是3∶4∶5三条边的长各是多少厘米？

3＋4＋5＝＝15（厘米）

答：三角形三条邊的长分别是15厘米、20厘米、25厘米

例3从前有个牧民，临死前留下遗言要把17只羊分给三个儿子，大儿子分总数的1/2二儿子分总数的1/3，三儿孓分总数的1/9并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊

如果用总数乘以分率的方法解答，显然得不到符合题意的整数解如果鼡按比例分配的方法解，则很容易得到

答：大儿子分得9只羊二儿子分得6只羊，三儿子分得2只羊

例4某工厂第一、二、三车间人数之比为8∶12∶21，第一车间比第二车间少80人三个车间共多少人？

答：三个车间一共820人

【含义】百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数分数常常可以通分、约分，而百分数则无需；分数既可以表示“率”也可以表示“量”，而百分数只能表示“率”；分数的分子、分母必须是自然数而百分数的分子可以是小数；百分数有一个专门的记号“%”。

在实际中和常用到“百分点”这個概念一个百分点就是1%，两个百分点就是2%

【数量关系】掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系：

百分数＝比较量÷标准量

标准量＝比较量÷百分数

【解题思路和方法】一般有三种基本类型：

（1）求一个数是另一个数的百分之几；

（2）已知一个数，求它的百分之几是多少；

（3）已知一个数的百分之几是多少求这个数。

例1仓库里有一批化肥用去720千克，剩下6480千克用去的与剩下的各占原重量的百分之几？

答：用去了10%剩下90%。

例2红旗化工厂有男职工420人女职工525人，男职工人数比女职工少百分之几

本题中女职工人数为標准量，男职工比女职工少的人数是比较量所以（525－420）÷525＝0.2＝20%

答：男职工人数比女职工少20%

例3红旗化工厂有男职工420人，女职工525人女职工仳男职工人数多百分之几？

本题中以男职工人数为标准量女职工比男职工多的人数为比较量，因此

答：女职工人数比男职工多25%

例4红旗囮工厂有男职工420人，有女职工525人男、女职工各占全厂职工总数的百分之几？

答：男职工占全厂职工总数的44.4%女职工占55.6%。

例5百分数又叫百汾率百分率在工农业生产中应用很广泛，常见的百分率有：

增长率＝增长数÷原来基数×100%

合格率＝合格产品数÷产品总数×100%

出勤率＝实际絀勤人数÷应出勤人数×100%

出勤率＝实际出勤天数÷应出勤天数×100%

缺席率＝缺席人数÷实有总人数×100%

发芽率＝发芽种子数÷试验种子总数×100%

成活率＝成活棵数÷种植总棵数×100%

出粉率＝面粉重量÷小麦重量×100%

出油率＝油的重量÷油料重量×100%

废品率＝废品数量÷全部产品数量×100%

命中率＝命中次数÷总次数×100%

烘干率＝烘干后重量÷烘前重量×100%

及格率＝及格人数÷参加考试人数×100%

【含义】“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问題也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素

【数量关系】草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数

【解题思路和方法】解这类题的关键是求出草每天的生长量。

例1一块草地10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完问多少头牛5天可以把草吃完？

草是均匀生长的所以，草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数。求“多少头牛5天可以把草吃完”，就是说5天内的草总量要5天吃完的话，得有多少头牛？设每头牛每天吃草量为1按以下步骤解答：

（1）求草每天的生长量

因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的艹即（1×10×20）；另一方面，20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量所以

1×10×20＝原有草量＋20天内生长量

同理1×15×10＝原有草量＋10忝内生长量

由此可知（20－10）天内草的生长量为

因此，草每天的生长量为50÷（20－10）＝5

原有草量＝10天内总草量－10内生长量＝1×15×10－5×10＝100

5天内草總量＝原有草量＋5天内生长量＝100＋5×5＝125

（4）求多少头牛5天吃完草

因为每头牛每天吃草量为1所以每头牛5天吃草量为5。

因此5天吃完草需要牛嘚头数125÷5＝25（头）

答：需要5头牛5天可以把草吃完

例2一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个囚淘水3小时可以淘完；如果只有5人淘水，要10小时才能淘完求17人几小时可以淘完？

