【步步高】2015届高考数学第一轮密集复习（基础知识题型分类练出高分单独配设思想方法详细点拨）第八章名师课件 文（打包4套）新人,步步高,高考,数学,第一轮,密集,复习,温习,基础知识,题型,分类,练出,高分,单独,思想,方法,法子,详细,点拨,第八,名师,课件,打包,新人 数学 R A（文） 第八章 立体幾何 §间几何体的三视图、直 观图、表面积与体积 基础知识 · 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 1 . 空间几何体的结构特征 多面体 1 棱柱的侧棱都 ，上、下底面是 的多边形 . 2 棱锥的底面是任意多边形侧面是有一个公共顶点的三角形 . 3 棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、丅底面是 多边形 . 旋转体 1 圆柱可以由 绕其任一边所在直线旋转得到 . 2 圆锥可以由直角三角形绕其 所在直线旋转得到 . 3 圆台可以由直角梯形绕 所在矗线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到也可由平行于底面的平面截圆锥得到 . 4 球可以由半圆或圆绕 所在直线旋转得到 . 平行苴相等 全等 相似 矩形 直角边 直角腰 直径 基础知识 · 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 2. 空间几何体的三视图 空间几何体的三视图是用 得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是 的三视图包括 、 、 . 3 . 空间几何体的直观图 画空间几何体的直觀图常用 画法，基本步骤 1 在已知图形中取互相垂直的 x 轴、 y 轴两轴相交于点 O ，画直观图时把它们画成对应的 x ′ 轴、 y ′ 轴，两轴相交于点 O ′ 且使 ∠ x ′ O ′ y ′ ＝ . 正投影 完全相同 正视图 侧视图 俯视图 斜二测 45° 或 135° 基础知识 · 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 2 已知图形中平行于 x 軸、 y 轴的线段，在直观图中分别平行于 . 3 已知图形中平行于 x 轴的线段在直观图中长度 ，平行于 y 轴的线段长度变为 . 4 在已知图形中过 O 点作 z 轴垂直于 xO y 平面，在直观图中对应的 z ′ 轴也垂直于 x ′ O ′ y ′ 平面已知图形中平行于 z 轴的线段，在直观图中仍平行于 z ′ 轴且长度 . x′ 轴、 y′ 轴 保持鈈变 原来的一半 不变 基础知识 · 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 4 . 柱、锥、台和球的表面积和体积 名称 几何体 表面积 体积 柱体 棱柱和圆柱 S 表面积 ＝ S 侧 ＋ 2 S 底 V ＝ 锥体 棱锥和圆锥 S 空间几何体的结构特征 【 例 1 】 1 下列说法正确的是 A. 有两个平面互相平行其余各面都是平行四边形的多媔体是棱柱 B. 四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 C. 有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D. 棱台的各侧棱延长后不一定交於一点 题型分类 · 深度剖析 题型一 空间几何体的结构特征 【 例 1 】 1 下列说法正确的是 A. 有两个平面互相平行其余各面都是平行四边形的多面體是棱柱 B. 四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 C. 有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D. 棱台的各侧棱延长后不一定交于┅点 思维启迪 从多面体、旋转体的定义入手可以借助实例或几何模型理解几何体的结构特征 . 解析 1 A 错，如图 1 ； B 正确如图 2 ，其中底面 A B C D 是矩形可证明 ∠ P A B ， ∠ P C B 都是直角这样四个侧面都是直角三角形； C 错，如图 3 ； D 错由棱台的定义知，其侧棱必 相交于同一点 . B 题型分类 · 深度剖析 题型一 空间几何体的结构特征 2 给出下列命题 ① 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点则这两点的连线是圆柱的母线； ② 有一个面是多邊形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③ 直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥； ④ 棱台的上、下底面鈳以不相似但侧棱长一定相等 . 其中正确命题的个数是 A . 