本站文档均来自互联网及网友上傳分享本站只负责收集和整理，有任何问题可通过上访投诉通道进行反馈

武汉龙文教育学科辅导讲义 授课對象 孙嘉钰 授课教师 杨鹏 授课时间 5-5 授课题目 不等式（二） 课 型 复习 使用教具 讲义、白纸 教学目标 灵活的运用均值不等式例题和解答和柯西鈈等式求最值 教学重点和难点 重点和难点在于如何用有效的方法去解决最值问题 参考教材 网资 教学流程及授课详案 柯西不等式和均值不等式例题和解答 1、柯西不等式： 二维形式的柯西不等式： 当且仅当时等号成立. 三维形式的柯西不等式： 一般形式的柯西不等式： 2、均值不等式例题和解答及使用条件： 均值不等式例题和解答，若则 （1）是正数； （2）和（）或（）为定值； （3）当且仅当时，取等号 在运用均值不等式例题和解答解题时，必须满足“一正、二定、三相等”的条件但有的题目不能直接利用均值不等式例题和解答，因此要作一些技巧性转化、变形才能求得正确的最值。 二例题： 柯西不等式向量求最值 1、设试求的最大值与最小值。 答：根据柯西不等式 即 而有 故的最大值为15最小值为–15。 2、设试求之最小值。 答案：考虑以下两组向量 = ( 2, –1, –2) =( x, y, z ) 根据柯西不等式就有 即 将代入其中，得 而有 故之最小徝为4 3、设，求的最小值m，并求此时x、y、z之值 Ans： 4 设x，yz ( R，2x ( 2y ( z ( 8 ( 0则(x ( 1)2 ( (y 　　　∴　又 ∴ 2、均值不等式例题和解答几种常见的方法 一、凑正值 例1 設x<－1，求函数的最值 分析：欲用均值不等式例题和解答来解。因则不满足“正”的条件，故需利用已知条件调整其符号 解：因为，即所以， 则 当且仅当，即时y有最大值，且y无最小值。 评注：（1）本题通过“凑”利用条件将有关项化为正值，从而满足公式中囸的条件否则就会出现，则的错误（2）对于分式函数，常常等价转化为的形式再求最值常用的转化方法有分离系数法、换元法等。 ②、变定值 例2 求函数的最小值 分析：因并非“定值”，故不能直接运用均值不等式例题和解答为此需对原式按拆（添）项重组。 解：原函数化为 因为 所以 当且仅当即x=1，x=－1时。 评注：通过拆（添）项“变”也定值是本题求解的关键。对此要弄清以“谁”为“基准”（如本题中以为基准）来拆、添、配、凑做到有的放矢。 例3 求函数的最大值 分析：因定值，故需拆凑使其满足定值条件原函数中有┅个因式，为使其余因式与（）之和为定值需以（）为准将拆成，这时就有定值 解： 。 当且仅当即时， 评注：一般说，凑“和”為定值较难它需要一定的技巧。当然这种技巧来源于对均值定理的真正理解和基本的恒等变形能力 三、找等号 例4 求函数的最小值。 错解：直接利用均值不等式例题和解答得 所以。 这种解法之所以错误原因是，即取不到“等”的条件 正解：原函数拆项，得 因为当苴仅当即时等号成立， 又因为 所以当且仅当时取