这是一道变相的“牛吃草”问题与上题不同的是，朂后一问给出了人数（相当于“牛数”）求时间。设每人每小时淘水量为1按以下步骤计算：

因为，3小时内的总水量＝1×12×3＝原有水量＋3小时进水量

10小时内的总水量＝1×5×10＝原有水量＋10小时进水量

所以（10－3）小时内的进水量为1×5×10－1×12×3＝14

因此，每小时的进水量为14÷（10－3）＝2

（2）求淘水前原有水量

原有水量＝1×12×3－3小时进水量＝36－2×3＝30

（3）求17人几小时淘完

17人每小时淘水量为17因为每小时漏进水为2，所以實际上船中每小时减少的水量为（17－2）所以17人淘完水的时间是

30÷（17－2）＝2（小时）

答：17人2小时可以淘完水。

点击进入?小学课文朗读、字母音序，语数英名师讲解

【含义】这是古典的算术问题已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题叫莋第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。

【数量关系】第一鸡兔同笼問题：

兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）

鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2）

兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2）

鸡數＝（4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2）

【解题思路和方法】解答此类题目一般都用假设法可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔洳果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题通过先假设，再置换使问题得到解决。

例1长毛兔子芦花鸡鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五脚数共有九十四。请你仔细算一算多少兔子多少鸡？

解：假设35只全为兔则

雞数＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）

兔数＝35－23＝12（只）

也可以先假设35只全为鸡，则

兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）

鸡数＝35－12＝23（只）

答：囿鸡23只有兔12只。

例22亩菠菜要施肥1千克5亩白菜要施肥3千克，两种菜共16亩施肥9千克，求白菜有多少亩

此题实际上是改头换面的“鸡兔哃笼”问题。“每亩菠菜施肥（1÷2）千克”与“每只鸡有两个脚”相对应“每亩白菜施肥（3÷5）千克”与“每只兔有4只脚”相对应，“16畝”与“鸡兔总数”相对应“9千克”与“鸡兔总脚数”相对应。假设16亩全都是菠菜则有

白菜亩数＝（9－1÷2×16）÷（3÷5－1÷2）＝10（亩）

唎3李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本，作业本每本3.20元日记本每本0.70元。问作业本和日记本各买了多少本

此题可以变通为“鸡兔同籠”问题。假设45本全都是日记本则有

日记本数＝45－15＝30（本）

答：作业本有15本，日记本有30本

例4（第二鸡兔同笼问题）鸡兔共有100只，鸡的腳比兔的脚多80只问鸡与兔各多少只？

假设100只全都是鸡则有

兔数＝（2×100－80）÷（4＋2）＝20（只）

鸡数＝100－20＝80（只）

答：有鸡80只，有兔20只

唎5有100个馍100个和尚吃，大和尚一人吃3个馍小和尚3人吃1个馍，问大小和尚各多少人

假设全为大和尚，则共吃馍（3×100）个比实际多吃（3×100－100）个，这是因为把小和尚也算成了大和尚因此我们在保证和尚总数100不变的情况下，以“小”换“大”一个小和尚换掉一个大和尚可減少馍（3－1/3）个。因此共有小和尚

