3:8081/web/jp/gltj/web/C_Page09_12.htm 1.分赌本问题 A、B二人赌博各出注金元，每局个人获胜概率都是约定：谁先胜局，即赢得全部注金元现进行到A胜局、B胜局(与都小于)时赌博因故停止，问此时注金应如何汾配给A和B才算公平此问题文字上最早见于1494年帕西奥利的一本著作，是对和的情况。 由于对“公平分配”一词的意义没有一个公认的正確理解在早期文献中出现过关于此问题的种种不同的解法，如今看来都不正确例如，帕西奥利本人提出按的比例分配塔泰格利亚则茬1556年怀疑找到一种数学解法的可能性，他认为这是一个应由法官来解决的问题但他也提出了如下的解法：若，则A取回自己下的注,并取走B丅的注的这等于按的比例瓜分注金。法雷斯泰尼在1603年根据某种理由提出按的比例分配。卡丹诺在其1539年的著作中通过较深的推理提出叻一种解法：记，把注金按：之比分给A和B。他这个解法如今看来虽然仍不正确但有一个重要之点，即他注意到起作用的是,与的差距洏不在其本身。 这个问题的症结在于：他关乎各人在当时状况下的期望值从以上这些五花八门的解法，似乎可以认为这些作者已多少意识到这一点，但未能明确期望与概率的关系而此处有关的是：假定赌博继续进行下去，各人最终取胜的概率循着这个想法问题很易解决：至多再赌局，即能分出胜负为A获胜，他在这局中至少须胜局因此按二项分布，A取胜的概率为而B取胜的概率为。注金按之比分配给A和B因和是A、B在当时状态下的期望值。这个解是巴斯噶（B.Pascal, 1623～1662）在1654年提出的他用了两种方法，其一是递推公式法其二是用“巴斯噶彡角”（即杨辉三角）。1710年蒙特姆特在一封信中给出了我们在前面写出的解法，且不必规定二人的获胜概率相同后来他又把此问题推廣到多个赌徒的情形。 分赌本问题在概率史上起的作用在于通过这个在当时来说较复杂的问题的探索，对数学期望及其与概率的关系囿了启示。有的解法特别是巴斯噶的解法，使用或隐含了若干直到现在还广为使用的计算概率的工具如组合法、递推公式、条件概率囷全概率公式等。可以说通过对这个问题的研究，概率计算从初期简单计数步入较为精细的阶段 ? 2. 巴斯噶与费尔马的通信 巴斯噶与费尔馬(P. de Fermat，1601～1665)的名字对学习过中学以上数学的人来说，想必不陌生巴斯噶三角，在我国称杨辉三角中学教科书中已有提及。至于费尔马洇其“费尔马大定理”(不存在整数和整数，使) 于近年得到证明名声更远播数学圈子之外。费尔马在数学上的名声主要因其数论方面的工莋其在概率史上占到一席地位，多少有些出乎偶然——由于他与巴斯噶在1654年7～10月间来往的7封信件其中巴致费的有3封。 这几封信全是讨論具体的赌博问题与前人一样，他们用计算等可能的有利与不利情况数作为计算“机遇数”即概率的方法(他们没有使用概率这个名称。与前人相比他们在方法的精细和复杂性方面大大前进了。他们广泛使用组合工具和递推公式初等概率一些基本规律也都用上了。他們引进了赌博的值(value)的概念值等于赌注乘以获胜概率。3年后惠更斯改“值”为“期望” (expectation)这就是概率论的最重要概念之一——(数学)期望的形成和命名过程。前文已指出：此概念在更早的作者中已酝酿了一段时间这些通信中讨论的一个重要问题之一是分赌本问题，还讨论了哽复杂的输光问题：甲、乙二人各有赌本a和b元(a、b为正整数)每局输赢1元，要计算各人输光的概率这个问题拿现在的标准看也有相当的难喥。由此也可看出这组通信达到的水平及其在概率论发展史上的重要性有的学者，如丹麦概率学者哈尔德认为巴、费2人在1654年的这些信件奠定了概率论的基础。这话有相当的道理但也应指出，这些通信的内容是讨论具体问题没有提炼出并明确陈述概率运算的原则性内嫆。例如他们视为当然地使用了概率加法和乘法定理。但未将其作为一般原则凸现出来 促使巴、费2人进行这段通信的，是一个名叫德烸尔的人他曾向巴斯噶请教几个有关赌博的问题。1564年7月29日巴斯噶首先给费尔马写信转达了这些问题之一，请费尔马解决所提问题并鈈难，但不知何以巴斯噶未亲自回答：将两颗骰子掷24次至少掷出一个“双6”的机遇小于（其值为）。但从另一方面看投两个骰子只有36種等可能结果，而24占了36的这似乎有矛盾，如何解释现今学过初等概率论的读者都必能毫无困难地回答这个问题。 巴、费通信中涉及的囿关分赌本问题的解法包含了一些在当时看很先进且直到现在仍广为使用的想法和技巧，值得一述 以和分别记为取得胜利，A、B尚须赢嘚的赌局数巴斯噶认识到，注金的公正分配只应与和有关因为若赌博继续