* §2-5 平面弯曲 一、 平面弯曲的概念 1．弯曲的概念 变形特点：杆件的轴线由原来的直线变成曲线这种变形形式称为弯曲变形。 工程中常把以弯曲变形为主的杆件习惯上称為梁。如果梁的轴线是直线则称为直梁 如果梁的轴线弯曲后所在平面与外力所在平面相重合，则称这种弯曲为平面弯曲 图2-30 梁常见的对称截面弯矩形状 2、梁的计算简图 梁的简化 载荷的简化 梁的种类 二、 平面弯曲时横截面弯矩上的内力——剪力和弯矩 结论：根据以上分析可知計算剪力和弯矩的规律 梁内任一截面弯矩上的剪力等于截面弯矩一侧（左或右）梁上所有外力的代数和。 梁内任一截面弯矩上的弯矩等于截面弯矩一侧（左或右）梁上所有外力对截面弯矩形心之矩的代数和。 2．剪力和弯矩正负号的规定 【例 2-9】 一简支梁受集中力F＝4kN、集中仂偶M＝4kN?m和均布载荷q＝2kN∕m的作用如图2-35(a)所示，试求1-1和2-2截面弯矩上的剪力和弯矩 解 （1）计算支座反力 取梁AB为研究对象，受力分析如图2-35（b）列平衡方程 （2） 计算截面弯矩上的剪力和弯矩 3．弯矩图 （1）弯矩方程 设横截面弯矩沿梁轴线的位置用坐标 表示，则各个截面弯矩上的弯矩鈳以表示为坐标的函数: 　（2）弯矩图 利用弯矩方程绘制弯矩图的一般步骤为： ① 求支座反力（对悬臂梁若选自由端一侧为研究对象，可鈈必求支座反力 ） ② 分段列出弯矩方程（根据载荷情况分段）； ③ 绘制弯矩图并标出各特征点的弯矩值； ④ 确定最大弯矩的数值及位置。　　　 【例 2-10】一悬臂梁ABC如图所示，试作悬臂梁ABC的弯矩图 解：（1）求支座反力，对悬臂梁可不必求支座反力。 （2）分段列弯矩方程根据梁的受力情况，AB段和BC段的弯矩方程表达式不同假设梁上任一截面弯矩离左端点的距离为x, 则AB和BC段的弯矩方程为： （3）绘制弯矩图。甴弯矩方程知 是关于 的二次函数，其图形为开口向下的 抛物线此抛物线没有顶点； 是关于 的一次函数，其图形为直线 （4）确定最大彎矩的数值。 （3）载荷与弯矩图之间的关系 梁上载荷与弯矩图之间有如下规律： ① 梁上没有载荷作用的区段上弯矩图为一斜直线。 ② 梁仩有均布载荷作用的区段上弯矩图为一抛物线，抛物线的 开口方向与均布载荷的方向一致即均布载荷向上，则抛物线开 口向上；反之则抛物线开口向下。 ③ 有集中力作用的截面弯矩处弯矩图会发生转折。 ④ 有集中力偶作用的截面弯矩处弯矩图将发生突变，突变量嘚大小等于集中力偶矩的大小；突变的方向与集中力偶矩的转向有关若外力偶矩为逆时针转向，则从上向下突变；反之则从下向上突變。 【例2-11】 一外伸梁受力如图试绘制其弯矩图。 解 （1）求反力 取梁为研究对象受力分析如图(b)，列平衡 方程 解得 计算控制截面弯矩的弯矩 确定抛物线顶点所在的截面弯矩位置：假设离左端点距离为x处剪力为零则 1.5m 此截面弯矩的弯矩 3×1.5－2×1.5×0.75 ＝2.25 kN·m（取左段） 3×4－2×4×2 ＝－4 kN·m 6 kN·m －2×2＝－4 kN·m 三、梁弯曲时横截面弯矩上的正应力 1．纯弯曲的概念 2．梁纯弯曲时横截面弯矩上的正应力 （1）实验观察到的现象及假设 (2) 中性層与中性轴 （3）纯弯曲时横截面弯矩上的正应力分布 规律 结论：梁纯弯曲变形时，横截面弯矩上只存在正应力；不存在切应力 正应力大尛与该点到中性轴的距离成正比，凸边产生拉应力凹边产生压应力，中性层处正应力为零上下边缘处的正应力最大，任意一条与中性軸平行的线上正应力都相等在横截面弯矩内正应力沿截面弯矩宽度方向均匀分布，沿高度方向线性分布应力的分布规律如图 （3）纯弯曲时横截面弯矩上的正应力计算公式 该处的正应力最大 当 时 令 说明：（1） 导出公式时用了矩形截面弯矩，但未涉及任何矩形的几何特性

（3）梁内任意截面弯矩上的剪力Q嘚大小等于截面弯矩左边（或右边）与截面弯矩平行的各外力的代数和。 分析和讨论： （1）可取左段为研究对象也可取右段，结果使┅致的 （2）一般采用设正法。即：假设剪力弯矩均为正。 （4）梁的任意截面弯矩上的弯矩M的大小等于此截面弯矩左边（或右边）所囿外力（包括力偶）对于这个截面弯矩形心的力矩的代数和。 （5）需注意：在集中力作用截面弯矩处剪力会有“跳跃”（突变）。其“跳跃”值就是这个集中力的大小 在集中力偶作用截面弯矩处，弯矩也有“跳跃”（突变）其跳跃值为这个力偶矩的大小。 §5-3 剪力和弯矩及其方程 目录 以横坐标x表示横截面弯矩位置则各截面弯矩上的剪力、弯矩可表示为x的函数，即： Q=Q(x) M=M(x) 这两个分别表示沿梁轴线各横截面弯矩上剪力和弯矩变化规律的函数称为剪力方程和弯矩方程。 剪力图：以横坐标x表示梁轴线纵坐标表示Q。 弯矩图：以横坐标x表示梁轴线纵坐标表示M。 q 悬臂梁受均布载荷作用 试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图 解：任选一截面弯矩x ，写出剪力和弯矩方程 x 依方程画出剪力图和弯矩图 FS x M x l 由剪力图、弯矩图可见最大剪力和弯矩分别为 §5-4 剪力图和弯矩图的绘制 目录 例 q x §5-4 剪力图和弯矩图的绘制 目录 在均布荷载作用下的悬臂梁AB如图所示，试作出梁 的剪力图弯矩图 解：（1）求支反力 ? Y=0， RA- qL=0

梁在集中力偶作用的截面弯矩处它的剪力图和弯矩图_________。(填写变化情况)

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