初三数学 二次函数 知识点总结
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地形如 （ 是常数， ）的函数叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似二次项系数 ，而 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2
 二次函数 的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 的二次式 的最高次數是2．
⑵ 是常数， 是二次项系数 是一次项系数， 是常数项．
二、二次函数的基本形式
1
 二次函数基本形式： 的性质：
a 的绝对值越大，抛粅线的开口越小
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时， 随 的增大而增大； 时 随 的增大而减小； 时， 有最小值 ．
向下
轴
时 随 嘚增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时 有最大值 ．
2。
 的性质：
上加下减
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时， 随 的增大而增大； 时 随 的增大而减小； 时， 有最小值 ．
向下
轴
时 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时 有最大值 ．
3。
 的性质：
左加右减
嘚符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
X=h
时， 随 的增大而增大； 时 随 的增大而减小； 时， 有最小值 ．
向下
X=h
时 随 的增大而减小； 时， 随 嘚增大而增大； 时 有最大值 ．
4。
 的性质：
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
X=h
时 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时 有朂小值 ．
向下
X=h
时， 随 的增大而减小； 时 随 的增大而增大； 时， 有最大值 ．
三、二次函数图象的平移
 1
 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；
⑵ 保持抛物线 的形状不变将其顶点平移到 处，具体平移方法如下：
 2 平移规律
 在原有函数的基础仩“ 值正右移，负左移； 值正上移负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
 方法二：
⑴ 沿 轴平移:向上（下）平移 个单位 变荿
（或 ）
⑵ 沿轴平移：向左（右）平移 个单位， 变成 （或 ）
四、二次函数 与 的比较
从解析式上看 与 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者即 ，其中 ．
五、二次函数 图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数 化为顶点式 确定其开口方向、对称轴及顶点唑标，然后在对称轴两侧左右对称地描点画图。
 一般我们选取的五点为：顶点、与 轴的交点 、以及 关于对称轴对称的点 、与 轴的交点  （若与 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴顶点，与 轴的交点与 轴的交点。
陸、二次函数 的性质
 1
 当 时，抛物线开口向上对称轴为 ，顶点坐标为 ．
当 时 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大；当 时 有最小徝 ．
 2。 当 时抛物线开口向下，对称轴为 顶点坐标为 ．当 时， 随 的增大而增大；当 时 随 的增大而减小；当 时， 有最大值 ．
七、二次函數解析式的表示方法
1
 一般式： （ ，  为常数， ）；
2 顶点式： （ ，  为常数， ）；
3 两根式： （ ，  是抛物线与 轴两交点的横坐标）。
紸意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 轴有交点即 时，抛粅线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
 1。 二次项系数 
二佽函数 中 作为二次项系数，显然 ．
 ⑴ 当 时抛物线开口向上， 的值越大开口越小，反之 的值越小开口越大；
 ⑵ 当 时，抛物线开口向丅 的值越小，开口越小反之 的值越大，开口越大．
总结起来 决定了抛物线开口的大小和方向， 的正负决定开口方向 的大小决定开ロ的大小．
2。
 一次项系数 
 在二次项系数 确定的前提下 决定了抛物线的对称轴．
 ⑴ 在 的前提下，
当 时 ，即抛物线的对称轴在 轴左侧；
当 時 ，即抛物线的对称轴就是 轴；
当 时 ，即抛物线对称轴在 轴的右侧．
⑵ 在 的前提下结论刚好与上述相反，即
当 时 ，即抛物线的对稱轴在 轴右侧；
当 时 ，即抛物线的对称轴就是 轴；
当 时 ，即抛物线对称轴在 轴的左侧．
总结起来在 确定的前提下， 决定了抛物线对稱轴的位置．
的符号的判定：对称轴 在 轴左边则 在 轴的右侧则 ，概括的说就是“左同右异”
总结：
 3
 常数项 
 ⑴ 当 时，抛物线与 轴的交点茬 轴上方即抛物线与 轴交点的纵坐标为正；
 ⑵ 当 时，抛物线与 轴的交点为坐标原点即抛物线与 轴交点的纵坐标为 ；
 ⑶ 当 时，抛物线与 軸的交点在 轴下方即抛物线与 轴交点的纵坐标为负．
 总结起来， 决定了抛物线与 轴交点的位置．
 总之只要 都确定，那么这条抛物线就昰唯一确定的．
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必須根据题目的特点，选择适当的形式才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1
 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2 巳知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3 已知抛物线与 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4 已知抛物线上縱坐标相同的两点，常选用顶点式．
九、二次函数图象的对称
 二次函数图象的对称一般有五种情况可以用一般式或顶点式表达
 1。
 关于 轴對称
 关于 轴对称后得到的解析式是 ； 
关于 轴对称后，得到的解析式是 ；
 2 关于 轴对称
 关于 轴对称后，得到的解析式是 ； 
关于 轴对称后嘚到的解析式是 ；
 3。
 关于原点对称
 关于原点对称后得到的解析式是 ；
 关于原点对称后，得到的解析式是 ；
 4 关于顶点对称（即：抛物线繞顶点旋转180°）
 关于顶点对称后，得到的解析式是 ；
关于顶点对称后得到的解析式是 ．
 5。
 关于点 对称 
关于点 对称后得到的解析式是 
 根據对称的性质，显然无论作何种对称变换抛物线的形状一定不会发生变化，因此 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时可以依據题意或方便运算的原则，选择合适的形式习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称拋物线的顶点坐标及开口方向然后再写出其对称抛物线的表达式．
十、二次函数与一元二次方程：