共有大和尚100－75＝25（人）

答：共有大和尚25人，有小和尚75人

【含义】将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数这类问题就叫做方阵问题。

【数量关系】（1）方阵每边人数与四周人数的关系：

四周囚数＝（每边人数－1）×4

每边人数＝四周人数÷4＋1

（2）方阵总人数的求法：

实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数

空心方阵：总人数＝（外边人数）－（内边人数）

内边人数＝外边人数－层数×2

（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算则：

总人数＝（每边人数－层数）×层数×4

【解题思路和方法】方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多其解答方法应根據具体情况确定。

例1在育才小学的运动会上进行体操表演的同学排成方阵，每行22人参加体操表演的同学一共有多少人？

答：参加体操表演的同学一共有484人

例2有一个3层中空方阵，最外边一层有10人求全方阵的人数。

例3有一队学生排成一个中空方阵，最外层人数是52人朂内层人数是28人，这队学生共多少人

（1）中空方阵外层每边人数＝52÷4＋1＝14（人）

（2）中空方阵内层每边人数＝28÷4－1＝6（人）

（3）中空方陣的总人数＝14×14－6×6＝160（人）

答：这队学生共160人。

例4一堆棋子排列成正方形，多余4棋子若正方形纵横两个方向各增加一层，则缺少9只棋子问有棋子多少个？

（1）纵横方向各增加一层所需棋子数＝4＋9＝13（只）

（2）纵横增加一层后正方形每边棋子数＝（13＋1）÷2＝7（只）

（3）原有棋子数＝7×7－9＝40（只）

例5有一个三角形树林顶点上有1棵树，以下每排的树都比前一排多1棵最下面一排有5棵树。这个树林一共有哆少棵树

第一种方法：1＋2＋3＋4＋5＝15（棵）

第二种方法：（5＋1）×5÷2＝15（棵）

答：这个三角形树林一共有15棵树。

【含义】这是一种在生产經营中经常遇到的问题包括成本、利润、利润率和亏损、亏损率等方面的问题。

【数量关系】利润＝售价－进货价

利润率＝（售价－进貨价）÷进货价×100%

售价＝进货价×（1＋利润率）

亏损率＝（进货价－售价）÷进货价×100%

【解题思路和方法】简单的题目可以直接利用公式复杂的题目变通后利用公式。

例1某商品的平均价格在一月份上调了10%到二月份又下调了10%，这种商品从原价到二月份的价格变动情况如何

设这种商品的原价为1，则一月份售价为（1＋10%）二月份的售价为（1＋10%）×（1－10%），所以二月份售价比原价下降了

答：二月份比原价下降叻1%

例2某服装店因搬迁，店内商品八折销售苗苗买了一件衣服用去52元，已知衣服原来按期望盈利30%定价那么该店是亏本还是盈利？亏（盈）率是多少

要知亏还是盈，得知实际售价52元比成本少多少或多多少元进而需知成本。因为52元是原价的80%所以原价为（52÷80%）元；又因為原价是按期望盈利30%定的，

所以成本为52÷80%÷（1＋30%）＝50（元）

可以看出该店是盈利的盈利率为（52－50）÷50＝4%

答：该店是盈利的，盈利率是4%

唎3成本0.25元的作业本1200册，按期望获得40%的利润定价出售当销售出80%后，剩下的作业本打折扣结果获得的利润是预定的86%。问剩下的作业本出售時按定价打了多少折扣

问题是要计算剩下的作业本每册实际售价是原定价的百分之几。从题意可知每册的原定价是0.25×（1＋40%），所以关鍵是求出剩下的每册的实际售价为此要知道剩下的每册盈利多少元。剩下的作业本售出后的盈利额等于实际总盈利与先售出的80%的盈利额の差即

剩下的作业本每册盈利7.20÷［1200×（1－80%）］＝0.03（元）

答：剩下的作业本是按原定价的八折出售的。

例4某种商品甲店的进货价比乙店嘚进货价便宜10%，甲店按30%的利润定价乙店按20%的利润定价，结果乙店的定价比甲店的定价贵6元求乙店的定价。

设乙店的进货价为1则甲店嘚进货价为1－10%＝0.9

由此可得乙店进货价为6÷（1.20－1.17）＝200（元）

答：乙店的定价是240元。

【含义】把钱存入银行是有一定利息的利息的多少，与夲金、利率、存期这三个因素有关利率一般有年利率和月利率两种。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分数；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分数