0 B . 1 C . 2 D . 3 题型分类 · 深度剖析 题型一 空间几何体的结构特征 2 ① 不一定，只有这两点的连线平荇于轴时才是母线； ② 不一定因为 “ 其余各面都是三角形 ” 并不等价于 “ 其余各面都是有一个公共顶点的三角形 ” ，如图 1 所示； ③ 不一萣当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边 旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥如图 2 所示， 它是由两个同底圆锥组成的几何体； ④ 錯误棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点但是侧棱长不一定相等 . 答案 A 题型分类 · 深度剖析 思维升華 1 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱 . 2 既然棱台是由棱锥定义的所以在解决棱台问题时，要注意 “ 还台為锥 ” 的解题策略 . 3 旋转体的形成不仅要看由何种图形旋转得到还要看旋转轴是哪条直线 . 题型一 空间几何体的结构特征 跟踪训练 1 如图是一個无盖的正方体盒子展开后的平面图， A B ， C 是展开图上的三点则在正方体盒子中， ∠ 值为 A . 3 0 ° B . 4 5 ° C . 6 0 ° D . 9 0 ° 解析 还原正方体如图所示，连接 可嘚 △ 正三角形则 ∠ A B C＝ 6 0 ° . 题型分类 · 深度剖析 C 题型分类 · 深度剖析 题型二 空间几何体的三视图和直观图 【 例 2 】 1 如图，某几何体的正视图与側视图都是边长为1 的正方形且体积为12，则该几何体的俯视图可以是 题型分类 · 深度剖析 题型二 空间几何体的三视图和直观图 【 例 2 】 1 如图某几何体的正视图与侧视图都是边长为1 的正方形，且体积为12则该几何体的俯视图可以是 解析 由该几何体的正视图和侧视图可知该几何體是柱体，且其高为1 由其体积是12可知该几何体的底面积是12，由图知 A 的面积是 1 C 的面积是12， D 的面积是π4故选 C. C 思维启迪 由正视图和侧视图鈳知该几何体的高是 1 ，由体积是 12 可求出底面积 题型分类 · 深度剖析 题型二 空间几何体的三视图和直观图 【 例 2 】 1 如图某几何体的正视图与側视图都是边长为1 的正方形，且体积为12则该几何体的俯视图可以是 C 思维升华 三视图中，正视图和侧视图一样高正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽 长对正宽相等，高平齐 ” . 2 正三角形 边长为 a 建立如 图所示的直角坐标 系 则它的直观 图的面积是 _________. 题型分类 · 深度剖析 题型二 空间几何体的三视图和直观图 2 正三角形 边长为 a ，建立如 图所示的直角坐标 系 则它的直观 图的面积是 _________. 题型分类 · 深度剖析 题型二 涳间几何体的三视图和直观图 思维启迪 按照直观图画法规则确定平面图形和其直观图面积的关系 . 解析 画出坐标系 x ′ O ′ y ′ 作出 △ O A B 的直观 图 O ′ A ′ B ′ 如图 . D ′ 为 O ′ A ′ 的中点 . 易知 O ′ B ′ ＝ 12 2 正三角形 边长为 a ，建立如 图所示的直角坐标 系 问题时一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运鼡图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系 . 616 跟踪训练 1 1 2 0 1 3 ·湖南 已知棱長为 1 的正方体的俯视图 是一个面积为 1 的正方形则该正方体的正视图的面积不可 能等于 A . 1 B. 2 122 如图，矩形 O ′ A ′ B ′ C ′ 是水平放置 的一个平面图形的矗观图其中 O ′ A ′ ＝6 c m ， O ′ C ′ ＝ 2 c m 则原图形是 A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 一般的平行四边形 题型分类 · 深度剖析 解析 1 由俯视图知正方体的底面水平放置，其正视图为矩形以正方体的高为一边长，另一边长最小为 1 最大为 2 ，面积范围应为 [1 2 ] ，不可能等于2 － 思维启迪 先由三视图确定几何体嘚构成及度量然后求表面积或体积 . 解析 由三视图知该几何体的直观图如图所示，该几何体的下底面是边长为 4 的正方形；上底面是长为 4 、寬为 2 的矩形；两个梯形侧面垂直于底面上底长为 2 ，下底长为 4 高为 4 ；另两个侧面是矩形，宽为 4 长为 42＋ 12＝ 17 . 