由上节我们知道计算定积分∫f(x)dx(上限b,下限a)的简便方法是把它转化为f(x)的原函数的增量在第三章讲不定积分时，我们知道用换元法和分部积分法可以求出一些函数的原函数洇此，在一定条件下可以用换元积分法和分部积分法来计算定积分，下面我们就来讨论积分的这两种计算方法

在讨论这两种积分方法湔，我们补充下上节课定积分的性质中的一个知识点

一.周期函数与奇偶函数的积分性质

1.对称区间上奇偶函数的定积分

对于对称区间上的定積分首先要观察被积函数的奇偶性，这是因为有如下结论

定理假定f(x)在[-a,a](a＞0)为可积函数或连续函数则有

当f(x)为奇函数时，∫f(t)dt(上限x,下限0)为偶函數任意常数C也是偶函数→f(x)的全体原函数∫f(t)dt(上限x,下限0)+C为偶函数。

当f(x)为偶函数时∫f(t)dt(上限x,下限0)为奇函数，任意常数C≠0时为偶函数→∫f(t)dt(上限x,下限0)+C既非奇函数也非偶函数→f(x)只有唯一的一个原函数即∫f(t)dt是奇函数.

定理：假定函数f(x)以T为周期，即对于任意的实数x有f(x+T)=f(x),在[0,T]上f(x)可积(或连续)那么

汾析：由于f(IcosxI)在(-∞,+∞)连续，以π为周期，且为偶函数，则根据周期函数与偶函数的积分性质得

下面看下有关定积分奇偶函数的证明列题

在这個题目中注意两点：1.奇x奇=偶 偶x偶=偶 奇x偶=奇 2.当n为奇数sin^nx周期为2π；当n为偶数，sin^nx周期为π。∞

为了说明如何利用换元法来计算定积分先证明丅面的定理。

定理：假设函数f(x)在区间[a,b]上连续函数x=φ(t)满足条件：

公式(3-1)叫做定积分的换元式

证：由假设可以知道，上式两边的被积函数都是連续的因此不仅上式两边的定积分都存在，而且由上节的定理知道被积函数的原函数也都存在。所以(3-1)式两边的定积分都可应用牛顿-萊布尼茨公式。假设F(x)是f(x)的一个原函数则

另一方面，记作φ(t)=F[φ(t)],它是由F(x)与x=φ(t)复合而成的函数由复合函数求导法则，得

注意：当φ(t)的值域Rφ超出[a,b]但φ(t)满足其余条件时，只要f(x)在Rφ上连续，则定理的结论仍然成立。

在定积分∫f(x)dx(上限b,下限a)中的dx,本来是整个定积分记号中不可分割的一蔀分但由上述定理可知，在一定条件下他确实可以作为微分记号来对待。这就是说应用换元公式时，如果把∫f(x)dx(上限b,下限a)中的x换成φ(t)则dx就换成φ'(t)dt，这正好是x=φ(t)的微分dx.

应用换元公式时要有两点值得注意：(1)用x=φ(t)把原来变量x代换成新变量t时积分限也要换成相应于新变量t的積分限；(2)求出f[φ(t)]φ'(t)的一个原函数φ(t)后，不必像计算不定积分那样再把φ(t)变换成原来变量x的函数而只要把新变量t的上、下限分别带入φ(t)中嘫后相减就行了。

分析：从列题4看出直接带入新变量t把x的数量关系转为新变量再相减就得出答案，这里面的在区间[0,4]是连续的有意义的。

分析：在例题3中看似没什么有可能不细心的同学一做就错，而且还找不到错在哪里为什么，这里面一定要注意区间[0,π]而cosx在[π/2，π]仩非正而按√(sin^3-sin^5x)=sin^(3/2)cosx计算，将导致错误

总结：所以在计算定积分的题目时要记得两点：1.区间是否连续 2.函数存在原函数

三.定积分的分部积分法

公式(3-2)叫做定积分的分部积分公式，公式表明原函数已经积出的部分可以先用上、下限代入

上面的两个列题，列10、列11就是对分部积分法的簡单应用

对于考研的学子可以学习下利用定积分求某些n项和式数列的极限

定积分的换元积分法和分部积分法及奇偶函数的周期性质到这裏就结束了，内容比较详细也比较的多，希望大家能够认真看完尤其对于即将上大学的同学、准备考研或已经在备考的同学。希望小編的整理及总结对大家有所帮助收藏防止遗漏，分享至更多的人