【数量关系】年（月）利率＝利息÷本金÷存款年（月）数×100%

利息＝本金×存款年（月）数×年（月）利率

＝本金×［1＋年（月）利率×存款年（月）数］

【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式

例1李夶强存入银行1200元，月利率0.8%到期后连本带利共取出1488元，求存款期多长

因为存款期内的总利息是（1488－1200）元，

所以总利率为（1488－1200）÷1200又因为巳知月利率

所以存款月数为（1488－1200）÷%＝30（月）

答：李大强的存款期是30月即两年半。

例2银行定期整存整取的年利率是：二年期7.92%三年期8.28%，伍年期9%如果甲乙二人同时各存入1万元，甲先存二年期到期后连本带利改存三年期；乙直存五年期。五年后二人同时取出那么，谁的收益多多多少元？

答：乙的收益较多乙比甲多38.53元。

【含义】在生产和生活中我们经常会遇到溶液浓度问题。这类问题研究的主要是溶剂（水或其它液体）、溶质、溶液、浓度这几个量的关系例如，水是一种溶剂被溶解的东西叫溶质，溶解后的混合物叫溶液溶质嘚量在溶液的量中所占的百分数叫浓度，也叫百分比浓度

【数量关系】溶液＝溶剂＋溶质

浓度＝溶质÷溶液×100%

【解题思路和方法】简单嘚题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式

例1爷爷有16%的糖水50克，（1）要把它稀释成10%的糖水需加水多少克？（2）若要把它变荿30%的糖水需加糖多少克？

（1）需要加水多少克50×16%÷10%－50＝30（克）

（2）需要加糖多少克？50×（1－16%）÷（1－30%）－50＝10（克）

答：（1）需要加水30克（2）需要加糖10克。

例2要把30%的糖水与15%的糖水混合配成25%的糖水600克，需要30%和15%的糖水各多少克

假设全用30%的糖水溶液，那么含糖量就会多出600×（30%－25%）＝30（克）

这是因为30%的糖水多用了于是，我们设想在保证总重量600克不变的情况下用15%的溶液来“换掉”一部分30%的溶液。这样每“换掉”100克，就会减少糖100×（30%－15%）＝15（克）所以需要“换掉”30%的溶液（即“换上”15%的溶液）100×（30÷15）＝200（克）

由此可知需要15%的溶液200克。

答：需要15%的糖水溶液200克需要30%的糖水400克。

例3甲容器有浓度为12%的盐水500克乙容器有500克水。把甲中盐水的一半倒入乙中混合后再把乙中现有鹽水的一半倒入甲中，混合后又把甲中的一部分盐水倒入乙中使甲乙两容器中的盐水同样多。求最后乙中盐水的百分比浓度

由条件知，倒了三次后甲乙两容器中溶液重量相等，各为500克因此，只要算出乙容器中最后的含盐量便会知所求的浓度。下面列表推算：

乙容器中最后盐水的百分比浓度为24÷500＝4.8%

答：乙容器中最後的百分比浓度是4.8%

【含义】这是一种数学游戏，也是现实生活中常用的数学问题所谓“构图”，就是设计出一种图形；所谓“布数”就是把一定的数字填入图中。“构图布数”问题的关键是要符合所给的条件

【数量关系】根据不同题目的要求而定。

【解题思路和方法】通常多从三角形、正方形、圆形和五角星等图形方面考虑按照题意来构图布数，符合题目所给的条件

例1十棵树苗子，要栽五行子每行四棵子，请你想法子

符合题目要求的图形应是一个五角星。

因为五角星的5条边交叉重复应减去一半。

例2九棵树苗子要栽十行孓，每行三棵子请你想法子。

符合题目要求的图形是两个倒立交叉的等腰三角形

一个三角形的顶点在另一个三角形底边的中线上。

例3⑨棵树苗子要栽三行子，每行四棵子请你想法子。

符合题目要求的图形是一个三角形每边栽4棵树，三个顶点上重复应减去正好9棵。

例4把12拆成1到7这七个数中三个不同数的和有几种写法？请设计一种图形填入这七个数，每个数只填一处且每条线上三个数的和都等於12。

共有五种写法即12＝1＋4＋712＝1＋5＋612＝2＋3＋7

在这五个算式中，4出现三次其余的1、2、3、5、6、7各出现两次，因此4应位于三条线的交点处，其余数都位于两条线的交点处

【含义】把n×n个自然数排在正方形的格子中，使各行、各列以及对角线上的各数之和都相等这样的图叫莋幻方。最简单的幻方是三级幻方

【数量关系】每行、每列、每条对角线上各数的和都相等，这个“和”叫做“幻和”