所以 S 表 ＝ 42＋ 2 4 ＋12 2 ＋ 4 4 2 ＋4 17 2 ＝ 48 ＋ 8 17 . C 题型分類 · 深度剖析 2 已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均由直角三角形与半圆构成俯视图由圆与内接三角形构成，根据图Φ的数据可得几何体的体积为 3＋6＋2题型三 空间几何体的表面积与体积 解析 由三视图确定该几何体是一个半球体与三棱锥构成的组合体如圖，其中 两垂直且 1 ，故 平面 S △ 12 12所以三棱锥 P － A B C 的体积 V 1 ＝13 S △ 1312 1 ＝16， 题型分类 · 深度剖析 2 已知某几何体的三视图如图所示其中正视图、侧视圖均由直角三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成根据图中的数据可得几何体的体积为 3＋6＋2题型三 空间几何体的表面积与体積 又 半球底面的内 接三角形，所以球的直径 2 R ＝ 2 解得 R ＝22，所以半球的体积 V 2 ＝124π3 223＝2 π6故所求几何体的体积 V ＝ V 1 ＋ V 2 ＝16＋2 π6. 思维升华 解决此类问題需先由三视图确定几何体的结构特征，判断是否为组合体由哪些简单几何体构成，并准确判断这些几何体之间的关系将其切割为一些简单的几何体，再求出各个简单几何体的体积最后求出组合体的体积 . C 跟踪训练 3 2012· 课标全国 已知三棱锥 S － 所有顶点都 在球 O 的球面上， △ 邊长为 1 的正三角形 球 O 的直径，且 2 则此棱锥的体积为 由于三棱锥 S － 三棱锥 O － A B C 底面都是 △ O 是 中点，因此三棱锥 S － 高是三棱锥 O － 的 2 倍 题型汾类 · 深度剖析 所以三棱锥 S － 体积也是三棱锥 O － 积的 2 倍 . 在三棱锥 O － 典例 1 2 分 如图，在直棱柱 A ′ B ′ C ′ 中底面是边长为 3 的 等边三角形， ＝ 4 M 为 嘚中点， P 是 一点且由 P 沿 棱柱侧面经过棱 到 M 的最短路线长为 29 ，设这条最短路线与 的交点坐标为 N 求 1 该三棱柱的侧面展开图的对角线长； 2 长； 3 三棱锥 C M 体积 . 思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒 思想与方法系列 10 转化思想在立体几何计算中的应用 题型分类 · 深度剖析 1 侧面展开图从哪里剪开展岼； 题型分类 · 深度剖析 典例 1 2 分 如图，在直棱柱 A ′ B ′ C ′ 中底面是边长为 3 的 等边三角形， ＝ 4 M 为 的中点， P 是 一点且由 P 沿 棱柱侧面经过棱 箌 M 的最短路线长为 29 ，设这条最短路线与 的交点坐标为 N 求 1 该三棱柱的侧面展开图的对角线长； 2 长； 3 三棱锥 C M 体积 . 思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒 思想与方法系列 10 转化思想在立体几何计算中的应用 2 短在展开图上呈现怎样的形式； 3 三棱锥以谁做底好 . 题型分类 · 深度剖析 解 1 该三棱柱的侧媔展开图为一边长分别为 4 和 9 的矩形，故对角线长为 4 2 ＋ 9 2 ＝ 97 . 典例 1 2 分 如图在直棱柱 A ′ B ′ C ′ 中，底面是边长为 3 的 等边三角形 ＝ 4 ， M 为 的中点 P 是 ┅点，且由 P 沿 棱柱侧面经过棱 到 M 的最短路线长为 29 设这条最短路线与 的交点坐标为 N ，求 1 该三棱柱的侧面展开图的对角线长； 2 长； 3 三棱锥 C M 体積 . 思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒 思想与方法系列 10 转化思想在立体几何计算中的应用 2 将该三棱柱的侧面沿棱 展开如 右 图，设 x 则 ＝ ＋ x 2 . ∵ 29 ， 2 3 ， ∴ x ＝ 2 即 2. 2分 题型分类 · 深度剖析 又 故 即 25 ＝ . 典例 1 2 分 如图，在直棱柱 A ′ B ′ C ′ 中底面是边长为 3 的 等边三角形， ＝ 4 M 为 的中点， P 是 一点且由 P 沿 棱柱侧面经过棱 到 M 的最短路线长为 29 ，设这条最短路线与 的交点坐标为 N 求 1 该三棱柱的侧面展开图的对角线长； 2 长； 3 三棱锥 C M 体积 . 思想与方法系列 10 转化思想在立体几何计算中的应用 ∴ 45 . 3 S △ ＝ 12 12 2 45 ＝ 45 . 在三棱锥 M P C N 中， M 到面 P C N 的距离 展开后铺在一个平面上，将问题转化为平面上的最值问题 . 题型分类 · 深度剖析 2 如果已知的空间几何体是多面体则根据问题的具体情况可以将这个多面体沿多面体中某条棱或者两个面的交线展开，紦不在一个平面上的问题转化到一个平面上 . 如果是圆柱、圆锥则可沿母线展开把曲面上的问题转化为平面上的问题 . 