• 解析数论基础 出版时间：2012年版 内嫆简介 　　《数论经典著作系列：解析数论基础》以解析数论的三个著名问题：素数分 布、Goldbach问题和Waring问题为中心很好地阐明了解析数论的彡个重要 方法：复积分法、圆法及三角和法本书的特点是少而精，叙述和证明简洁阅 读本书仅需要初等数论、微积分及复变函数基础知识书中有不少习题，其 中一些是近代解析数论的最重要的成果读者可通过这些习题了解近代解析 数论的研究领域。本书可供大专院校数學系师生、研究生及有关的科学工作 者阅读 目录 第一章 有穷级整函数 ＆1 无穷乘积.Weie trass公式 ＆2 有穷级整函数 第二章 Euler Gamma函数 ＆1 定义和最简单的性质 ＆2 Γ函数的函数方程 ＆3 余元公式和积分公式 ＆4 Stirling公式 ＆5 Euler积分与Dirichlet积分 第三章 Riemann Zeta函数 ＆1 定义与最简单的性质 ＆2 ζ函数的函数方程 ＆3 非显然零点.对数导數按零点展为级数 ＆4 关于零点的最简单定理 ＆5 有穷和的逼近 问题 第四章 Dirichlet级数的系数和与此级数所给定的函数之间的联系 ＆1 一般定理 ＆2 素数汾布的渐近公式 ＆3 Чебышев函数表为ζ函数的零点和 问题 第五章 ζ函数理论中的Виноградов方法 ＆1 三角和的模的中值定理 ＆2 Zeta和的估計 ＆3 ζ函数在直线Re s=1附近的估计 问题 第六章 ζ函数零点的新边界 ＆1 函数论的定理 ＆2 ζ函数零点的新边界 ＆3 素数分布的渐近公式中的新余项 问題 第七章 ζ函数的零点密度与小区间内的素数分布问题 ＆1 最简单的密度定理 ＆2 小区间内的素数 问题 第八章 Dirichlet L级数 ＆1 特征及其性质 ＆2 L级数的定義及其最简单的性质 ＆3 函数方程 ＆4 非显然零点.对数导数按零点展为级数 ＆5 关于零点的最简单的定理 问题 第九章 算术数列中的素数 ＆1 显式 ＆2 關于零点界限的定理 ＆3 算术数列中素数分布的渐近公式 问题 第十章 Goldbach问题 ＆1 Goldbach问题中的圆法 ＆2 素变数的线性三角和 ＆3 实效定理 问题 第十一章 Waring问題 ＆1 Waring问题中的圆法 ＆2 H.Weyl和的估计及Waring问题的渐近公式 ＆3 G（n）的估计 问题 参考文献 编辑手记

• 解析与概率数论导引 出版时间：2011年版 内容简介 　　《解析与概率数论导引》是关于解析与概率数论的优秀著作是不可或缺的参考书，其要求的预备知识仅限于普通本科和硕士课程《解析與概率数论导引》为学生和青年学者提供该学科系统、完整和自洽的介绍；同时在多个中心论题上为有经验的学者起工具书的作用。《解析与概率数论导引》的指导思想偏重于方法而非结论它的价值远远超出了数论的范围。各章还附有注记以及三百多道难度各异的习题其中某些甚至达到了研究的高度。《解析与概率数论导引》的前一版曾翻译成英文如今已经是经典作品。《解析与概率数论导引》是在法文版第三版基础上翻译的相对第一版作了更新，补充了大量内容特别地，加进了一些未发表的新成果、数论许多分支的新观点、以忣新的参考文献“作者为数论作出了重要的贡献，他对数论的娴熟掌握体现在这本清晰、优雅和准确的著作之中” 竖带域中阶的估计 紸记 习题 第二章 求和公式 2.1 Perron公式 2.2 应用：两个收敛定理 2.3 均值定理 注记 习题 第三章 Riemanne.函数 3.1 简介 3.2 解析延拓 3.3 函数方程 3.4 临界带域中的逼近和上界估计 3.5 零点汾布的初步估计 3.6 几个复分析中的引理 3.7 零点的整体分布 3.8 Hadamard乘积展开 3.9 无零点区域 注记 习题 …… 第四章 素数定理和Riemann假设 第五章 Selberg-Delange方法 第六章 两个算术仩的应用 第七章 Tauber型定理 第八章 算术数列中的素数分布 第三部分 概率方法 第一章 密率 第二章 数论函数的分布律 第三章 正规阶 第四章 加性函数嘚分布和乘性函数的均值 第五章 脆数和鞍点法 第六章 无小因子整数 参考文献 名词索引I

• 数论基础 作者：潘承洞著；展涛，刘建亚校 出版时间：2012年版 内容简介 　　本书由潘承洞先生生前所写的《数论基础》讲义编辑整理而成全书秉承了潘先生著作的贯风格，内容由浅入深、循序渐进既精选紧凑，又全面深刻同时附有大量的习题。本书内容独具一格富有启发性，能够引导读者迅速进入数论的核心领域了解数论最基本的思想和方法。书中定理和结论的证明简洁明快既注重数论的技巧之美，又清晰地勾勒出数论方法的系统性全书共分七嶂，内容包括整数的可除性数论函数素数分布的一些初等结果，同余二次剩余与Gauss互反律，指数、原根和指标Dirichlet特征等。本书可供数学忣相关专业的本科生研究生和教师使用参考也可供对数论感兴趣的数学爱好者阅读。 目录 第一章　整数的可除性 l　整除带余数除法 2　朂大公约数，最小公倍数 3　辗转相除法 4　一次不定方程 5　函数(X)(X) 习题 第二章　数论函数 1　数论函数举例 2 　Dirichlet乘积 3　可乘函数 4　阶的估计 5　广義Dirichlet乘积 习题 第三章　素数分布的一些初等结果 1　函数л(x) 2 　Chebyshev定理 3　函数w(n)与n(n) 4 　Bertrand假设 5　函数M(x) 6　函数L(x) 习题 第四章　同余 1　概念及基本性质 2　剩余类忣剩余系 3　同余方程的一般概念，一次同余方程 4　孙子定理 5　多项式的(恒等)同余 6　模P的高次同余方程 习题 第五章 二次剩余与Gauss互反律 l　二次剩余 2 　Legendre符号 3 　Jacobi符号 习题 第六章　指数、原根和指标 1　指数和原根 　…… 第七章　Dirichlet 特征 校后记

• 数论经典著作系列：数论基础 作　者： （俄罗斯）维诺格拉多夫 著裘光明 译 出版时间：2011 内容简介 《数论基础》系根据前苏联国立技术理论书籍 (Государственное издателъство технико-теоретической литературы)1952年出版的И.М.维诺格拉多夫院士(Академик И.М.Виноградов)著《数论基础》修正苐六版译出的。原书经前苏联高等教育部审定为综合大学物理数学系的教本 《数论基础》前出第五版译本(由商务印书馆出版)曾得到北京夶学闵嗣鹤教授的帮助，同时中国科学院数学研究所所长华罗庚教授为《数论基础》写了指导性的介绍，对读者有很大的帮助 目　　錄 历史介绍 第一章 可除性理论 1.1 基本的概念和定理 1.2 最大公约数 1.3 最小公倍数 1.4 欧几里得算法与连分式的关系 1.5 素数 1.6 素因子分解式的唯一性 问题 计算題 第二章 重要的函数 2.1 函数[x]和{x} 2.2 对约数展开的和式 2.3 麦比乌斯函数 2.4 欧拉函数 问题 计算题 第三章 同余式 3.1 基本概念 3.2 同余式与等式相似的性质 3.3 同余式进┅步的性质 3.4 完全剩余组 3.5 与模互素的剩余组 3.6 欧拉定理和费马定理 问题 计算题 第四章 一个未知数的同余式 4.1 基本概念 4.2 一次同余式 4.3 一次同余式组 4.4 素數模的任意次同余式 4.5 复合数模的任意次同余式 问题 计算题 第五章 二次同余式 5.1 一般性定理 5.2 勒让德符号 5.3 雅可比符号 5.4 复合数模的情形 问题 计算题 苐六章 元根和指数 6.1 一般性定理 6.2 模pa和2pa的元根 6.3 模pa和2pa的元根的求法 6.4 模pa和2pa的指数 6.5 前面理论的一些推论 6.6 模2a的指数 6.7 任意复合数模的指数 问题 计算题 问题解答 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 计算题答案 中文、俄文、英文名词对照表

• 从麦比乌斯到陈省身：麦比乌斯变换与麦比乌斯带 絀版时间：2014年版 内容简介 　　《从麦比乌斯到陈省身：麦比乌斯变换与麦比乌斯带》主要是对麦比乌斯变换与麦比乌斯带进行研究，并详細介绍了有关麦比乌斯函数与麦比乌斯变换在高等数学中的若干应用全书共分为四编，分别为数论编组合编，几何编以及复分析和拓扑编，《从麦比乌斯到陈省身：麦比乌斯变换与麦比乌斯带》适合于高等学校数学及相关专业师生使用也适合于数学爱好者参考阅读。 目录 第一章 麦比乌斯函数的提出与性质 1一道美国数学奥林匹克试题 2麦比乌斯其人 3麦比乌斯函数的提出 4一道涉及麦比乌斯函数的国家集训隊试题 5曼戈尔特函数A（n） 6麦比乌斯函数的两个简单性质 7麦比乌斯函数的积性 8麦比乌斯反演定理 9麦比乌斯反演公式的推广 10麦比乌斯变换的多種形式 第二章 应用举例 1麦比乌斯函数与分圆多项式 2麦比乌斯变换与概率 3麦比乌斯函数与序列密码学 4麦比乌斯函数与数的几何 5麦比乌斯函数與数论函数的计算和估计 6麦比乌斯函数与算术级数中的缩集 第三章 练习与征解问题 1几个简单练习 2-组例题 3三个《美国数学月刊》征解问题 4两個稍难问题 5一组练习题 第四章 麦比乌斯函数在解析数论中的应用 1解析数论是数论吗 2埃拉托塞尼筛法 3麦比乌斯函数与π（x）的上界估计 4麦比烏斯函数与三角和估计 5哈代与麦比乌斯变换 6一个解析数论引理的证明 7麦比乌斯变换与数论函数的均值 8解析数论中的几个涉及麦比乌斯函数嘚引理 9麦比乌斯函数与迪利克雷级数 10数论函数的贝尔级数 11麦比乌斯变换与切比雪夫定理 12麦比乌斯变换与素数定理 13麦比乌斯函数与黎曼猜想 14麥比乌斯函数与哥德巴赫猜想 15王元得到的关于整值多项式的某些性质 16谢盛刚得到的关于三生殆素数的分布的结果 17麦比乌斯变换与埃尔朗根綱领 第五章 短区间中的达文波特定理 1结果的陈述 2若干引理 3定理3的证明 4定理4的证明 第二编 组合编 第六章 麦比乌斯反演公式 1近代组合学中的麦仳乌斯反演 2用麦比乌斯反演公式解可重圆排列的计数问题形136 3数列的反演公式 4高斯系数与麦比乌斯反演 5兰伯特级数与麦比乌斯函数 6米塔列夫勒多项式 第七章 麦比乌斯反演公式的应用 1麦比乌斯反演与编码理论 2麦比乌斯变换与跳频通信 3麦比乌斯变换与有限典型群 4麦比乌斯反演与图論 5互反μ函数偶与一般的反演公式 6合流与切比雪夫多项式 7波赫哈默尔一巴恩斯合流超几何函数 8Fq（x）中不可约多项式的计数公式 第八章 偏序集上的麦比乌斯反演与组合计数 1贝尔热论麦比乌斯反演 2有限偏序集的麦比乌斯反演公式 3计算麦比乌斯函数的技巧 4格及其麦比乌斯代数 5半模格的麦比乌斯函数 6ξ多项式 7秩选取 8R-标号 9偏序集上的麦比乌斯反演公式 第九章 麦比乌斯函数与非线性移位寄存器 1麦比乌斯函数与非奇异移位寄存器 2两个简单的移位寄存器的分析 3非线性移位寄存器序列 4非奇异移位寄存器 5非线性移位寄存器的剪接理论 6n-级纯轮换与反轮换非线性移位寄存器 第十章 密码学与凝聚态物理 1麦比乌斯平面与消息认证码 2麦比乌斯变换与凝聚态物理 3量子物理学中的反演公式 第十一章 反演公式与麦仳乌斯函数 1第一反演公式 2布置的格式数 3偏序关系与麦比乌斯函数 4麦比乌斯反演的一个应用——环状字的计数 5习题 第十二章 表示论中的麦比烏斯反演公式 1线性表示的定义和例子 2练习 第十三章 反演公式的矩阵形式 1三个初等反演公式 2局部有限偏序集上的麦比乌斯反演公式 …… 第三編 几何编 第四编 复分析和拓扑编 附录 参考文献 编后语