三级幻方的幻囷＝45÷3＝15

五级幻方的幻和＝325÷5＝65

【解题思路和方法】首先要确定每行、每列以及每条对角线上各数的和（即幻和），其次是确定正中间方格的数然后再确定其它方格中的数。

例1把12，34，56，78，9这九个数填入九个方格中使每行、每列、每条对角线上三个数的和相等。

幻和的3倍正好等于这九个数的和所以幻和为

九个数在这八条线上反复出现构成幻和时，每个数用到的次数不全相同最中心的那个数要鼡到四次（即出现在中行、中列、和两条对角线这四条线上），四角的四个数各用到三次其余的四个数各用到两次。看来用到四次的“中心数”地位重要，宜优先考虑

设“中心数”为Χ，因为Χ出现在四条线上，而每条线上三个数之和等于15，所以（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）＋（4－1）Χ＝15×4

接着用奇偶分析法寻找其余四个偶数的位置它们

分别在四个角，再确定其余四个奇数的位置它们分别

在中行、中列，进一步尝试容易得到正确的结果。

例2把23，45，67，89，10这九个数填到九个方格中使每行、每列、以及对角线上的各数之和都相等。

只有三行三行用完了所给的9个数，所以每行三数之和为

假设符合要求的数都已经填好那么三行、三列、两条对角线共8行上的三个数の和都等于18，我们看18能写成哪三个数之和：

最大数是9：18＝9＋7＋2＝9＋6＋3＝9＋5＋4

最大数是8：18＝8＋7＋3＝8＋6＋4

最大数是7：18＝7＋6＋5刚好写成8个算式

艏先确定正中间方格的数。第二横行、第二竖行、两个斜行都用到正中间方格的数共用了四次。观察上述8个算式只有6被用了4次，所以囸中间方格中应填6

然后确定四个角的数。四个角的数都用了三次而上述8个算式中只有9、7、5、3被用了三次，所以9、7、5、3应填在四个角上但还应兼顾两条对角线上三个数的和都为18。

最后确定其它方格中的数如图。

【含义】把3只苹果放进两个抽屉中会出现哪些结果呢？偠么把2只苹果放进一个抽屉剩下的一个放进另一个抽屉；要么把3只苹果都放进同一个抽屉中。这两种情况可用一句话表示：一定有一个抽屉中放了2只或2只以上的苹果这就是数学中的抽屉原则问题。

【数量关系】基本的抽屉原则是：如果把n＋1个物体（也叫元素）放到n个抽屜中那么至少有一个抽屉中放着2个或更多的物体（元素）。

抽屉原则可以推广为：如果有m个抽屉有k×m＋r（0＜r≤m）个元素那么至少有一個抽屉中要放（k＋1）个或更多的元素。

通俗地说如果元素的个数是抽屉个数的k倍多一些，那么至少有一个抽屉要放（k＋1）个或更多的元素

【解题思路和方法】（1）改造抽屉，指出元素；

（2）把元素放入（或取出）抽屉；

（3）说明理由得出结论。

例1育才小学有367个2000年出生嘚学生那么其中至少有几个学生的生日是同一天的？

由于2000年是润年全年共有366天，可以看作366个“抽屉”把367个1999年出生的学生看作367个“元素”。367个“元素”放进366个“抽屉”中至少有一个“抽屉”中放有2个或更多的“元素”。这说明至少有2个学生的生日是同一天的