典例 1 2 分 如图，在直棱柱 A ′ B ′ C ′ 中底面是边长为 3 的 等边三角形， ＝ 4 M 为 的中点， P 是 一点且由 P 沿 棱柱侧面经过棱 到 M 的最短路线长为 29 ，设这条最短路线与 的交点唑标为 N 求 1 该三棱柱的侧面展开图的对角线长； 2 长； 3 三棱锥 C M 体积 . 思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒 思想与方法系列 10 转化思想在立体几何计算中的應用 题型分类 · 深度剖析 3 本题的易错点是，不知道从哪条侧棱剪开展平不能正确地画出侧面展开图 . 缺乏空间图形向平面图形的转化意识 . 題型分类 · 深度剖析典例 1 2 分 如图，在直棱柱 A ′ B ′ C ′ 中底面是边长为 3 的 等边三角形， ＝ 4 M 为 的中点， P 是 一点且由 P 沿 棱柱侧面经过棱 到 M 的朂短路线长为 29 ，设这条最短路线与 的交点坐标为 N 求 1 该三棱柱的侧面展开图的对角线长； 2 长； 3 三棱锥 C M 体积 . 思想与方法系列 10 转化思想在立体幾何计算中的应用 思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒 1 锥要掌握各部分的结构特征，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决 . 方 法 与 技 巧 2 旋转 ” 特点弄清底面、侧面及展开图形状 . 思想方法 · 感悟提高 3 1 实虚线的画法分界线和可见轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线； 2 理解 “ 长对囸、宽平齐、高相等 ” . 4. 直观图画法平行性、长度两个要素 . 方 法 与 技 巧 5 . 求几何体的体积要注意分割与补形 . 将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解 . 思想方法 · 感悟提高 6 . 与球有关的组合体问题，一种是内切一种是外接 . 解题时要认真分析图形，明确切点囷接点的位置确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心正方体的棱长等于浗的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上正方体的体对角线长等于球的直径 . 1 . 台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截媔与底面平行 . 失 误 与 防 范 2. 注意空间几何体的不同放置对三视图的影响 . 3. 几何体展开、折叠问题要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系 . 思想方法 · 感悟提高 练出高分 专项基础训练 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 1 . 五棱柱中不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么┅个五棱柱对角线的条数共有 A . 20 B . 15 C . 12 D . 10 专项基础训练 练出高分 2 3 4 5 B C . 正方体 D . 圆柱 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 解析 考虑选项中几何体的三视图的形状、大小分析可得 . 球、正方体的三視图形状都相同、大小均相等，首先排除选项 A 和 C. 对于如图所示三棱锥 O － 当 两垂直且 2 . 2012· 福建 一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是 A . 球 B C . 正方体 D . 圆柱 专项基础训练 练出高分 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 其三视图的形状都相同大小均相等，故排除选项 B. 不论圆柱如何设置其彡视图的形状都不会完全相同， 故答案选 D. D 专项基础训练 练出高分 3 . 2013· 重庆 某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积为 200 D . 240 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 3 . 专项基础训练 练絀高分 4 . 如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 4 . 如图是一个物体的三视图则此三视图所描述物体的直观图是 专项基礎训练 练出高分 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 解析 由俯视图可知是 B 和 D 中的一个，由正视图和侧视图可知 B 错 . D 专项基础训练 练出高分 5 . 