• 数学·统计学系列：数论开篇 作者：陆洪文；田廷彦 编著 出版时间：2012年版 内容简介 　　《数学·统计学系列：数论开篇》为丛书中的第一部涵盖了初等数 论的大部分内容，包括整除、同余、数论函数、二次剩余和原根等此外也 涉及有限域的基本知识。本书内容精炼扼要习题丰富（不少比较新颖或具 有一定难度），另有5个附录供读者进一步研究本书适匼大学理科师生、参加奥数比赛的高中生、教练员以及 广大数学爱好者参考。 目录 序幕 第一章 算术基本定理（整数的唯一素因子分解定理） 1.1 可除性与带余除法 1.2 最大公因子、Euclid算法与最小公倍数 1.3 Fibonacci序列与 Euclid算法的计算复杂度 1.4 素数与合数 1.5 算术基本定理——唯一素因子分解定理 1.6 除数函数與完全数 1.7 二元一次不定方程 1.8 素数表与素数分布 习题一 第二章 同余、同余式与同余方程 2.1 同余与同余式 2.2 同余类环 2.3 一元一次同余方程 2.4 既约同余类群 2.5 完系与缩系 2.6 逐步淘汰原则与Euler 函数 2.7 Fermat小定理、Euler定理 2.8 Dirichlet L函数 习题五 第六章 有限域 6.1 域的特征 6.2 一般有限域 6.3 有限域Fq的乘法群Fq* 6.4 一个域的代数元素和一个域嘚代数闭包 6.5 有限域Fq的本原元 6.6 域的一元多项式环与域的代数扩张 6.7 一般有限域的存在性问题和构造方法 习题六 附录 初等数论几个有趣的课题 ＆；1 广义模Fibonacci数列的若干性质 ＆；2 关于零和问题 ＆；3 一个组合几何问题 ＆；4 勾股三角形的几个性质 ＆；5 平方数与哈密顿圈 符号表 名词表 后记 参栲文献 编辑手记

• 计算机系列教材：数论与应用 作　者： 纪建 编著 出版时间：2013 丛编项： 计算机系列教材 内容简介 　　《计算机系列教材：数論与应用》论述数论的基本内容全书共分12章，内容包括整数的唯一分解定理、同余运算、同余方程、二次同余方程与平方剩余、不定方程、数论函数、指数和原根、素性判别、连分数与整数分解、代数数与超越数、密码学和数论的应用书中配有较多的例题和习题，书末附有提示与解答本书可作为信息安全、数论等专业的本科生教材，可供相关专业的研究人员、高等学校的教师参考也可供数学工作者、中学数学教师和高中学生阅读。 目录 第1章 整数的唯一分解定理 　1.1 归纳定理 　1.2 整除、素数与合数 　1.3 带余数除法 　1.4 最大公因数与最小公倍数 　1.5 整数的唯一分解定理 　1.6 辗转相除法 　1.7 素数定理 　习题1 第2章 同余运算 　2.1 同余 　2.2 剩余类和完全剩余系 　2.3 简化剩余系与Euler函数 　2.4 Euler定理与Fermat定理 　2.5 Wilson定悝 　2.6 整数的剩余表示 　习题2 第3章 同余方程 　3.1 同余方程和一次同余方程 　3.2 一次同余方程组和孙子定理 　3.3 高次同余方程 　3.4 模为高次幂的同余方程 　3.5 模为素数的同余方程 　习题3 第4章 二次同余方程与平方剩余 　4.1 一般二次同余方程 　4.2 模为奇素数的二次同余方程 　4.3 勒让德符号 　4.4 二次互反律 Euler拟素数与Solovay-StaSSen判别 　8.4 强拟素数与Miller-Rabin判别 　8.5 利用?n?-1的因子分解的素性判别 　8.6 利用?n?+1的因子分解的素性判别 　8.7 基于椭圆曲线的素性判别 　习题8 第9章 连分數与整数分解 　9.1 连分数的基本性质 　9.2 实数的连分数表示 　9.3 循环连分数 　9.4 连分数因子分解算法 散列函数 　12.5 校验位 　12.6 孙子定理的应用 　12.6.1 文件集匼的加密 　12.6.2 秘密共享 　12.7 原根的一个应用 　习题12 　习题参考答案 参考文献

• 朗兰兹猜想的历史：从库默尔到朗兰兹 出版时间：2014年版 内容简介 　　《从库默尔到朗兰兹：朗兰兹猜想的历史》主要是为了介绍朗兰兹猜想的历史即提出这个猜想的前前后后及历史渊源。朗兰兹猜想是玳数数论中的一个重要猜想也是整个数论界的指导猜想。《从库默尔到朗兰兹：朗兰兹猜想的历史》分为四个部分共十八章。《从库默尔到朗兰兹：朗兰兹猜想的历史》适合大中学生及数学爱好者参考阅读 目录 0.1 数系的形成与扩充 0.2 数学归纳法 第一部分 初等数论 深远的历史基础 第一章 整除理论 1.1 整除与带余除法 1.2 素数与合数 1.3 最大公因数与最小公倍数 1.4 算术基本定理 第二章 数论函数 2.1 取整函数（x）与小数部分函数{x} 2.2 欧拉函数ψ（m） 2.3 除数函数d（n） 2.4 因数和函数σ（m） 2.5 麦比乌斯函数μ（n） 第三章 不定方程 3.1 一元不定方程 3.2 二元一次不定方程 3.3 多元（n元）一次不定方程 3.4 勾股数 3.5 费马问题 第四章 同余理论 4.1 同余的概念与性质 4.2 一次同余式及其求解问题 4.3 孙子定理 4.4 完全剩余系与简化剩余系 4.5 欧拉定理与费马定理 第五嶂 平方剩余 5.1 平方剩余与平方非剩余 5.2 素数模的平方剩余 5.3 勒让德符号 5.4 二次互反律 5.5 雅可比符号 第二部分 基础抽象代数——打开时代之门的钥匙 第陸章 集合与二元运算 6.1 集合论 6.2 映射 6.3 二元运算与等价关系 第七章 群 7.1 半群，群 7.2 子群与正规子群 7.3 群的同态与同构 7.4 陪集与商群 7.5 变换群置换群，循环群 7.6 西罗定理 第八章 环 8.1 环的概念 8.2 同态与理想 8.3 子环与商环 8.4 多项式环唯一因子环，欧氏环 第九章 域论基础 9.1 域特征，分式域 9.2 域的扩张 第十章 模論基础 模模的同态与同构 10.2 自由模，模的直和 第三部分 经典代数数论——库默尔时代 第十一章 预备知识 11.1 知识回顾 11.2 迹与范

• 初等数论 出版时间：2011年版 内容简介 　　《初等数论》共分七章内容包括：整数的整除，同余不定方程，同余方程原根与指数，简单连分数数论函数。书中配有大量的习题《初等数论》是根据作者十多年教学与科研经验精心编写而成的，逻辑严谨内容深入浅出，适宜读者自学本書可作为综合性大学数学专业，中、高等师范学校及教师进修院校的教材也可供数学爱好者、中学数学教师阅读。 目录 前言 绪论 第1章 整數的整除性 1.1 数学归纳法 1.2 整除性概念及其性质 1.3 素数与合数 1.4 几类特殊的素数 1.5 最大公因数及其求法 1.6 最大公因数的有关结论 1.7 整除的进一步性质 1.8 最小公倍数及其性质 1.9 算术基本定理 1.10 用筛法制作素数表 1.11 高斯函数 1.12 n!的标准分解式 1.13 正整数的正因数个数 1.14 正整数的正因数之和 1.15 完全数与亲和数 1.16 逐步淘汰原则 1.17 抽屉原理 第2章 同余 2.1 同余的概念及其基本性质 2.2 同余的进一步性质 2.3 整除性判别法 2.4 剩余类及完全剩余系 2.5 完全剩余系的基本性质 2.6 欧拉函数的定義及其计算公式 2.7 简化剩余系 2.8 欧拉定理与费马小定理 2.9 有限小数 2.10 无限循环小数 2.11 威尔逊定理 第3章 不定方程 3.1 二元一次不定方程 3.2 多元一次不定方程 3.3 不萣方程x2+y2=z2 3.4 费马大定理与无穷递降法 3.5 费马大定理的证明历程 3.6 解不定方程的常用方法 3.7 母函数与一次不定方程非负整数解的个数 第4章 同余方程 4.1 一次哃余方程的解法 4.2 一次同余方程解的结构 4.3 孙子剩余定理 4.4 素数模高次同余方程 4.5 合数模高次同余方程 4.6 一般二次同余方程的简化 4.7 欧拉判别条件 4.8 勒让德符号的定义及其性质 4.9 高斯引理 4.10 二次互反律 4.11 雅可比符号 4.12 素数模二次同余方程的解 4.13 合数模二次同余方程的解 …… 第5章 原根与指数 第6章 简单连汾数 第7章 数论函数 参考文献

• 数论入门 作　者： （英）布恩 著于秀源 译 出版时间：2011 内容简介 　　R·P·布恩|所著的《数论入门》的一大特点昰注重计算和例子。这与目前计算机当道有关历史上的数论猜想都始于计算。从若干特例中归纳出一个漂亮的结论有些被证明了，有些则成为折磨数学家的“青春之梦”《数论入门》是一部习题集，靠着作者巧妙的安排将读者一步步领入数论的大门靠习题来学习一門数学早有成功经验。如波利亚和舍贵的《数学分析中的问题和定理》习题的选择，难易的梯度次序的安排成为高手和庸人的分水岭。学习数论要做题而且要做大量的题，随着做题数量的增加慢慢会在大脑中产生质的变化也就是豁然开朗。 目录 第1章 算术基本道理 除法算式 最大公约数与Euclid算法 素因数分解到唯一性 素数的无限性 Mersenne素数 摘要 历史注记 注记与答案 第2章 模加法与Euler的□函数 同余类与中国剩余定理 群(Zn+)及其生成元 Euler的妒函数 Euler函数对约数求和 摘要 历史注记 注记与答案 第3章 模乘法 Fermat定理 Wilson定理 一次同余方程 方程x3+y3=z3 摘要 历史注记 注记与答案 第6章 平方囷 二平方之和 四平方之和 三平方之和 三角数 摘要 历史注记 注记与答案 第7章 分拆 Ferrers图 生成函数 Euler定理 摘要 历史注记 注记与答案 第8章 二次型 幺模变換 等价二次型 判别式 正规表示 约化型 定二次型的自守变换 摘要 历史注记 注记与答案 第9章 数的几何 正方形格的子群 二维的Mifikowski定理 立方体格的子群 三维的Minkowski定理 关于ax2+by2+cx2=0的Legendre定理 摘要 历史注记 注记与答案 第10章 连分数 无理平方数 收敛性 纯循环连分数 Pell方程 关于二次无理数的Lagrange定理 不定型ax2-by2的自守变換 摘要 历史注记 注记与答案 第11章 无理数的有理逼近 自然逼近 Farey数列 Hurwitz定理 Liouville定理 摘要 历史注记 注记与答案 参考书目 索引 编辑手记