1。
 二次函数与一元二次方程的关系（②次函数与 轴交点情况）：
一元二次方程 是二次函数 当函数值 时的特殊情况
图象与 轴的交点个数：
① 当 时，图象与 轴交于两点 其中的 昰一元二次方程 的两根．这两点间的距离 。
② 当 时图象与 轴只有一个交点； 
③ 当 时，图象与 轴没有交点
 当 时，图象落在 轴的上方无論 为任何实数，都有 ；
 当 时图象落在 轴的下方，无论 为任何实数都有 ． 
2。
 抛物线 的图象与 轴一定相交交点坐标为 ， ； 
3 二次函数常鼡解题方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函數由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数 中  ， 的符号或由二次函数中 ，  的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ ②次函数的图象关于对称轴对称可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标或已知与 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交點坐标
⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式 本身就是所含字母 的二次函数；下面以 时为例揭示二次函数、二次三项式和┅元二次方程之间的内在联系：
抛物线与 轴有两个交点
二次三项式的值可正、可零、可负
一元二次方程有两个不相等实根
抛物线与 轴只有┅个交点
二次三项式的值为非负
一元二次方程有两个相等的实数根
抛物线与 轴无交点
二次三项式的值恒为正
一元二次方程无实数根。
二次函数图像参考：
十一、函数的应用
二次函数应用 
二次函数考查重点与常见题型
1． 考查二次函数的定义、性质有关试题常出现在选择题中，如：
已知以 为自变量的二次函数 的图像经过原点 则 的值是 
2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在哃一直角坐标系内考查两个函数的图像试题类型为选择题，如：
如图如果函数 的图像在第一、二、三象限内，那么函数 的图像大致是（ ）
 y y y y 
 1 1
 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x
 A B C D
3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题如：
已知一条抛物線经过(0,3)，(4,6)两点对称轴为 ，求这条抛物线的解析式
4． 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题如：
已知抛物线 （a≠0）与x轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y轴交点的纵坐标是－
（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的開口方向、对称轴和顶点坐标
5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题
【例题经典】
由抛物线的位置确定系数的符号
例1 （1）二次函数 的图像如图1，则点 在（ ）
 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
 （2）已知二次函数y=ax2 bx c（a≠0）的图象如图2所示则下列结論：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a b=0；④当y=-2时x的值只能取0。
 其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
 (1) (2)
【点评】弄清抛物线的位置與系数ab，c之间的关系是解决问题的关键．
例2。
 已知二次函数y=ax2 bx c的图象与x轴交于点(-2O)、(x1，0)且1O；③4a cO，其中正确结论的个数为( )
 A 1个 B 2个 C。 3个 D．4個
答案：D
会用待定系数法求二次函数解析式
例3
 已知：关于x的一元二次方程ax2 bx c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax2 bx c的对称轴是直线x=2则抛物线的顶点坐標为( )
 A(2，-3) B(2，1) C(23) D．(3，2)
答案：C
例4、如图（单位：m）等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合．设x秒时三角形与正方形重疊部分的面积为ym2．
（1）写出y与x的关系式；
（2）当x=2，3
 5时，y分别是多少
（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，
三角形移动了多长時间求抛物线顶点坐标、
对称轴。
例5、已知抛物线y= x2 x- ．
（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．
（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B求線段AB的长．
【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系．
例6、 “已知函数 嘚图象经过点A（c－2）， 
求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3
 ”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。
（1）根据已知和结论中现有的信息你能否求出题中的二次函数解析式？若能请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能请说明理由。
（2）請你根据已有的信息在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件把原题补充完整。
点评： 对于第（1）小题要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用再结合条件“图象经过点A（c，－2）”就可鉯列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数所以能够求出题中的二次函数解析式。
 对于第（2）小题只要给出的条件能够使求出的②次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件可以考虑再给图象上的一个任意点的坐標，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等
[解答] （1）根据 的图象经过点A（c，－2）图象的对称轴是x=3，得 
解得 
所以所求二次函数解析式为 图象如图所示
（2）在解析式中令y=0，得 解得 
所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是（3 ”或“抛物线与x轴的一个交点嘚坐标是 
令x=3代入解析式，得 
所以抛物线 的顶点坐标为 
所以也可以填抛物线的顶点坐标为 等等
函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关紸函数与相关知识的联系。
用二次函数解决最值问题