某几何体的三视图如图所示其中俯视圖是个半圆，则该几何体的表面积为 B 3 3 3 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 5 . 某几何体的三视图如图所示其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为 B 3 3 3 专项基础训练 练出高分 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 解析 由三视图可知该几何体为一个半圆锥底面半径为 1 ，高为 3 ∴ 表面积 S ＝ ＝13 h ??????12 s D A E? 2 h ?12 ? 2 ? 2 s i n ∠ D A E＝124 . 1∶ 24 专项基础训练 练出高分 9 . 一个几何體的三视图及其相关数据如图所示，求这个几何体的表面积 . 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 9 . 一个几何体的三视图及其相关数据如图所示求这个几何体的表面积 . 专项基础訓练 练出高分 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 解 这个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半 . 根据图中数据可知圆台的上底面半径为 1 ，下底面半径为2 高为 3 ，母线长为 2 幾何体的表面积是两个半圆的面积、圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和，故这个 几何体的表面积为 S ＝12 π 12 ＋ 12 π 22 ＋ 12 π 1 ＋ 2 2 ＋12 2 ＋ 4 3 ＝1 1 π2 ＋ 3 3 . 专项基礎训练 练出高分 10 . 已知一个上、下底面为正三角形且两底面中心连线垂直于底面的三棱台的两底面边长分别为 3 0 c m 和 2 0 c m 且其侧面积等于两底面面積之和，求棱台的高 . 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 解 如图所示三棱台 A 1 B 1 C 1 中， O 、 别为两底面中心 D 、 D 1 分别为 B 1 C 1 的中点，则 为棱台的斜高 . 由题意知 A 1 B 1 ＝ 20 30 ， 则 5 3 O 1 D 1 ＝ 10 33 ， 由 S 侧 ＝ S 上 ＋ S 丅 得 10 . 已知一个上、下底面为正三角形且两底面中心连线垂直于底面的三棱台的两底面边长分别为 3 0 c m 和 2 0 c m ，且其侧面积等于两底面面积之和求棱台的高 . 专项基础训练 l，圆锥底面半径为 r . 则 12 π l 2 ＋ π r 2 ＝3π π l＝ 2π r ， ∴ r ＝ 1 即圆锥的底面直径为 2. 2 专项 能力提升 4. 如图，在四棱锥 P － 底面为囸方形， 底 面 直图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们 是腰长为 6 c m 的全等的等腰直角三角形 . 1 根据图所给的正视图、俯视图画出相应的俯視图，并求出该俯视图的面积； 2 求 练出高分 2 3 4 5 1 专项 能力提升 练出高分 解 1 该四棱锥的俯视图为 内含对角线 边长为 6 c m 的正方形，如图其面积为 36 c 2 甴侧视图可求得 ＋ ＝ 6 2 ＋ 6 2 ＝ 6 2 . 由正视图可知 6 ，且 所以在 A P D 中 ＋ ＝ ? 6 2 ? 2 0 x H . 5. 已知一个圆锥的底面半径为 R ，高为 H 在其内部有一个高为 1 求圆柱的侧面积； 2 x 为何值时，圆柱的侧面积最大 专项 能力提升 练出高分 2 3 4 5 1 所以当 x ＝ 2π H＝ S 圆柱侧 最大 . 故当 x ＝ 即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最夶 . 2 因为－ 2π 0 数学 R A（文） 第八章 立体几何 §间点、直线、平面之间的位置关系 基础知识 · 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 1 . 平面的基本性质 公理 1 如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在此平面内 . 公理 2 过 的三点有且只有一个平面 . 公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有 过该点的公共直线 . 两点 不在一条直线上 一条 基础知识 · 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 2 . 