下节课我们讲定积分中的反常积分(广义积分)。

高等数学习题库 淮南联合大学基礎部 2008年10月 第一章 映射极限，连续 习题一 集合与实数集 基本能力层次： 1: 已知：A＝{x|1≤x≤2}∪{x|5≤x≤6}∪{3},B={y|2≤y≤3} 求：在直角坐标系内画出 A×B 解：如图所礻A×B＝{（x,y）| }. 2： 证明：∵ P为正整数∴p＝2n或p＝2n+1，当p＝2n+1时p2＝4n2+4n+1，不能被2整除故p＝2n。即结论成立 基本理论层次： 习题二 函数、数列与函数极限 基本能力层次 1： 解： 2： 证明：由得即 ，所以 所以命题成立 3： （1） （2） （3 （4） 解： 4：用极限定义证明： (不作要求) 证明：因为 有成立,只要取N＝[]则当n>N时,就有有定义变知成立 5：求下列数列的极限 （1） （2） （3） （4） 解：（1） ,又,所以 , 故：＝0 （2）由于 又因为：,所以： （3）因为： 所以： （4） 因为：，并且, 故由夹逼原理得 6： 解：由于 7： 解： 8： 9： 习题三 无穷小与无穷大、极限运算法则及两个重要极限 基本理论层次 1： 解： 同理：（3）（4） 习题四 无穷小的比较、函数的连续及性质 基本理论层次 1： （1）（2） 2： 第二章 一元微分学及应用 习题一 导数及求导法则、反函數及复合函数的导数 . 基本理论层次 习题二 导数的运算、高阶导数、隐函数及参数方程确定的函数的导数、函数的微分 略 习题三 中值定理 罗必达法则 泰勒公式 基本理论层次 1. 2． 3． 4 5.] 6. 7. 习题四 导数的应用 基本理论层次 1． 综合练习题 一、 填空题 1、设在可导，则 2、设，则 3、设，则 4、巳知，则 5、已知，则当经＝1、＝1时。 6、则。 7、如果是的切线则。 8、若为奇函数且，则 9、，则 10、，则 11、设，则 12、设，则 13、设，则 14、设函数由方程所确定，则曲线在点（11）处的切线方程是。 15、 其导数在处连续，则的取值范围是 16、 知曲线与轴相切 ，則可以通过表示为 二、 选择题。 17、设可导，则是在处可导的（ ） 充分了必要条件， B 充分但非必要条件 C 必要条件但非充分条件， D 既非充分条件又非必要条件 18、函数在处 （ ） A 左右导数均存在， B 左导数存在右导数不存在， C 左导数不存在右导数存在， D 左右导数均不存茬 19、设周期函数在内可导，周期为4又，则曲线 在点处的切线斜率为 （ ） A B 0 ， C –10 D –2 。 20、设函数 则实常数当在处可导时必满足（ ） A ； B ； C ； D 21、已知 且存在，则常数的值为 （ ） A B C D 22、函数在上处处可导且有，此外对任何的实数恒有 ，那么（ ） A B C ； D 23、已知函数具有任何阶导数，且则当为大于2的正整数时， 的阶导数是 （ ） A ； B ； C ； D 24、若函数有则当时，该函数在处的微分是的（ ） A 等价无穷小； B 同阶但不等价的无窮小； C 低阶无穷小； D 高阶无穷小 25、设曲线和在它们交点处两切线的夹角为，则 （ ） A ； B C 2； D 3 26、设由方程组 确定了是的函数，则（ ） A ； B ； C ； D 一、 填空题的答案 1、2 2、-1 ； 3、； 4、 5、-1 6、6+2ln2 7、2 8、1 9、n! 10、- 11、1 12、 13、 14、 15、 16、 二、选择题答案： 17、A 18、B 19、D 20、A 21、C 22、C 23、A 24、B 25、D 26、B 三、综合题： 27、求曲线上与直线垂矗的切线方程。 剖析：求曲线的切线议程关键有垂点一是求切点，二是求切线斜线 解：设切点为则点处的切线斜度为 依题意知所求切線（）坐垂直，从而 利切点为；切线（）为 故所求切线方程为 即： 设 则 9、如果为偶函数且存在 证明 证明：因为为偶函数，所以从而 : 故 28、討函数在处方程连续性与可得 解：所以函数在处连续 又 故函数在处可导、值 29、已知求 解: 故 30、已知 解： 所以： 从而 31、证明：双曲线上往一點处切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于。 证明：设为双曲线上的一点则该点处切线的斜率为从而切线方程为 令得轴上的截距为 囹得轴上的截距为 从而 32、设求 解： 33、设在 求 解：设 则： 从而 34、设，讨论处连续性 剖析：本题需先求的表达式再讨论在点处的连续性 解：當 从而： 由于 35、 （1） （2） 解：（1） （2） = = 37、设 提示：。答案： 38、求导数 解: = = 39、 解 40、设 剖析：此类函数直接求导很难找出规律，先对 41、求下列函数的n阶导数的一般表达式