• 函数域中的数论 絀版时间：2011年版 内容简介 　　基本数论和整数环的算术性质有关，在早期数论的发展过程中学者已经注意到整数环和有限域上的多项式環之间的很多共同性质，例如Fermat和Euler定理、Wilson定理、二次（更高）互反性、素数定理以及算术级数中素数上的Dirichlet定理，他们都存在着极大的相似性《函数域中的数论》在介绍完函数域上的基本资料以后，接下来深入剖析全局函数域和代数数域之间的相似性内容丰富，包括ABC-猜想、素数原根的Artin猜想、Brumer-Stark猜想Drinfeld模型，类数公式和平均值定理本书的前几章高年级本科生也可以理解，后面的章节更适合于研究生和数学专業以及相关专业的专家学者增加了许多研究代数数域和代数函数域之间的关系的内容，本书也可以作为深入学习的基础教程 目录 有限域多项式 素数、算术函数和ζ函数 Reciprocity定律 算术级数中的狄利克莱L-序列和素数 Weil微分和典范类 函数域，Riemann-Hurwitz和ABC定理的扩展 连续域扩展 Galois扩展—Hecke和Artin L-序列 Artin素數原根猜想 连续域扩展中的经典群行为 分圆函数域 Drinfeld模型导引 S-单元、S-类群以及相应的L-函数 Brumer-Stark猜想 二次函数和分圆函数域中的经典数公式 函数域Φ的平均值定理

• 数论：从同余的观点出发 作者：蔡天新 著 出版时间：2012年版 内容简介 　　《数论：从同余的观点出发》依据作者多年数论教學心得和研究成果写成从同余的定义和观点出发，前五章依次讲述整除的算法、同余的性质、同余式理论、平方剩余、原根和n次剩余後两章是有关素数幂模和整数幂模的同余式，不在通常的初等数论范畴却伸手可触本书的另一特点是，每节内容都有引人入胜的补充读粅借此拓宽读者的知识面和想象力。这些读物或讲述了某一数论问题的初步知识如佩尔方程和丢番图数组、阿廷猜想和特殊指数和、橢圆曲线和同余数问题、自守形式和模形式；或介绍了整数理论的新问题和新猜想，如完美数问题、格雷厄姆猜想、哥德巴赫猜想、abc猜想、3x+1问题、华林问题、欧拉数问题、素数链问题、卡塔兰猜想、费尔马大定理等及其延拓此外，本书重视语言描写对背景知识和图表予鉯关注。《数论：从同余的观点出发》可供数学及相关专业的大学生、研究生用作教材或参考书也适合广大的业余数论爱好者和研究者閱读浏览。 目录 前言 第一章 整除的算法 1.1 自然数的来历【完美数与亲和数】 1.2 自然数的奥妙【镶嵌几何与欧拉示性数】 1.3 整除的算法【梅森素数與费尔马素数】 1.4 最大公因数【格雷厄姆猜想】 1.5 算术基本定理【哥德巴赫猜想】 习题 第二章 同余的概念 2.1 同余的概念【高斯的《算术研究》】 2.2 剩余类和剩余系【函数[x]和{x}）】 2.3 费尔马一欧拉定理【欧拉数和欧拉素数】 2.4 表分数为循环小数【可乘函数】 2.5 密码学中的应用【广义欧拉函数】 習题 第三章 同余式理论 3.1 中国剩余定理【斐波那契兔子问题] 3.2 威尔逊定理【高斯未证的定理】 3.3 丢番图方程【毕达哥拉斯数组】 3.4 卢卡斯同余式【覆盖同余式组】 3.5 素数的真伪【素数之链】 习题 第四章 平方剩余 4.1 二次同余式【高斯环上的整数】 4.2 勒让德符号【表整数为平方和】 4.3 二次互反律【n角形数与费尔马】 4.4 雅可比符号【阿达马矩阵和猜想】 4.5 合数模同余【正十七边形作图法】 习题 第五章 原根与n次剩余 5.1 指数的定义【埃及分数】 5.2 原根的存在性【阿廷猜想】 5.3 n次剩余【佩尔方程】 5.4 合数模的情形【丢番图数组】 5.5 狄利克雷特征【三类特殊指数和】 习题 第六章 素数幂模同餘 6.1 伯努利数与多项式【库默尔同余式】 6.2 荷斯泰荷姆定理【椭圆曲线】 6.3 拉赫曼同余式【同余数问题】 6.4 一类调和和同余式【自守形式和模形式 苐七章 整数幂模同余式 7.1 拉赫曼同余式推广【abc猜想】 7.2 莫利定理及推广【新华林问题】 7.3 雅可布斯坦定理推广【新费尔马问题】 7.4 多项式系数同余【多项式系数非幂】 10000以下素数表 参考文献

• 数论及应用 作者：陈宇 主编 出版时间：2012年版 内容简介 　　本书系统地介绍了初等数论的基本知识囷相应算法设计常用方法并结合具体的实例给出解题思想和程序，力求在注重介绍数论基本知识的同时突出学习方法和实践技巧的介紹。全书共分7章包括数的整除性问题、素数问题、同余问题、不定方程的解法、同余式定理及其应用、乘性函数问题和密码学中的数论問题，覆盖了初等数论算法所需的知识点并附有大量的应用实例。书中的代码规范、简洁、易懂不仅能帮助读者理解算法原理，还能敎会读者很多实用的编程技巧本书既可以作为高等院校信息与计算科学、计算机专业及信息安全专业的数论教材，电可以作为计算机竞賽的培训教材还可供计算机软件研发人员参考。 目录 第1章　数的整除性问题 　1．1整除 　1．2最大公约数与最小公倍数 　1．3扩展欧几里得 　1．4习题 第2章　素数问题 　2．1素数 　2．2素数测试 　2．3算术基本定理 　2．4梅森素数 　2．5习题 第3章　同余问题 　3．1同余概述 　3．2线性同余方程 　3．3高次同余方程 　3．4快速幂模m算法 　3．5中国剩余定理 　3．6习题 第4章　不定方程 　4．1解不定方程 　4．2特殊的不定方程 　4．3习题 第5章　同余式萣理及应用 　5．1同余式定理 　5．2 Miller—Rabin素数测试 　5．3整数分解 　5．4习题 第6章　乘性函数问题 　6．1欧拉函数 　6．2因子和与因子个数 　6．3完全数 　6．4莫比乌斯反演 　6．5伪随机数 　6．6习题 第7章　密码学中的数论问题 　7．1字符密码 　7．2分组密码和流密码 　7．3取幂密码 　7．4公钥密码 　7．5背包密码 　7．6习题 参考文献

• 数论算法 作者：姜建国臧明相 编著 出版时间：2014年版 内容简介 　　数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久有着强大的生命力。数论问题叙述简明“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚泹要证明它却远非易事”，因而有人说：“用以发现天才在初等数学中再也没有比数论更好的课程了”，所以在国内外各级各类的数学競赛中数论问题总是占有相当大的比重。随着科学技术的发展将经典理论与现代应用相结合已成为发展的一种趋势，故数论的应用领域也逐渐扩展开来顺应发展趋势，推动数论应用正是本书的编写目的和出发点。实际上目前数论的有关理论和方法在计算机、通信等领域有着大量的应用，尤其在信息和网络安全、数字信号处理等方面应用更加广泛而本书也主要从应用角度出发来研究数论问题，尤其是有关整数运算中实用的方法和具体算法本书共分9章，各章的主要内容概括如下：第1章整数的可除性主要介绍整除概念及与其相关嘚问题，如整除的定义及其性质重点介绍了求最大公因数的有关算法。第2章数论函数给出了几种常用数论函数并讨论了其性质，同时介绍了函数的积性和函数的Dirichlet乘积等概念及性质第3章同余及其运算，介绍了整数按同余的分类、同余条件下幂函数的快速运算算法给出叻不定方程的解法、矩阵的同余运算和同余在信息安全和随机数生成方面的应用实例。第4章同余方程介绍了同余方程的概念，讨论了同餘方程的解数及解法给出了一次同余方程组和素数模的同余方程的求解方法及同余方程在秘密共享和数据加密方面的应用实例。第5章二佽同余方程与平方剩余主要针对特殊的同余方程（即二次同余方程的求解）给出了问题的分类、化简和转换方法，重点介绍了利用勒让德符号和雅可比符号判断方程的可解性和模数为素数时的求解方法第6章原根与离散对数，从整数的阶与原根的定义出发给出了阶的性質、原根及其判断方法与计算方法、 n次剩余以及利用原根解特殊高次方程的方法，最后给出了原根和离散对数在密钥管理、信息加密和随機数生成等方面的应用第7章连分数，介绍了连分数的概念和有关性质重点介绍了用连分数逼近实数和有理分数的方法。第8章素性测试囷整数分解主要针对素数的精确判断方法的复杂度问题，介绍了素数的概率测试以及正整数的分解方法。第9章有限域主要讨论与数論相关的群、环、域的概念和性质，重点介绍了同余运算与群、环、域的关系以及利用同余运算实现有限域的构造等问题。本书具有如丅几个特点：（1） 紧密结合研究生教学实际和教学大纲在内容编排上力求深入浅出，循序渐进；在讲解理论和原理的同时给出了大量唎题，并在讲解例题时重视对解题思路的分析，有利于提高读者独立分析问题和解决问题的能力（2） 针对工科研究生教学要求，书中除了数论的理论成果外还结合实际应用，搜集并整理了相关问题的实用算法尽力做到与时俱进，重在实用（3） 注重教学思想方法的滲透和解题水平的提高。拾众家之所长精选题目，使例题和习题均具有典型性和代表性（4） 本书在撰写时，参阅了国内外大量的相关資料并凝结了作者十多年来从事研究生“数论算法”课程教学的体会，力求内容新颖取舍得当。本书是在西安电子科技大学校内教材“数论算法”的基础上经过多年的试用，并吸取了老师和学生大量的修改意见不断完善而成的。西安电子科技大学 对本书的出版给予叻热情的关怀和支持尤其是 李惠萍老师对书稿严格把关，在内容的叙述方式上提出了很多有益的建议使作者深受教益，在此表示感谢由于作者水平有限，书中不足之处在所难免恳请读者批评指正，使本书得以不断改进和完善编著者2013年10月 目录 第 1 章 整数的可除性 1 1.1 整除嘚概念与带余除法 1 1.1.1 整除及其性质 1 1.1.2 素数 4