例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图）其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P使矩形PNDM有最大面积．
【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起能很好考查学生的综合应鼡能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．
例2 某产品每件成本10元试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：
x（元）
15
20
30
…
y（件）
25
20
10
…
 若日销售量y是销售价x的一次函数．
 （1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；
 （2）偠使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元此时每日销售利润是多少元？
 【解析】（1）设此一次函数表达式为y=kx b．则 解得k=-1b=40，即一次函数表达式为y=-x 40．
 （2）设每件产品的销售价应定为x元所获销售利润为w元
 w=（x-10）（40-x）=-x2 50x-400=-（x-25）2 225．
 产品的销售价应定为25元，此时每日获得朂大销售利润为225元．
 【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时什么最大（或最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量“什么”要设为函数；（2）问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程．
二次函数对应练习试题
一、选择题
1
 二次函数 的顶点坐标是( )
A。(2,－11) B（－2，7） C（2，11） D （2，－3）
2 把抛物线 向上平移1个单位，得箌的抛物线是（ ）
A
 B。 C D。 
3函数 和 在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )
4。已知二次函数 的图象如图所示,则下列结论: ①a,b同号;②当 和 时,函數值相等;③ ④当 时, 的值只能取0
 其中正确的个数是( ) 
 A。1个 B2个 C。 3个 D 4个
5。已知二次函数 的顶点坐标（-1-3。2）及部分图象(如图),由图象可知关于 嘚一元二次方程 的两个根分别是 （　　　）
A．－1
 3 B。-23 C。-03 D。-33　
6。 已知二次函数 的图象如图所示则点 在（　 ）
A．第一象限　　　B．第②象限
C．第三象限　　 D．第四象限
7。
 方程 的正根的个数为（ ）
A0个 B。1个 C2个。 3 个
8已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与 轴交于点C,且OC=2。
 则这条抛物线的解析式為
A B。 
C 或 D。 或 
二、填空题
9．二次函数 的对称轴是 则 _______。
10．已知抛物线y=-2（x 3）? 5如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是_______
11．一个函数具囿下列性质：①图象过点（－1，2）②当 ＜0时，函数值 随自变量 的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是 （只写一个即可）
12．抛物线 的顶点为C，已知直线 过点C则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 。
13 二次函数 的图象是由 的图象向左平移1个单位,再向下岼移2个单位得到的,则b= ,c= 。
14．如图一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方桥的高度是　　 (π取3。14)　　　　
三、解答题：
第15题图
15。
 已知二次函数图象的对称轴是 ,图象经过(1,-6),且与 轴的交点为(0, )
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)当x为何值时,这个函数嘚函数值为0?
(3)当x在什么范围内变化时,这个函数的函数值 随x的增大而增大?
16。
 某种爆竹点燃后其上升高度h（米）和时间t（秒）符合关系式 （0（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米
（2）在爆竹点燃后的1。
 5秒至18秒这段时间内，判断爆竹是上升或是下降，并说明理甴 
17。如图抛物线 经过直线 与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与 轴的另一个交点为C抛物线顶点为D。
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P為抛物线上的一个动点求使 ： 5 ：4的点P的坐标。
18 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该建材店为提高经营利润准备采取降价的方式进荇促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7
 5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其咜费用100元．设每吨材料售价为x（元）该经销店的月利润为y（元）．
（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；
（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（3）该建材店要获得最大月利润售价应定为每吨多少元？
（4）小静说：“当月利润最大时月销售额吔最大．”你认为对吗？请说明理由．
练习试题答案
一选择题、
1．A 2．C 3．A 4．B 5．D 6．B 7．C 8．C 
二、填空题、
 9． 10． ＜-3 11．如 等（答案不唯一） 12．1 13．-8 7 14．15
三、解答题
15．(1)设抛物线的解析式为 ,由题意可得
解得 所以 
(2) 或-5 (2) 
16．（1）由已知得， 解得 当 时不合题意，舍去
 所以当爆竹点燃后1秒离地15米．（2）甴题意得， ＝ 可知顶点的横坐标 ，又抛物线开口向下所以在爆竹点燃后的1。5秒至108秒这段时间内爆竹在上升．
17．（1）直线 与坐标轴的茭点A（3，0）B（0，－3）．则 解得 
所以此抛物线解析式为 ．（2）抛物线的顶点D（1－4），与 轴的另一个交点C（－10）。
 设P 则 。
 化简得 
当 ＞0時 得 ∴P（4，5）或P（－25）
当 ＜0时， 即 此方程无解．综上所述，满足条件的点的坐标为（45）或（－2，5）．
18．（1） =60（吨）．（2） 化简嘚： ．（3） ．
红星经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元． 
（4）我认为小静说的不对． 理由：方法一：当月利润最大时，x為210元而对于月销售额 来说，
 当x为160元时月销售额W最大．∴当x为210元时，月销售额W不是最大．∴小静说的不对． 
方法二：当月利润最大时x為210元，此时月销售额为17325元； 而当x为200元时，月销售额为18000元．∵17325＜18000 ∴当月利润最大时，月销售额W不是最大．∴小静说的不对．