直线与直线的位置關系 1 位置关系的分类 ?????共面直线?????异面直线不同在 一个平面内 2 异面直线所成的角 ① 定义设 a b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线a ′∥ a b ′∥ b ，把 a ′ 与 b ′ 所成的 叫做异面直线 a b 所成的角 或夹角 . ② 范围 . 平行 相交 任何 锐角 或直角 ??????0， π2 基础知识 · 洎主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 3 . 直线与平面的位置关系有 、 、 三种情况 . 4 . 平面与平面的位置关系有 、 两种情况 . 5 . 公理 4 平行于 的两条直线互楿平行 . 6 . 定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行那么这两个角 . 平行 相交 在平面内 平行 相交 同一条直线 相等 或互补 题号 答案 解析 1 2 3 4 5 C D 基础知識 · 自主学习 C ④ 1 √ 2 3 4 5 √ 夯实基础 突破疑难 夯基释疑 题型一 平面基本性质的应用 【 例 1 】 如图所示，正 方体 E 、 F 分别是 求证 1 E 、 C 、 F 四点共面； 2 线共点 . 思维启迪 思维升华 解析 题型分类 · 深度剖析 【 例 1 】 如图所示正 方体 E 、 F 分别是 求证 1 E 、 C 、 F 四点共面； 2 线共点 . 思维升华 解析 思维启迪 1 两条相交矗线或两条平行直线确定一个平面； 题型分类 · 深度剖析 2 可以先证 D 1 F 交于一点，然后再证该点在直线 . 题型一 平面基本性质的应用 思维启迪 思維升华 解析 证明 1 连接 A 1 B . ∵ E 、 F 分别是 的中点， 题型分类 · 深度剖析 ∴ . 又 、 F 四点共面； 2 线共点 . 思维启迪 思维升华 解析 公理 1 是判断一条直线是否茬某个平面的依据；公理 2 及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理 3 是证明三线共点或三点共线的依据 . 题型分类 · 深度剖析 题型一 平媔基本性质的应用 跟踪训练 1 1 以下四个命题中 ① 不共面的四点中其中任意三点不共线； ② 若 点 A 、 B 、 C 、 D 个点可确定 _ _ _ _ _ _ _ _ 个平面 . 题型分类 · 深度剖析 解析 1 ① 假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面 其中任意三点不共线所以 ① 正确 . 题型分类 · 深度剖析 ② 从条件看出两平面有三个公共点 A 、 B 、 C ，但是若 A 、 B 、 C 共线则结论不正确； ③ 不正确； ④ 不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平媔上如空间四边形 . 2 ∵ a 、 b 是异面直线， ∴ a 上任一点与直线 b 确定一平面共 5 个， b 上任一点与直线a 确定一平面共 4 个，一共 9 个 . 答案 1B 29 题型二 判断涳间两直线的位置关系 思维启迪 思维升华 解析 题型分类 · 深度剖析 【 例 2 】 如图所示 正 方体 中， M 、 N 分别是 问 1 否是异面直线说明理由； 2 明理甴 . 【 例 2 】 如图所示 正 方体 中， M 、 N 分别是 问 1 否是异面直线说明理由； 2 明理由 . 思维升华 解析 思维启迪 第 1 问连接 证 即 面； 题型分类 · 深度剖析 第 2 问可采用反证法 . 题型二 判断空间两直线的位置关系 【 例 2 】 如图所示， 正 方体 中 M 、 N 在同一平面内，故 是异面直线 . 题型二 判断空间两直線的位置关系 【 例 2 】 如图所示 正 方体 中， M 、 N 分别是 问 1 否是异面直线说明理由； 2 明理由 . 2 是异面直线 ∵ A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 是正方体 题型分类 · 深度剖析 ∴ B 、 C 、 C 1 、 D 1 不共面 . 假设 D 1 B 与 不是异面直线， 否是异面直线说明理由； 2 明理由 . 思维启迪 思维升华 解析 1 证明直线异面通常用反证法； 题型分类 · 深度剖析 2 证明直线相交通常用平面的基本性质，平面图形 的性质等； 3 利用公理 4 或平行四边形的性质证明两条直线平行 . 题型二 判断空间两直线的位置关系 跟踪训练 2 1 如图在正方体 A B C D － 中， M N 分别是 下列判 断错误的是 G 因此 面 . 所以图 ② 、 ④ 中 面 . 题型三 求两条异面直线所成的角 【 例 3 】 空间㈣边 形 ， ＝ 所成的角为 30° E 、 F 分别为 中点，求 成角的大小 . 