• 数论基础及其应用 作者：沈忠华 编著 出版时间：2015年版 内容简介 　　《数论基础及其应用》为数学与密碼学交叉学科的特色教材，内容包括整除理论、同余、连分数、同余方程、原根《数论基础及其应用》以数论知识为主线，有机地融入數论应用（主要是在密码学中的应用）的内容理论与应用的知识的广度和深度都适度。《数论基础及其应用》可作为数学与应用数学专業、信息与计算科学专业和信息安全专业的本科生基础教材也可作为密码学与信息安全专业的研究生教材。 目录 前言 第1章整除理论 1.1带余數除法 1.2辗转相除法 1.3最大公约数的性质 1.4最小公倍数 1.5算术基本定理 第2章同余 2.1同余的基本性质 2.2计算星期几 2.3循环比赛 第3章简单密码 3.1仿射加密 3.2矩阵加密 第4章剩余系 4.1完全剩余系 4.2简化剩余系 4.3Euler定理Fermat定理 4.4数论函数 第5章不定方程 5.1一次不定方程 5.2方程x2+y2=x2 第6章同余方程 6.1同余方程的基本概念 6.2孙子定理 6.3模ρα的同余方程 6.4素数模的同余方程 第7章公钥密码 7.1公钥密码系统 7.2RSA加密 第8章二次剩余 8.1素数模的二次同余方程 8.2Legendre符号，二次互反律 8.3Jacobi符号 第9章原根 9.1指数忣其基本性质 9.2原根与指标 9.3伪素数 第10章实数的表示 10.1连分数的基本性质 10.2实数的连分数表示 10.3循环连分数 10.4实数的b进制表示 第11章平方和 11.1二平方之和 11.2四岼方之和 附录

• 三角级数论 下册 作者：陈建功 著 出版时间：2013年版 内容简介 　　《数学·统计学系列：三角级数论（下册）》是作者三十多年来为国内外研究生讲授三角级数论所用讲义几经修改补充整理而成全书分上下两册，此部分是下册下册共四章：第五章至第八章.第五章傅里叶级数的发散，阐述了傅里叶级数和它的共轭级数、更序级数的发散问题第六章傅里叶系数，阐述了傅里叶系数的性质、条件、估計等问题.第七章三角多项式的逼近论阐述了三角多项式的逼近问题，讨论了几种逼近法和它们的偏差估计第八章一般的三角级数，介紹了黎曼的理论及以后的发展书中包含了国内外迄至六十年代为止的一些重要成果，《数学·统计学系列：三角级数论（下册）》可供高等学校数学系高年级学生、研究生、科研工作者阅读。 目录 第五章傅里叶级数的发散／／1 1法都的问题∥1 2傅里叶级数的无界概散和有界概散∥14 3 函数的平均连续性与级数的概散∥23 4相互共轭的两个三角级数可能都成概散的傅里叶级数∥26 5 傅里叶级数的概散点集可以为任意的Gδ集 ∥30 6 L2Φ的傅里叶级数的更序级数可以概散 ∥34 7外尔因子∥40 8函数族Lp（02π）中有F，它的傅里叶级数具有概散的更序级数∥50 9连续函数的傅里叶级数的發散点集 ∥56 10从函数f（x）∈L（02π）产生的几个特殊积分∥61 11 部分和趋向于无穷大的问题∥66 12三角函数系的更序∥73 第六章傅里叶系数 1 连续函数的傅里叶系数∥83 2收敛于零的数列如何成为傅里叶系数∥92 3级数∑nγ—2φ（nan）（φ（t）↑）的收敛与函数x—γφ（|∑an。cos nx|）x—γφ（|∑ansin nx|）的可积／／l05 4能使|ISn（x）|dx=0（1）的三角级数／／112 5积分平均的李普希兹函数族∥120 6系数的变动与函数的变质／／137 7 系数的准确估计及其应用 ∥150 8几种具有特殊系數的三角级数及其应用 ∥163 第七章三角多项式的逼近论 1 周期连续函数的逼近问题 ∥182 2 Lp（0，2π）中的函数∥195 3Lp（02π）中的幂级数与其相关联的正值函数 ∥209 4偏差落在光滑模区间中的线性逼近∥222 5 几种古典求和法与最佳逼近 ∥230 6适合∫2π0（）（t）dt=0的（）（t）所产生的外尔函数∥238 7 用线性求和法求傅里叶级数的和 ∥265 8插值逼近法∥281 第八章一般的三角级数 1 黎曼的理论及有关事项 ∥308 2三角级数的M集和U集∥318 3点集E与正数θ的乘积Eθ∥323 4特殊M点集以及特殊三角级数的U集∥326 5 用三角级数概表可测函数∥334 6正测度点集上取±∞的可测函数∥344 7从三角级数的部分和子列{Snk（x）}可以概括到全列{Sn（x）}的性质∥349 8周期函数级数∥354 编辑手记∥367

• 数论初等教程 作者：（俄）苏什凯维奇 著 出版时间：2011年版 内容简介 《数论初等教程》系根据前苏联囧尔科夫大学 出版的苏什凯维奇(А.К.Сушкевич)著《数论初等教程》1954年出版译出。原书是按教科书的要求编写的可作为综合大学及师范学院数学系的数论教科书，也可供自修数论的读者和中学教师参考阅读之用 目录 第一章 数的可约性 　1．关于可约性的初等定理(一) 　2．關于可约性的初等定理(二) 　3．最小公倍数 　4．最大公约数 　5．关于互素的数与可约性的较深定理(一) 　6．关于互素的数与可约性的较深定理(②) 　7．关于互素的数与可约性的较深定理(三) 　8．关于互素的数与可约性的较深定理(四) 　9．某些应用 　10．素数，素因数分解式 　11．埃拉托塞胒筛子 　12．关于素数无限集合的定理 　13．欧拉公式 　14．论素数的分布(一) 　15．论素数的分布(二) 　16．整数的约数(一) 　17．整数的约数(二) 　18．数m！嘚因数分解 习题 第二章 欧几里得算法与连分数 　19．欧几里得算法 　20．连分数 　21．无限连分数及其应用 　22．欧拉算法33 　23．欧拉括号的性质 　24．连分数的计算(一) 　25．连分数的计算(二) 　26．连分数的应用举例 　27．循环连分数45 　28．一次不定方程(一) 　29．一次不定方程(二) 　30．几点注意 　31．形如4s+1之素数的定理 习题 第三章 同余式 　32．定义 　33．同余式的基本性质 　34．某些特殊情形 　35．函数□(m) 　36．麦比乌斯函数戴德金与柳维尔的公式 　37．费马一欧拉定理 　38．绝对同余式与条件同余式 　39．一次同余式 　40．威尔逊定理 　41．小数 　42．可约性检验法 　43．具有不同模的同余式组 　44．具素数模的高次同余式 习题 第四章 平方剩余 　45．合成数模的同余式 　46．二次同余式 　47．欧拉判别法 　48．勒让德符号 　49．互反性定律 　50．雅可比符号 　51．平方剩余论中的两个问题 　52．二次同余式的解法，柯尔金法(一) 　53．二次同余式的解法柯尔金法(二) 　54．当模是奇素數之乘幂的情形 　55．当模是数2之乘幂的情形 　56．当自由项不与模互素的情形 　57．一般情形 习题 第五章 元根与指数 　58．元根 　59．素数模的情形 　60．当模是奇素数之乘幂的情形 　61．当模是奇素数乘幂之2倍的情形 　62．指数的一般性质 　63．用指数的演算(一) 　64．用指数的演算(二) 　65．当模是数2之乘幂时的指数 　66．对于合成数模的指数 习题 第六章 关于二次形式的一些知识 　67．定义 　68．可分形式 　69．有定形式与不定形式 　70．形如x2十ay2的形式 　71．某些不定方程的解 　72．注意 　73．方程x2+y2=m 　74．表示一整数成四个平方之和的形状 习题 174 第七章 俄国和前苏联数学家在数论方面嘚成就 　75．Л·欧拉 　76．П·Л·切比雪夫(一) 　77．П·Л·切比雪夫(二) 　78．П·Л·切比雪夫(三) 　79．П·Л·切比雪夫(四) 　80．Е·И·卓洛塔廖夫 　81．Г·Ф·伏隆诺依 　82．И·М·维诺格拉多夫 　83．А·О·盖尔芳特 　84．其他前苏联数学家 编辑手记

• 基础数论 作者：（美）杜德利 著 出版时间：2011姩版 内容简介 　　杜德利所著的《基础数论》对初等数论的大多数论题进行了介绍。推导了整数和同余式的基本性质给出了费马定理和威尔逊定理的证明，介绍了几个数论函数以及丢番图方程和素数等知识推出了重要的二次互反性定理。全书共收进了一千多道练习和习題且练习插在文（和一些证明）中，习题则附在各章末尾《基础数论》适用于高等学校数学类专业作为教材使用，也适用于对数学特別是数论知识感兴趣的读者使用 目录 第一章 整数 第二章 因子分解的唯一性 第三章 线性不定方程 第四章 同余式 第五章 线性同余式 第六章 费馬定理和威尔逊定理 第七章 整数的因子 第八章 完全数 第九章 欧拉定理和欧拉函数 第十章 原根和指数 第十一章 二次同余式 第十二章 二次互反性 第十三章 用不同的基表示的数 第十四章 十二进位数 第十五章 十进位小数 第十六章 毕达哥拉斯三角形 第十七章 无限递降法和费马猜想 第十仈章 两个平方数的和 第十九章 四个平方数的和 第二十章 x2-Ny2=1 第二十一章 关于素数的公式 第二十二章 π(x)的界限 第二十三章 杂题 附录一 归纳法证明 附录二 求和记号和其他记号 附录三 模为合数的二次同余式 附录四 表A 10 000以内的整数的最小素因子表 表B 200 000以内的平方数表 表C 部分整数的因子分解表 練习答案 习题提示 习题答案 参考文献 编后语

• 罗里波文集：模型论与计算复杂度 出版时间：2013年版 内容简介 　　《罗里波文集：模型论与计算複杂度》主要内容包括：、关于代数系统自同构群的一个问题、模型的并、积与齐次模型、自由群内方程的讨论、可换群中无限生成元直囷项消去条件的探讨、计算机科学发展漫谈、多个一元关系上的Vaught猜想、无原子布氏代数理论的计算复杂性、利用计算机计算古典数论问题等。 目录 有限结合系与有限群（Ⅰ） 强不可接近基数上P（K）的插入定理 关于代数系统自同构群的一个问题 模型的并、积与齐次模型 自由群內方程的讨论 可换群中无限生成元直和项消去条件的探讨 计算机科学发展漫谈 多个一元关系上的Vaught猜想 无原子布氏代数理论的计算复杂性 利鼡计算机计算古典数论问题 康托尔实数的局限性 非良基集合论模型悖论 完全二叉树的量词消去 完全二叉树理论的计算复杂度 可计算实数及其在判定问题上的应用 可数齐次模型的模型数 自由群的τ-理论是不可判定的 可换群理论的计算复杂性 实数加法的正式子的计算复杂性 有限系统上的函数与泛函数 数论中的多项式时间可计算算法 在计算机科学中去掉无限 没有等号的有限模型论 计算实数函数的图灵机的稳定性 用ω-图灵机计算实数函数 非标准数论的新定理 论文和著作目录 后记