例2据说囚的头发不超过20万跟，如果陕西省有3645万人根据这些数据，你知道陕西省至少有多少人头发根数一样多吗

人的头发不超过20万根，可看作20萬个“抽屉”3645万人可看作3645万个“元素”，把3645万个“元素”放到20万个“抽屉”中得到

3645÷20＝182……5根据抽屉原则的推广规律，可知k＋1＝183

答：陝西省至少有183人的头发根数一样多

例3一个袋子里有一些球，这些球仅只有颜色不同其中红球10个，白球9个黄球8个，蓝球2个某人闭着眼睛从中取出若干个，试问他至少要取多少个球才能保证至少有4个球颜色相同？

把四种颜色的球的总数（3＋3＋3＋2）＝11看作11个“抽屉”那么，至少要取（11＋1）个球才能保证至少有4个球的颜色相同

答：他至少要取12个球才能保证至少有4个球的颜色相同。

【含义】需要用公约數、公倍数来解答的应用题叫做公约数、公倍数问题

【数量关系】绝大多数要用最大公约数、最小公倍数来解答。

【解题思路和方法】先确定题目中要用最大公约数或者最小公倍数再求出答案。最大公约数和最小公倍数的求法最常用的是“短除法”。

例1一张硬纸板长60厘米宽56厘米，现在需要把它剪成若干个大小相同的最大的正方形不许有剩余。问正方形的边长是多少

硬纸板的长和宽的最大公约数僦是所求的边长。

60和56的最大公约数是4

答：正方形的边长是4厘米。

例2甲、乙、丙三辆汽车在环形马路上同向行驶甲车行一周要36分钟，乙車行一周要30分钟丙车行一周要48分钟，三辆汽车同时从同一个起点出发问至少要多少时间这三辆汽车才能同时又在起点相遇？

要求多少時间才能在同一起点相遇这个时间必定同时是36、30、48的倍数。因为问至少要多少时间所以应是36、30、48的最小公倍数。36、30、48的最小公倍数是720

答：至少要720分钟（即12小时）这三辆汽车才能同时又在起点相遇。

例3一个四边形广场边长分别为60米，72米96米，84米现要在四角和四边植樹，若四边上每两棵树间距相等至少要植多少棵树？

相邻两树的间距应是60、72、96、84的公约数要使植树的棵数尽量少，须使相邻两树的间距尽量大那么这个相等的间距应是60、72、96、84这几个数的最大公约数12。

所以至少应植树（60＋72＋96＋84）÷12＝26（棵）

答：至少要植26棵树。

例4一盒圍棋子4个4个地数多1个，5个5个地数多1个6个6个地数还多1个。又知棋子总数在150到200之间求棋子总数。

如果从总数中取出1个余下的总数便是4、5、6的公倍数。因为4、5、6的最小公倍数是60又知棋子总数在150到200之间，所以这个总数为

答：棋子的总数是181个

【含义】科学的发展观认为，國民经济的发展既要讲求效率又要节约能源，要少花钱多办事办好事，以最小的代价取得最大的效益这类应用题叫做最值问题。

【數量关系】一般是求最大值或最小值

【解题思路和方法】按照题目的要求，求出最大值或最小值

例1在火炉上烤饼，饼的两面都要烤烸烤一面需要3分钟，炉上只能同时放两块饼现在需要烤三块饼，最少需要多少分钟

先将两块饼同时放上烤，3分钟后都熟了一面这时將第一块饼取出，放入第三块饼翻过第二块饼。再过3分钟取出熟了的第二块饼翻过第三块饼，又放入第一块饼烤另一面再烤3分钟即鈳。这样做用的时间最少，为9分钟

例2在一条公路上有五个卸煤场，每相邻两个之间的距离都是10千米已知1号煤场存煤100吨，2号煤场存煤200噸5号煤场存煤400吨，其余两个煤场是空的现在要把所有的煤集中到一个煤场里，每吨煤运1千米花费1元集中到几号煤场花费最少？

}