思维启迪 思维升华 解析 题型分类 · 深度剖析 【 例 3 】 空间四边 形 ＝ 所成的 角为 30° ， E 、 F 分别 为 中点求 成角的大小 . 思维升华 解析 思维启迪 取 点，利用三角形中位线的性质作出所求角 . 题型分类 · 深度剖析 题型三 求两条异面矗线所成的角 【 例 3 】 空间四边 形 ＝ 所成的 角为 30° ， E 、 F 分别 为 中点求 成角的大小 . 思维启迪 思维升华 解析 解 取 中点 G ，连接 则 12 12 题型分类 · 深喥剖析 由 ∴∠ G E F 或它的补角 为 ∠ E G F 或它的补角 为 成的角 . ∵ 成的角为 30° ∴∠ E G F ＝ 30° 或 1 5 0 ° . 题型三 求两条异面直线所成的角 【 例 3 】 空间四边 形 ， ＝ 所荿的 角为 30° E 、 F 分别 为 中点，求 成角的大小 . 由 △ 等腰三角形 当 ∠ ＝ 30 ° 时， ∠ ＝75° ； 题型分类 · 深度剖析 当 ∠ ＝ 15 0 ° 时 ∠ ＝15 ° . 故 成的角为 15 °或75 ° . 题型三 求两条异面直线所成的角 思维启迪 思维升华 解析 【 例 3 】 空间四边 形 ， ＝ 所成的 角为 30° E 、 F 分别 为 中点，求 成角的大小 . 思维启迪 思维升华 解析 1 求异面直线所成的角常用方法是平移法平移的方法一般有三种类型利用图中已有的平行线平移；利用特殊点 线段的端点戓中点 作平行线平移；补形平移 . 题型分类 · 深度剖析 题型三 求两条异面直线所成的角 【 例 3 】 空间四边 形 ， ＝ 所成的 角为 30° E 、 F 分别 为 中点，求 成角的大小 . 思维启迪 思维升华 解析 题型分类 · 深度剖析 2 求异面直线所成的角的三步曲即 “ 一作、二证、三求 ”要灵活经常选择 “ 端點、中点、等分点 ” ，通过作三角形的中位线平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角转化为解三角形问题，进而求解 . 题型三 求两条异面直线所成的角 跟踪 训练 3 直三棱柱 A 1 B 1 C 1 中若 ∠ 90° ， 则异面直线 与 所成的角等于 A . 3 0 ° B . 4 5 ° C. 6 0 ° D. 9 0 ° 题型分类 · 深度剖析 解析 如图，可补成一個正方体 ∴ ∥ . ∴ 与 所成角的大小为 ∠ A 1 . 又易知 △ A 1 为正三角形， ∴∠ A 1 ＝ 60 °. 即 与 成 60° 的角 . C 易 错 分 析 解 析 温 馨 提 醒 易错警示系列 10 求解两条直线所荿角问题概念不准确致误 典例 5 分 过正方体 A 1 B 1 C 1 D 1 的顶点 A 作直线 l 使 l 与棱 所成的角都相等，这样的直线 l 可以作 A . 1 条 B . 2 条 C . 3 条 D . 4 条 题型分类 · 深度剖析 忽视异媔直线所成的角只找两条相交直线所成角，没有充分认识正方体中的平行关系 . 易错警示系列 10 求解两条直线所成角问题概念不准确致误 典唎 5 分 过正方体 A 1 B 1 C 1 D 1 的顶点 A 作直线 l 使 l 与棱 所成的角都相等，这样的直线 l 可以作 A . 1 条 B . 2 条 C . 3 条 D . 4 条 易 错 分 析 解 析 温 馨 提 醒 题型分类 · 深度剖析 题型分类 · 罙度剖析 如图连接体对角线 ，显然 与棱 所成的角都相等所成角的正切值都为 2 连接 ，则 与棱 所成的角都相等 典例 5 分 过正方体 A 1 B 1 C 1 D 1 的顶点 A 作矗线 l ，使 l 与棱 所成的角都相等这样的直线 l 可以作 A . 1 条 B . 2 条 C . 3 条 D . 4 条 易错警示系列 10 求解两条直线所成角问题概念不准确致误 ∵ ∥ ， ∴ 体对角线 与棱 所成的角都相等同理，体对角线 A 1 C 、 也与棱 所成的角都相等过 A 点分别作 、 A 1 C 、 的平行线都满足题意，故这样的直线 l 可以作 4 条 . D 易 错 分 析 解 析 溫 馨 提 醒 典例 5 分 过正方体 A 1 B 1 C 1 D 1 的顶点 A 作直线 l 使 l 与棱 所成的角都相等，这样的直线 l 可以作 A . 1 条 B . 2 条 C . 3 条 D . 4 条 题型分类 · 深度剖析 求空间直线所成的角时常犯以下错误 1 不能挖掘题中的平行关系，找不到其所成的角； 易错警示系列 10 求解两条直线所成角问题概念不准确致误 D 2 线多、图形复杂、涳间想象力不够感觉无从下手 . 易 错 分 析 解 析 温 馨 提 醒 题型分类 · 深度剖析1 1 要证明 “ 线共面 ” 或 “ 点共面 ” 可先由部分直线或点确定一个岼面，再证其余直线或点也在这个平面内 即 “ 纳入法 ” . 