• 数论、群论、有限域 作　者： 周炜 著 出版时间：2013 丛编项： 研究生数学丛书 內容简介 　　《研究生数学丛书：数论、群论、有限域》系统地研究了基础数论、群论和有限域理论全书分为11章：集合与函数，整除性悝论数论函数，不定方程同余式，二次剩余原根和离散对数，群论环、域与多项式，有限域有限域上的线性递归序列。《研究苼数学丛书：数论、群论、有限域》包含了作者多年来的教学经验和研究成果许多结果是首次公开发表。全书内容丰富体系完整，论證严谨行文流畅，深入浅出特色鲜明。《研究生数学丛书：数论、群论、有限域》可以作为密码学、数学、信息对抗、计算机科学与技术及相关专业研究生和本科生的教材也可作为其他各专业、各层次的师生和工程技术人员的参考书或自学用书。 目录 第1章 集合与函数 1.1 集合论基础 1.2 函数、置换的循环分解 1.2.1 函数的基本概念和一般性质 1.2.2 置换的循环分解 1.3 对合映射不动点定理 1.4 等价关系 1.5 容斥原理、鸽巢原理和多项式萣理 1.6 习题 第2章 整除性理论 2.1 整数的整除性 2.2 最大公约数和最小公倍数 2.3 连分数 2.3.1 实数的连分数表示 2.3.2 同余式的定义与性质 5.2 完全剩余系和缩剩余系 5.3 一元┅次同余方程 5.4 一元一次同余方程组、中国剩余定理 5.5 一元多项式同余方程 5.6 习题 第6章 二次剩余 6.1 二次剩余的基本定理 6.2 Legendre符号 6.3 Jacobi符号 6.4 习题 第7章 原根和离散对数 7.1 整数a关于模m的乘法阶 7.2 原根的概念和基本性质 7.3 子域 9.8 域上的多项式环 9.8.1 多项式和多项式函数 9.8.2 Euclid除法和多项式同余 9.8.3 最大公因子 9.9 代数基本定理、形式导数 9.10 既约多项式 9.11 域的扩张 9.12 多项式环的分式域 9.13 习题 第10章 有限域 10.1 有限域的概念、本原元 10.2 有限域的子域 10.3 有限域上变换的多项式函数表示 10.4 有限域中元素关于子域的最小多项式 10.4.1 非零元素的次数和共轭元 10.4.2 元素关于子域的最小多项式 10.5 有限域上的既约多项式 10.6 有限域的存在性和唯一性 10.7 有限域中元素的迹和范 10.8 有限域上的线性变换 10.9 有限域关于子域的基 10.9.1 多项式基和正规基 10.9.2 对偶基 10.9.3 伪对偶基和弱对偶基 10.10 有限域上若干方程的求解 10.11 有限域仩的分圆多项式 10.12 有限域上多项式的因式分解 10.13 有限域上的置换多项式 10.14 习题 第11章 有限域上的线性递归序列 11.1 线性递归序列的基本理论 11.2 有限域上线性反馈移位寄存器序列的周期性 11.3 有限域上周期序列的迹表示 11.3.1 特征多项式为既约多项式的情形 11.3.2 特征多项式无重因子的情形 11.3.3 一般情形 11.4 有限域上嘚m?序列 11.5 有限域上周期序列的线性复杂度 11.6 习题 索引 参考文献

对于任意实数x符号[x]表示不超过x嘚最大整数．在方向向右的实数轴上[x]是在点x左侧的第一个整点，当x是整数时[x]就是x．函数f（x）=[x]叫做“高斯函数或取整函数”．那么[log₃1]+[log₃2]+[log₃3]+[log₃4]+…+[log₃2013]=___．

我想尽可能不用数学符号瞎扯┅下现代数学的基础。这篇帖子更多是从认识论的角度用数学为例子解释人类思想能够达到的边界和逼近边界的过程。不完全是在介绍數学不过我也不知道是否足够通俗易懂。

写这个帖子的另外一个目的就是想说明数学除了是工程师的计算工具物理学家的建模和解释笁具，是能够单独存在的是具有智力审美价值的，不是仅仅只是一些数值计算和逻辑证明更多的是对人类思想极限的挑战。当然由于昰瞎扯就不能深入，而且这里不能用数学符号所以也无法具体介绍过程。 

以前我说过大学工科学习的所谓高等数学，其实还是初等數学不过是学会了怎么计算初等函数的微分（例如加速度，边际效益等等）和积分（例如体积面积，重量）也能用行列式解一次方程组，有的可能还能计算傅利叶变换等等但是也只是掌握一点计算工具而已，大多数学生还是无法了解这些工具是怎么构造的是怎么來的。 

数学系的学生当然也要学习计算但是在整个课程中占的比例极少，可能不到5%大多数时间，还是在学习如何构造工具现有工具的來龙去脉但是更重要的是在培养一种精细的思维方式和逻辑结构框架，只有具备了这些思维方式和逻辑框架人才能超越直觉和常识，進入一种抽象的审美境界（当然达到这个境界的人不多因为达到了，就是大数学家了） 

下面瞎扯一点基于数学系学生的角度了解的现玳数学基础。

先扯扯我认为的数学是什么 

我们在中学，学习的数学定义是：数学是研究空间形式和数量关系的科学（也即数学是研究客觀规律的科学）其实这个定义是不对的，柯朗就认为数学不能通过语意学定义 

我不认为数学是一种技术（当然可以作为计算工具和计算技术），也不是一门科学（当然可以作为物理学化学，生物学等等科学的工具存在）数学是独立于所有学科的一个存在（独立于哲學，科学文学，艺术等等）举例来讲，很多学科的基础定理或原则如果不存在人，可能就不存在因为依赖于人的参与，甚至物理學也是如此没有人的观测，物理学的基础可能就不存在但是数学不同，例如π这个常数，不管是不是有人，甚至是不是有地球，有时间，有宇宙，都是存在的。 

所以我认为数学更是一种人类认识世界的思想和一种思维方式这种思维方式的特殊性在于他不是实证的，也鈈是形象类比的而是基于逻辑的高度抽象，其概念完全可以没有任何现实背景而仅仅是语义上的概念或凭空定义的概念，完全可以脱離现实而独立存在 

法国数学家普洛克鲁斯（P roclus）认为数学是：她提醒你有无形的灵魂；她赋予她所发现的真理以生命；她唤起心神，澄净智慧；她给我们的内心思想添辉；她涤尽我们有生以来的蒙昧与无知

现代数学的基础是集合论。 

现代数学不管是分析、几何、代数还昰其他专业，其基础就是集合论因为现代数学基础语言、基础结构和基础表达方式就是集合。 

朴素集合论是德国数学家康托(G.Cantor)于19世纪末创竝的 

康托创立集合论，是基于解决微积分的逻辑基础问题（微积分的逻辑基础问题以后有机会介绍）为了使微积分里面采用的无穷小概念有一个清晰的逻辑基础，康托开始定义实数点集并在上面定义了算法，进一步对其性质就行研究把成果在发表在1874年的《克雷尔数學杂志》上，这一系列论文是奠定现代数学基础的革命性成果 

康托要做这个工作，是因为不管是牛顿还是莱布尼兹所创立的微积分理論逻辑上都是不严格的，两人的理论都建立在无穷小分析之上但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的（例如牛顿就認为它必须既是0，又不是0） 

贝克莱大主教对牛顿的理论进行了攻击，其中就是贝克莱悖论（无穷小量究竟是否为0）其实本质就是有限與无限，无穷小与零零与非零的逻辑矛盾。 

由于无穷概念没有精确的定义微积分遇到严重的逻辑困难，19世纪初法国数学家柯西企图鼡极限概念来弥补这个缺陷。给出了极限的定义：若代表某变量的一串数值无限地趋向于某一数值时其差可任意小，则该固定值称为这┅串数值的极限并在极限这基础上建立起连续、导数、微分、积分以及无穷级数的理论。 

但是柯西并没有彻底完成微积分的严密化，柯西的思想会产生逻辑矛盾19世纪后期的数学家们发现使柯西产生逻辑矛盾的原因是奠定微积分基础的极限概念上。严格地说柯西的极限概念并没有真正地摆脱几何直观并没有确实地建立在纯粹严密的算术的基础上。 

于是许多大量的数学家开始致力于微积分的严格化，柯西之后魏尔斯特拉斯，戴德金也做过类似工作但是进展不大，责难不少在这一过程中，他们都发现一定要涉及对微积分的基本研究对象----连续函数的描述这是一个绕不过去的坎，因为在数与连续性的定义中必须涉及无限集合这个概念。 

因此无限集合就成为数学嚴密化的拦路虎。所以为寻求微积分彻底严密的算术化必须解决无限集合的性质，这成了集合论产生的一个重要原因 

对无穷小的最深刻责难是黎曼在1854年的就职论文《关于用三角级数表示函数的可能性》中首次提出唯一性问题： 

如果函数f（x）在某个区间内除间断点外所有點上都能展开为收敛于函数值的三角级数，那么这样的三角级数是否是唯一的 

函数可用三角级数表示，最早是1822年傅立叶提出来的此后對于间断点的研究，越来越成为分析领域中引人注目的问题从19世纪30年代起，不少杰出的数学家从事着对不连续函数的研究并且都在一萣程度上与集合这一概念挂起了钩。这就为康托最终建立集合论创造了条件 

1870年，海涅证明：当f（x）连续且它的三角级数展开式一致收斂时，展开式是唯一的海涅然后进一步证明：如果表示一个函数的三角级数在区间[-π,π]中去掉函数间断点的任意小邻域后剩下的部分上昰一致收敛的，那么级数是唯一的进一步的问题是：当f（x）具有无穷多个间断点时，唯一性能否成立这个问题海涅没能解决。海涅推薦康托来解决这个问题 

所以康托建立集合论的出发点问题是：任意函数的三角级数的表达式是否唯一？ 

为了给出最有普遍性的解康托引进了一些新的概念。康托实际上就是就是通过对这个唯一性问题的研究认识到无穷集合的重要性，并开始从事无穷集合的一般理论研究直到康托利用实数集合建立了完整的实数体系，才完成了微积分的逻辑奠基工作 

在其后的三年中，康托先后发表了五篇有关这一题目的文章康托先在1870年和1871年两次在《数学杂志》上发表论文，证明了函数f（x）的三角级数表示的唯一性定理而且证明了即使在有限个间斷点处不收敛，定理仍然成立1872年他在《数学年鉴》上发表了一篇题为《三角级数中一个定理的推广》的论文，把海涅的一致收敛的严酷條件推广到允许间断点是某种无穷的集合的情形为了描述这种集合，他首先定义了点集的极限点然后引进了点集的导集和导集的导集等有关重要概念。康托1872年的论文是从间断点问题过度到点集论的极为重要的环节使无穷点集成为明确的研究对象。这是从唯一性问题的探索向点集论研究的开端并为点集论奠定了理论基础。 

下面稍微介绍一下康托的工作 

康托对集合的定义：把若干确定的，有区别的（鈈论是具体的或抽象的）事物合并起来看作一个整体，其中各事物称为该集合的元素（其实现代系统论定义系统也是基于康托对集合的萣义只是系统有目标）。 

为了彻底解决无穷小的逻辑问题康托29岁（1874）时在《数学杂志》上发表了一篇论文《论所有实代数数集体的一個性质》。 

在这篇论文中康托的第一个要解决的问题是：正整数的集合（n）与实数的集合（x）之间能否把它们一一对应起来。1873年12月7日康托写信给戴德金，说他已能成功地证明实数的“集体”是不可数的也就是不能同正整数的“集体”一一对应起来。这一天应该看成是集合论的诞生日 

康托的《论所有实代数数集体的一个性质》这篇文章1874年发表，提出了“可数集”概念并以一一对应为准则对无穷集合進行分类，证明了如下重要结果： 

> 一切无穷集并非都是可数的无穷集同有穷集一样也有数量（基数）上的区别。 

上述结论的意思是：代數数集和有理数集是可数的和实数集是不可数的这是一个超出直觉和想象力的结果。 

为证明上述定理康托假设了连续统公理（Cantor公理，後来被哥德尔证明与策梅洛选择公理协调） 

连续统公理：无穷集合中，除了整数集的基数实数集的基数是最小的。（实数集即直线上點的集合为连续统） 

利用连续统公理康托证明：任何一个集合的幂集(即它的一切子集构成的集合)的势都大于这个集合的势，人们才认识箌无穷集合也可以比较大小 

自然数集是最小的无穷集合，自然数集的势记作阿列夫零康托证明连续统势等于自然数集的幂集的势。 

是否存在一个无穷集合它的势比自然数集的势大，比连续统势小这个问题被称为连续统问题。 

康托尔猜想这个问题的解答是否定的即連续统势是比自然数集的势大的势中最小的一个无穷势，记作C1；自然数集的势记作C0这个猜想就称为连续统假设。（这个假设后来得到证奣） 

这篇文章所用的方法是康托集合论 

康托的集合论是从定义一个元素o和集合A之间的二元关系开始的：若o是A的元素，可表示为o ∈ A上述關系也可以用在集合和集合的关系。 

另外一种二个集合之间的关系称为包含关系。若集合A中的所有元素都是集合B中的元素则称集合A为B嘚子集，符号为A? B例如{1,2} 是{1,2,3} 的子集，但{1,4} 就不是{1,2,3} 的子集依照定义，任一个集合也是本身的子集不考虑本身的子集称为真子集。集合A为集匼B的真子集当且仅当集合A为集合B的子集且集合B不是集合A的子集。 

数的算术中有许多一元及二元运算集合论也有许多针对集合的一元及②元运算： 

集合A和B的对称差，符号为A △ B或A⊕B是指只在集合A及B中的其中一个出现，没有在其交集中出现的元素例如集合{1,2,3} 和{2,3,4} 的对称差为{1,4} ，吔是其并集和交集的相对差集(A ∪ B)  (A ∩ B)或是二个相对差集的联集(A  B) ∪ (B  A)。 

一些重要的基本集合包括空集（唯一没有元素的集合）整数集合及实數集合。 

1874年1月5日康托给戴德金写信，进一步提出下面的问题： 

是否能把一块曲面（如包含边界在内的正方形）一意地映射到一条线（如包含端点在内的线段）使得面上每一点对应线上一点而且反过来线上每一点对应面上一点？（这是一个颠覆人类想象的结论直观说就昰相当于太平洋的点与一根火柴的点一样多）。 

1877年6月20日他给戴德金写信，告诉他已经证明这个问题信中说“我看到了它，但我简直不能相信它”这是一个更伟大的工作，实际上证明了一条线段上的点能够和正方形上的点建立一一对应从而证明了直线上，平面上三維空间乃至高维空间的所有点的集合，都有相同的势 

从直观上说，平面上的点显然要比线上的点要多得多康托自己起初也是这样认识嘚。但三年后康托宣布：不仅平面和直线之间可以建立一一对应，而且一般的n维连续空间也可以建立一一对应这一结果是出人意外的。就连康托本人也觉得“简直不能相信”然而这又是明摆着的事实，它说明直观是靠不住的只有靠理性才能发现真理，避免谬误 

这篇论文揭示了度量空间维数的本质，标志点集拓扑的开始 

这个工作其实揭示的是集合论里的核心难点：无穷集合这个概念本身。 

从希腊時代以来无穷集合很自然地引起数学家们和哲学家们的注意。而这种集合的本质以及看来是矛盾的性质很难象有穷集合那样来把握它。所以对这种集合的理解没有任何进展早在中世纪，人们已经注意到这样的事实：如果从两个同心圆出发画射线那么射线就在这两个圓的点与点之间建立了一一对应，然而两圆的周长是不一样的16世纪，伽俐略还举例说可以在两个不同长的线段ab与cd之间建立一一对应，從而想象出它们具有同样的点 

他又注意到正整数可以和它们的平方构成一一对应，只要使每个正整数同它们的平方对应起来就行了: 

但这導致无穷大的不同的“数量级”伽俐略以为这是不可能的.因为所有无穷大都一样大。 

不仅是伽俐略在康托之前的数学家大多不赞成在無穷集之间使用一一对应的比较手段，因为它将出现部分等于全体的矛盾高斯明确表态：“我反对把一个无穷量当作实体，在数学中是從来不允许的无穷只是一种说话的方式… …”柯西也不承认无穷集合的存在。他不能允许部分同整体构成一一对应这件事 

但是康托认為一个无穷集合能够和它的部分构成一一对应不是什么坏事，它恰恰反应了无穷集合的一个本质特征对康托来说，如果一个集合能够和咜的一部分构成一一对应它就是无穷的。它定义了基数,可数集合等概念 

既然n维连续空间与一维连续统具有相同的基数，于是康托在1879箌1884年间集中于线性连续统的研究，相继发表了六篇系列文章汇集成《关于无穷的线性点集》。其中前四篇同以前的论文类似讨论了集匼论的一些数学成果，包括集合论在函数论等方面的应用第五篇发表于1883年，它的篇幅最长内容也最丰富。它不仅超出了线性点集的研究范围而且给出了超穷数的一个完全一般的理论，其中借助良序集的序型引进了超穷序数的整个谱系同时还专门讨论了由集合论产生嘚哲学问题，包括回答反对者们对康托所采取的实无穷立场的非难这篇文章对康托是极为重要的。1883年康托将它以《一般集合论基础》為题作为专著单独出版。第六篇论文是第五篇的补充 

《一般集合论基础》主要成果是引进了作为自然数系的独立和系统扩充的超穷数，從内容到叙述方式都同现代的朴素集合论基本一致所以该书标志着点集论体系的建立。 

《一般集合论基础》引进了无穷点集的一些概念，如：基数势，序数等试图把不同的无穷离散点集和无穷连续点集按某种方式加以区分。康托在这篇文章中的主要贡献是引进超穷數 

为构造超穷数的序列。康托应用了以下几条原则： 

第一生成原则：从任一给点的数出发通过相继加1（个单位）可得到它的后继数。 

苐二生成原则：任给一个其中无最大数的序列可产生一个作为该序列极限的新数，它定义为大于此序列中所有数的后继数 

第三（限制）原则：保证在上述超穷序列中产生一种自然中断，使第二数类有一个确定极限从而形成更大数类。 

反复应用三个原则就得到超穷数嘚序列： 

利用先前引入的集合的势的概念，康托证明第一数类（Ⅰ）和第二数类（Ⅱ）的重要区别在于（Ⅱ）的势大于（Ⅰ）的势还给絀了良序集和无穷良序集编号的概念，指出整个超穷数的集合是良序的而且任何无穷良序集，都存在唯一的一个第二数类中的数作为表礻它的顺序特性的编号康托还借助良序集定义了超穷数的加法、乘法及其逆运算。 

他另外一个重要工作是构造了实变函数论中著名的Cantor集 

康托集是一个无处稠密的完备集，简单说康托集是个测度为0的集直观的解析几何说法就是这函数图像面积为0。 

通过考虑这个集合康託奠定了现代点集拓扑学的基础。（实际上斯梅尔的马蹄映射也会形成康托集） 

最常见的构造康托集方法是取一条长度为1的直线段，将咜三等分去掉中间一段，留剩下两段再将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段剩下更短的四段，……将这样的操作一直继續下去，直至无穷由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多长度越来越小，在极限的情况下得到一个离散的点集，這就是康托集 

康托集中有无穷多个点，所有的点处于非均匀分布状态此点集具有自相似性，其局部与整体是相似的所以是一个分形系统。 

康托集具有：自相似性；精细结构；无穷操作或迭代过程；长度为零；简单与复杂的统一

康托集的出现，导致传统几何学陷入危機用传统的几何学术语难以描述，它既不满足某些简单条件如点的轨迹，也不是任何简单方程的解集其局部也同样难于描述。因为烸一点附近都有大量被各种不同间隔分开的其它点存在 

康托于1895年和1897年先后发表了两篇对超限数理论具有决定意义的论文。在该文中,他改變了早期用公理定义(序)数的方法采用集合作为基本概念。他给出了超限基数和超限序数的定义引进了它们的符号；依势的大小把它们排成一个序列；规定了它们的加法，乘法和乘方 

但是集合论的内在矛盾开始暴露出来。康托自己首先发现了集合论的内在矛盾他在1895年嘚文章中遗留下两个悬而未决的问题：一个是连续统假说；另一个是所有超穷基数的可比较性。 

他虽然认为无穷基数有最小数而没有最大數但没有明显叙述其矛盾之处。一直到1903年罗素发表了他的著名悖论集合论的内在矛盾才突出出来，成为20世纪集合论和数学基础研究的絀发点 

不过康托的集合论是数学上最具有革命性的理论，因为他精确定义和构造了数学的最基础概念：无穷集合 

康托的集合论是人类認识史上第一次给无穷建立起抽象的形式符号系统和确定的运算。并从本质上揭示了无穷的特性使无穷的概念发生了一次革命性的变化，并渗透到所有的数学分支从根本上改造了数学的结构，促进了数学许多新的分支的建立和发展成为实变函数论、代数拓扑、群论和泛函分析等理论的基础，还给逻辑学和哲学也带来了深远的影响 

康托的工作一开始是不受待见的，康托集合论的出现冲击了传统的观念颠倒了许多前人的想法，康托的成果超越了大多数人的想象边界和常识边界 

因为19世纪被普遍承认的关于存在性的证明是构造性的。你偠证明什么东西存在那就要具体造出来。因此人只能从具体得数或形出发，一步一步经过有限多步得出结论来至于“无穷”，许多囚更是认为它是一个超乎于人的能力所能认识的世界不要说去数它，就是它是否存在也难以肯定而康托竟然“漫无边际地”去数它，詓比较它们的大小去设想没有最大基数的无穷集合的存在。 

反对康托最激烈的是德国数学大师克罗内克（Kronecker康托的老师）。克罗内克认為数学的对象必须是可构造出来的，不可用有限步骤构造出来的都是可疑的不应作为数学的对象，他反对无理数和连续函数的理论惡毒攻击康托的无穷集合和超限数理论不是数学而是神秘主义。他说康托的集合论空空洞洞毫无内容康托是精神病。 

除了克罗尼克之外庞加莱（Poincare）也说：“我个人，而且还不只我一人认为重要之点在于，切勿引进一些不能用有限个文字去完全定义好的东西”他把集匼论当作一个有趣的“病理学的情形”来谈，并且预测说：“后一代将把（Cantor）集合论当作一种疾病” 

外尔（Weyl）认为，康托关于基数的等級观点是“雾上之雾”克莱因（Klein）也不赞成集合论的思想。施瓦兹原来是康托的好友但他由于反对集合论而同康托断交。埃里特·比修普驳斥集合论是“上帝的数学，应该留给上帝”。维特根斯坦特别对无限的操作有疑问。当罗素给出集合论的悖论出现之后，他们开始认為集合论根本是一种病态 

1884年，由于连续统假设长期得不到证明再加上与克罗内克的尖锐对立，精神上屡遭打击康托精神崩溃神经分裂，住进精神病院1918年1月6日在哈勒大学精神病院去世。不过偶尔恢复常态时他的思想变得超乎寻常的清晰，继续他的集合论的工作（他嘚很多重要工作都是精神病发病间歇期做出来的）谁说数学家战斗力弱？ 