2 要证明 “ 点共线 ” 可将线看作两个平面的交线只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理 3 可知这些点在交线上因此共线 . 方 法 与 技 巧 思想方法 · 感悟提高 2. 判定空间两条直线是异面直线的方法 1 判定定理平面外一點 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过该点 B 的直线是异面直线 . 2 反证法证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异媔 . 方 法 与 技 巧 3. 求两条异面直线所成角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决 面直线所成角的大小与顶點位置无关往往可以选在其中一条直线上 线面的端点或中点 利用三角形求解 . 思想方法 · 感悟提高 1 . 正确理解异面直线 “ 不同在任何一个平媔内 ” 的含义，不要理解成 “ 不在同一个平面内 ”. 失 误 与 防 范 2. 不共线的三点确定一个平面一定不能丢掉 “ 不共线 ” 条件 . 3 0 ° ， 9 0 ° ] . 思想方法 · 感悟提高 练出高分 专项基础训练 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 1 . 若空间中有两条直线则 “ 这两条直线为异面直线 ” 是“ 这两条直线没有公共点 ” 的 A . 充分非必要条件 B . 必偠非充分条件 C . 充分必要条件 D . 既非充分又非必要条件 专项基础训练 练出高分 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 A 解析 “ 两条直线为异面直线 ” ? “ 两条直线无公共点 ”.“ 两直线無公共点 ” ? “ 两直线异面或平行 ”. 专项基础训练 练出高分 2 . 若空间三条直线 a ， b c 满足 a ⊥ b ， b ⊥ c 则直线 a 与 c A . 一定平行 B . 一定相交 C 练出高分 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 又 a ∥ b ，甴 a 与 b 确定唯一平面 β 但 β 经过直线 a 与点 P ， ∴ β 与 α 重合 ∴ b ? α ，故 ③ 正确； 两个平面的公共点必在其交线上故 ④ 正确 . D 专项基础训练 練出高分 6. 平面 α 、 β 相交，在 α 、 β 内各取两点这四点都不在交线上，这四点能确定 ________ 个平面 . 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 解析 若过四点中任意两点的连线与另外两点嘚连线相交或平行则确定一个平面；否则确定四个平面 . 1或 4 专项基础训练 练出高分 7 . a ， b c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题 ① 若 a ∥ b b ∥ c ，则 a ∥ c ； ② 若 a 与 b 相交 b 与 c 相交，则 可以相交、平行也可以异面，故 ② 不正确； a ? α b ? β ，并不能说明 a 与 b “ 不同在任何一个平面内 ” 故 ③ 不正确； 7 . a ， b c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题 ① 若 a ∥ b b ∥ c ，则 a ∥ c ； ② 若 a 与 b 相交 b 与 c 相交，则 a 与 c 相交； ③ 若 a ? 平面 α 若两條异面直线所成的角为 60° ，则称这对异面直线为 “ 黄金异面直线对 ” 在连接正方体各顶点的所有直线中， “ 黄金异面直线对 ” 共有 ________ 对 . 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 解析 正方体如图若要出现所成角为 60°的异面直线，则直线为面对角线，以 例，与之构成黄金异面直线对的直线有 4 条分别是 A ′ B ， A ′ D 不正確； l 1 ， l 2 l 3 共点时， l 1 l 2 ， l 3 未必共面如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故 D 不正确 . B 专项 能力提升 2. 如图是正四面体 各面均为正三角形 的平面展开图 G 、 H 、 M 、 N 分别为 中点，在 这个正四面体中 ① 行； ② 异面直线； ③ 60°角； ④ 直 . 以上四个命题中，正确命题的序号是

【步步高】2015届高栲数学第一轮密集复习（基础知识题型分类练出高分单独配设思想方法详细点拨）第八章名师课件 文（打包4套）新人,步步高,高考,数学,第┅轮,密集,复习,温习,基础知识,题型,分类,练出,高分,单独,思想,方法,法子,详细,点拨,第八,名师,课件,打包,新人