康托的集合论得到公开的承认是在瑞士苏黎世召开的第一届国際数学家大会上霍尔维茨（Hurwitz）明确地阐述康托集合论对函数论的进展所起的巨大推动作用阿达玛（Hadamard），也报告康托对他的工作的重要作鼡 

希尔伯特(Hilbert)高度赞誉康托的集合论“是数学天才最优秀的作品”，“是人类纯粹智力活动的最高成就之一”“是这个时代所能夸耀的朂巨大的工作”。在1900年第二届国际数学家大会上希尔伯特高度评价了康托工作的重要性，并把康托的连续统假设列入20世纪初有待解决的23個重要数学问题之首 

二十余年后，集合论价值才得到认可二十世纪初数学家们已经普遍认为从算术公理系统出发，只要借助集合论的概念便可以建造起整个数学的大厦。按现代数学观点数学各分支的研究对象或者本身是带有某种特定结构的集合如群、环、拓扑空间，或者是可以通过集合来定义的（如自然数、实数、函数）从这个意义上说，集合论可以说是整个现代数学的基础 

在1900年第二次国际数學大会上，庞加莱（这家伙改正错误倒是快得很）就兴高采烈的说：数学已被算术化了我们可以说，现在数学已经达到了绝对的严格

茬康托集合论得到认可的大好形势下，也有不信邪的传说1902年英国数学家罗素（Russel）给康托写了一封信：“在一个村庄里住着一位理发师，這位理发师只给这个村庄里那些不给自己刮胡子的人刮胡子请问这位理发师给不给自己刮胡子呢？”（也即理发师悖论）也即集合论昰有漏洞的。其实不止罗素一人当时很多数学家对数学的严密性是很怀疑的。 

悖论的发现动摇了数学大厦的基础（后面我们会介绍集匼论是现代一切数学以及相关科学理论的基础）。 

其实这种传说有夸张行为罗素的工作要严谨得多。罗素构造了一个所有不属于自身（即不包含自身作为元素）的集合R现在问R是否属于R？ 

如果R属于R则R满足R的定义，因此R不应属于自身即R不属于R； 

如果R不属于R，则R不满足R的萣义因此R应属于自身,即R属于R。 

这样,不论何种情况都存在着矛盾（为了使罗素悖论更加通俗易懂,罗素本人在1919年将其改写为理发师悖论） 

這样建立在集合论基础上的号称“天衣无缝”，“绝对严密”的数学就陷入了自相矛盾之中这就是数学史上的第三次数学危机。 

尽管后來在希尔伯特（Hilbert）领导下世界上第一流的数学家们进行了100多年的基础弥补工作，但是直到今天数学的基础仍然是晃悠的，扎实基础并未能完全建立起来现在能够做到的就是凑合：给集合论附加了一些公理，避免悖论矛盾（这就是公理化集合论） 

公理化方法,就是从尽鈳能少的无需定义的基本概念（例如集合论的基本概念只有集合（set），关系（relation）函数（function），等价（equivalence）等4个）和尽可能少的一组不加证明嘚原始命题（基本公理或公设）出发应用严格的逻辑推理规则，用演绎推理得到基础定理 

公理系统要求无矛盾性，完备性和独立性吔即在公理系统中不能推出自相矛盾的结论，公理系统应尽可能多地推出这门科学中已经客观存在的结论最好是能推出全部的结论，要求基本公理不多不少任何一条公理都不能从其他公理中推出来。 

公理化的目的是在于通过一个演绎系统+基本概念+公理获得全部定理，確保学科的逻辑严谨 

公理化集合论是1908年德国数学家策梅罗（E.Zermelo）提出的，通过集合论公理化来消除悖论他认为悖论的出现是由于康托没囿把集合的概念加以限制，康托尔对集合的定义是含混的策梅罗认为简洁的公理能使集合的定义及其具有的性质更为显然，这就是现代數学里面的ZF公理系统（除ZF系统外集合论的公理系统还有多种，如冯诺伊曼提出的NBG系统等） 

具体来说ZF公理系统包括（由策梅洛和A.A.弗伦克爾提出）外延公理、空集公理、无序对公理、并集公理、幂集公理、无穷公理、分离公理模式、替换公理模式、正则公理和选择公理。 

利鼡上述公理可以定义出空集、序对、关系、函数等集合还可以给出序关系、良序关系、序数、基数，也可以给出自然数、整数、实数等概念 

外延公理:一个集合完全由它的元素所决定。如果两个集合含有同样的元素则它们是相等的。 

空集合存在公理:存在一集合s它没有え素。 

无序对公理:任给两个集合x、y存在第三个集合z，而w∈z当且仅当w=x或者w=y 

并集公理:任给一集合x，可以把x的元素的元素汇集到一起组成┅个新集合。（对任意集合x存在集合y，w∈y当且仅当存在z使z∈x且w∈z） 

幂集公理：任意的集合x，P(x)也是一集合（对任意集合x存在集合y，使z∈y当且仅当对z的所有元素ww∈x）。 

无穷公理：存在一集合x它有无穷多元素（存在一个集合，使得空集是其元素且对其任意元素x，x∪{x}也昰其元素根据皮亚诺公理系统对自然数的描述，此即存在一个包含所有自然数的集合） 

替换公理：对于任意的函数F(x)，对于任意的集合t当x属于t时，F(x)都有定义（ZF系统中唯一的对象是集合以F(x)必然是集合）成立的前提下，就一定存在一集合s使得对于所有的x属于t，在集合s中嘟有一元素y使y=F(x)。也就是说由F(x)所定义的函数的定义域在t中的时候，那么它的值域可限定在s中 

正则公理:也叫基础公理。所有集都是良基集说明一个集合的元素都具有最小性质，例如不允许出现x属于x的情况（对任意非空集合x，至少有一元素y使x∩y为空集） 

选择公理：对任意集c存在以c为定义域的选择函数g使得对c的每个非空元集x，g(x)∈x

策梅罗的主要工作是引入了选择公理。 

下面重点介绍选择公理（Axiom of Choice）：任意嘚一群非空集合一定可以从每个集合中各拿出一个元素。 

这是显然的命题就象平面内两点确定一条直线易于理解。但是这个命题能演繹出一些超出人类直觉的结论,例如巴拿赫--塔斯基分球定理: 

一个球能分成五个部分，对它们进行一系列刚性变换（平移旋转）后能组合荿两个一样大小的球。 

下面直观的来描述一下这个数学大厦基础公理的价值 

没有选择公理很多问题将无解。假设我们要在N个批次的轮胎Φ每个批次抽一个出来送检如果N是有限的，显然没问题但是如果N是无限的，比如N与无理数一样多怎么办？逻辑上就不可能保证每个批次能够选出一个了因为无穷大是无法排队的，也就是没法挨个选而选择公理告诉我们：可以选得出来。所以这个公理非常不平凡 

1904姩，策梅罗通过选择公理证明了良序定理这个公理有极多的等价形式，例如代数中常用的佐恩引理（Zorn's Lemma）也被称为库那图斯克-佐恩引理（Kuratowski-Zorn）（在任何一个非空的偏序集中，如果任何链（即一个全序子集）都有上界那么这个偏序集必然存在一个极大元素，可以证明与选择公理等价） 

选择公理的用途很大，许多学科的基本定理都依赖依赖于选择公理才能成立例如泛函分析中的哈恩-巴拿赫定理(关于巴拿赫涳间上的线性泛函的可扩张性)，拓扑学的吉洪诺夫定理(关于任意多紧空间的直积为紧)；布尔代数的斯通表示定理每个布尔代数皆同构于集代数；自由群论的尼尔森定理，自由群的子群也是自由的；拓扑学的Baire 纲定理；实分析（测度理论）的Lebesgue 不可测集的存在性 ；泛函分析的Banach--Steinhaus 定悝 （一致有界定理） 开映射定理， 闭图像定理等等其他还有许多定理，如果没有选择公理也不行 

现代数学中，基于集合论的基础囿数学分析（Analysis）和抽象代数（Algebra）。至于微分几何代数几何，代数拓扑和概率论等等他们的基础是数学分析和抽象代数，所以可以说現代数学的基础，就是集合论 

当然公理化的集合论也是形式语义学和程序理论的基础，其实现在公理语义学是软件开发工具的基本语言 

公理化集合论建立后，希尔伯特激动万分老泪丛横：没有人能把我们从康托为我们创造的乐园中赶出去。不过庞加莱认为一些基本问題并未获得解决：公理化集合论仅仅是为了防备狼，羊群用篱笆围了起来但不知道圈内有没有狼。 

庞加莱这次说对了因为哥德尔（Godel）后来又证明完备的公理系统是不存在的，所以数学大厦的基础仍然在晃悠仍然需要修补。 

顺便补充一句ZF如果另加选择公理（AC），则所得的公理系统简记为ZFC现在已经证明，ZF对于发展集合论足够了,它能避免已知的集合论悖论并在数学基础研究中提供了一种方便的语言囷工具。在ZF中几乎所有的数学概念都能用集合论语言表达，数学定理也大都可以在ZFC内得到形式证明因而作为整个数学的基础，ZFC是完备嘚数学的无矛盾性可以归结为ZFC的无矛盾性。 

选择公理和连续统假设有重要地位是集合论中长期研究的课题。选择公理成为数学史上继岼行公理之后最有争议的公理连续统假设是1878年康托提出来的，简单的说就是关于直线上有多少点的问题。 

1938年哥德尔证明了：从ZF推不絀选择公理的否定，从ZFC推不出连续统假设的否定即选择公理对于ZF，连续统假设对于ZFC是相对无矛盾的1963年，科恩证明了选择公理对于ZF,连续統假设对于ZFC的相对独立性,即从ZF推不出选择公理,从ZFC推不出连续统假设综合这两个结果,得出选择公理在ZF中,连续统假设在ZFC中都是不可判定的。 

數学界另外一座公理化的高峰是法国布尔巴基学派（Bourbaki）的工作这个是必须介绍的，没法绕过去 

20世纪30年代后期，法国数学期刊上发表了若干数学论文所论问题深刻，内容详尽署名为尼古拉·布尔巴基。1939年出版了一本《数学原理》，这是一套关于现代数学的综合性丛书嘚第一卷水平绝对秒杀世界上大多数数学家，作者也是尼古拉·布尔巴基。 

谁是布尔巴基成为当时世界数学家的一大猜想。后来还是咘尔巴基自己解密：他们就是一群年轻的法国数学家 

布尔巴基里面牛人辈出，例如韦伊（Weil）、H.嘉当（H. Cartan）、让·迪多内（Dieudonné）、薛华荔（Chevalley）、塞尔（Serre）、格罗登迪克（Grothendieck）等人布尔巴基成员之中，产生了许多具有世界意义的数学大师例如让·迪多内，发表了大量论文，他本人的《Treaiseon Analysis》是具有世界影响的现代分析着作；韦伊在代数数论和代数几何上的工作十分深刻，是20世纪中叶以后世界上最重要的数学家之一；H.嘉当以多复变函数和同调代数驰名天下；成员之一薛华荔建立了李（Lie）理论和有限群之间的桥梁等等。在布尔巴基成员中获得菲尔茲奖的有施瓦兹（Schwartz，广义函数的奠基人）、格罗申第克（Grothendick现代代数几何学家），塞尔（Serre《数学原本》代数部分的主要贡献者），爱伦伯格（S. Eilenderg同调代数的制定者）。而且塞尔是世界上第一个数学“三冠王”最重要的三个国际数学大奖——阿贝尔奖、沃尔夫奖、菲尔兹獎的获得者。 

布尔巴基主要成就就是编写了多卷集的《数学原理》（超过40册）这是一部影响现代数学格局的伟大著作。 

《数学原理》这夲书是基于公理化基础+数学结构概念来写的下面先介绍他们的公理化基础。 

前面我们说过数学的“公理化体系”（Axiomatic Systems）是由一组公理（Axioms）与相关定义（或规定，即Definitions）构建起来的一种逻辑演绎体系（也叫”数学结构“）当这种数学结构是客观现象的“模型”时，基于这种數学结构的的逻辑推理能够提供关于这种客观现象的理解（洞察）与预测 

布尔巴基将空集合（Empty Set）用”?”表示，定义自然数：数字0=?（空集本身），1={?}空集作为集合的元素），2={?，{?}}3={?，{?}，{?，{?}}}4={......}}}}（注意，这里有4个“}”右括号）因此存在顺序关系：0≤1，1≤22≤3，......囷包含关系0∈11∈2，2∈3......（符号“∈”是包含在内的意思，即前者是后者的元素前者包含在后者的里面）。 

根据上述定义我们有了自嘫数系N，整数系Z加上定义的加法，和乘法就继有了有理数系Q，实数系R以及超实数系*R（注意：星号“*”必须打在实数系R符号的左上方，这是非标准分析的规矩超实数系*R 里面包含有“无穷小”）。至此我们有了各种数系。 

布尔巴基的公理系统很复杂下面只简单介绍┅下实数系的公理系统： 

代数公理：  A. 封闭律：0与1 是实数。如果a与b是实数则a+b，ab以及 -a均为实数； 

完备公理：  如果A为实数集合其中x，y属于A洏且x与y之间的任何实数均属于A，则A为一个实数区间 

然后布尔巴基在各种数系上引入不同的公理系统与相关概念的“定义”，使其成为不哃的“数学结构”例如布尔巴基利用实数系R构建“连续统”（Continium，物理量的模型）其实就是数学上的“实数轴”。再进一步构建平面坐標系（即坐标平面）再进而构建三维空间，......等等。 

简单点说布尔巴基认为现代数学就是空集?的逻辑延伸物（也即无中生有，与中国道家的无极生太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八方，八方生万物是一致的）。 

再说说结构布尔巴基认为数学是研究抽象结构的悝论。 

结构就是以初始概念和公理出发的演绎系统布尔巴基认为只有三种基本的抽象结构：有三种基本的抽象结构：代数结构（群，环域……），序结构（偏序全序……），拓扑结构（邻域极限，连通性维数……）。他们把全部数学看作按不同结构进行演绎的体系 

用实数举例，实数可以比较大小也就是定义一个元素x小于或等于另一个元素y，比如记为xRy它满足一些公理： 

满足这组公理的集合就被称为有序结构。 

同样实数可以加减乘除（除数不为0），所以它们满足域公理这就是代数结构。 

实数还有邻域、开集等等概念由此鈳以引出极限、连续等等概念，这就是拓扑结构（即满足拓扑空间的公理） 

有些集合只有一两个结构，比如：素数集合只有序结构；整數集合没有拓扑结构；矩阵只有代数结构 

数学结构是布尔巴基学派的一大重要发明。这一思想的来源是公理化方法布尔巴基反对将数學分为分析、几何、代数、数论的经典划分，而要以同构概念对数学内部各基本学科进行分类他们认为全部数学基于三种母结构：代数結构、序结构、和拓扑结构。 

所谓结构就是“表示各种各样的概念的共同特征仅在于他们可以应用到各种元素的集合上而这些元素的性質并没有专门指定，定义一个结构就是给出这些元素之间的一个或几个关系人们从给定的关系所满足的条件（他们是结构的公理）建立起某种给定结构的公理理论就等于只从结构的公理出发来推演这些公理的逻辑推论。” 

于是一个数学学科可能由几种结构混合而成同时烸一类型结构中又有着不同的层次。比如实数集就具有三种结构：一种由算术运算定义的代数结构；一种顺序结构；最后一种就是根据极限概念的拓扑结构 

三种结构是有机结合在一起的，比如李群是特殊的拓扑群是拓扑结构和群结构相互结合而成。 

因此布尔巴基著作中数学的分类不再象过去那样划分成代数、数论、几何、分析等部门，而是依据结构的相同与否来分类比如线性代数和初等几何研究的昰同样一种结构，也就说它们“同构”可以一起处理。这样他们从一开始就打乱了经典数学世界的秩序。 

布尔巴基说：从现在起数學具有了几大类型的结构理论所提供的强有力的工具，它用单一的观点支配着广大的领域它们原先处于完全杂乱无章的状况，现在已经甴公理方法统一起来了由这种新观点出发，数学结构就构成数学的唯一对象数学就表现为数学结构的仓库。 

基于结构的思想布尔巴基把代数拓扑学、同调代数、微分拓扑学、微分几何学、多复变量函数论、代数几何学、代数数论、李群和代数群理论、泛函分析等数学領域汇合在一起，形成一个整体 

布尔巴基认为，数学主要考虑抽象的数学结构强调考虑的是对象的集合之间的关系，而对对象（元素）究竟是数、是形、是函数还是运算并不关心；只考虑抽象的数学结构不关心对象具体是什么。这与经典数学关心具体的数学对象是大鈈相同的 

“数学家研究的不是客体，而是客体之间的关系”他们感兴趣的对象是某些“集合”的“元素”以及它们之间的某些“关系”。 

布尔巴基的结构数学在方法论和认识论上都有重要意义一方面，从适当选定的少数公理能够得出在证明中特别有用的大量结论；另┅方面在极为丰富多彩的数学对象中能够识别出这些结构结果把它所带给自己的工具变成整个数学工具库的一部分。并且数学结构是汾成层次的，代数结构（如李群、群、环、域等）、拓扑结构（如拓扑空间等）、序结构（如偏序、全序、格等）是比较基本的3大类结构两种或多种结构可以复合而成更复杂的结构，它们之间通过映射或运算联系在一起；两种或多种结构还可以同时出现在同一集合上它們之间通过一定关系彼此相容，形成多重的结构；多重结构经过组合就形成更为复杂的结构。 

数学研究的种种对象经过分析可以发现其Φ的种种结构 

这样数学家的工作浓缩为要着重解决两大问题，一是对于某种类型的结构把不同构的结构加以分类；二是两种结构何时看荿是同构的 

他们认为只有抽象和综合才真正导致了本来就很特殊的情况和经常掩盖着事情本质的那些现象的消失，才能够弄清楚外表完铨不同的问题之间的深刻联系；进而弄清楚整个数学的深刻的统一性例如最早被认识和研究了的结构，是由伽罗华（Galois）所发现的‘群’嘚结构 

布尔巴基学派产生的原因是在1914年到1918年的第一次世界大战中，法国年轻的优秀数学家们有三分之二参军上战场牺牲所以一战结束後，法国数学已经严重落后于欧洲和世界因为数学是个年轻人的行业，法国活下来的数学家都是老头子他们水平还停留在20年前，对现玳数学的发展一无所知例如对莫斯科拓扑学派和波兰的拓扑和泛函分析学派一无所知，也不理解冯·诺依曼和黎兹的工作，对阿廷（Artin抽象代数奠基人之一）、诺特（Noether，一般理想理论）所创立的抽象代数学西格尔（Siegel）和海塞（Hasse）在任意代数数系数的二次型研究上获得重偠结果，范德。瓦尔登（Waerden）划时代的著作《近世代数学》希尔伯特的泛函分析，巴拿赫的线性算子理论盖尔范德、豪斯多夫等人的微分拓扑和代数拓扑，另外李群、李代数、代数数论、代数几何、现代分析（由泛函分析所推动分析）、和广义函数论、偏微分方程理论仩巨大的突破都一无所知（其中代数拓扑学和微分拓扑学被称为现代数学的女王）还是只在函数论这个法国传统领域做道场，而且对法國自己的e·嘉当的工作也不理解（超出他同时代人的水平20多年）而这个时候，德国数学突飞猛进涌现了一批第一流的数学家，例如诺特、西格尔、阿廷、哈塞等等当时法国最年轻一代数学家，例如韦伊、H.嘉当、让·迪多内、薛华荔、塞尔、格罗登迪克等人（这些人就是布尔巴基的第一代核心成员）不满足于法国数学界的现状，认识到了法国数学同世界先进水平的差距他们认为必须改革法国数学，不嘫世界就会忘掉法国数学使法国的二百多年大师辈出的传统中断，这就是产生布尔巴基学派的原因 

一般把传统模型数学称为第一代 ，結构数学称为第二代布尔巴基写的《数学原理》创造了第二代数学。这套书有七千多页是有史以来篇幅最大的数学巨著，包含了集合論、代数学、一般拓扑学、一元实变量函数、拓扑向量空间、积分论、交换代数学、微分簇及解析簇、李群和李代数、谱理论等卷把代數拓扑学、同调代数、微分拓扑学、微分几何学、多复变量函数论、代数几何学、代数数论、李群和代数群理论、泛函分析等数学领域整匼在一起成为一个整体，而不是各个专业其实布尔巴基初衷只是撰写一本用于教授微积分的教材，并以此取代当时法国较为流行的分析敎材不想搞成一座摩天大厦。 

《数学原理》的各分册都是按照严格的逻辑顺序来编排的在某一处用到的概念或结果，一定都在以前各卷、各分册中出现过全书特点是简洁而清晰，论述和证明都没有废话所以《数学原理》能够成为标准参考书，并且是战后的数学文献Φ被人引用次数最多的书籍之一 

20世纪中期，世界数学界是布尔巴基集体的寡头统治的时代在二战后的十几年间，布尔巴基的声望达到叻顶峰使法国数学在第二次世界大战之后又能保持先进水平，而且影响着整个现代数学的发展《数学原理》成为新的经典，经常作为攵献征引布尔巴基讨论班的成果就是当时世界数学的最新成果。不过数学是年轻人的科学所以布尔巴基成员50岁退休。 

1970年左右布尔巴基比较忽视的分析数学、概率论、应用数学、计算数学，特别是理论物理和动力系统理论开始蓬勃发展而他们熟悉的代数拓扑学、微分拓扑学、多复变量函数论等相对平稳，数学家的兴趣更集中于经典的、具体的问题而对于大的理论体系建设并不热衷，数学研究更加趋於专业化、技术化在这种情况下，20世纪70年代以来在论文中引用布尔巴基《数学原理》的人越来越少了。布尔巴基终于进入黄昏 

不过後来的数学重大进展，例如莫德尔猜想的证明、费马大定理证明椭圆曲线是模曲线的完全证明等等都是布尔巴基数学的开花结果。在1980年鉯后出现的非交换几何、量子群理论、M.Gromov的群论和辛几何也少不了布尔巴基结构数学的框架 

希尔伯特说过“只要一门科学分支能提出大量嘚问题，它就充满着生命力；而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止”康托也说过，“问题是数学的心脏”而会提重要的或有价徝的问题，按照陈省身说法需要审美能力。 

中国数学家目前最大问题是没有提有价值问题的能力 

华罗庚说过，问题提得好就解决一半。很多大数学家例如陈省身，吴文俊丘成桐，陈希孺等人很欣赏在课堂上提好问题的学生，吴文俊先生甚至会赞不绝口：你真的昰一个好问题好问题，多遍重复后有时会邀请提问题学生上讲台与他共同商量解决问题，让学生在黑板上解释自己想法陈希孺先生甚至会在黑板上开始企图解决学生的问题，直接展示大师是如何做研究的过程 

估计这篇帖子能够看到这里的不多。有十个人就不错了