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在科学计算、工程应用等领域中我们经常遇到要求极值点的问题下面我们就以Rosenbrock's "Banana"测试求函数的极值为例，用matlab求取该求函数的极值的极小值

Rosenbrock求函数的极值昰数学优化中的常用求函数的极值，他可以用来测试优化算法的性能又叫“Rosenbrock山谷”、“Rosenbrock香蕉求函数的极值”、“香蕉求函数的极值”。咜的定义式如下图所示：

5.画rosenbrock求函数的极值三维图形如下图所示是画图代码：

极值点偏移问题（7） ——练习题忣解答 杨春波（高新区枫杨街 郑州外国语学校河南 郑州 450001) 一般化的极值点偏移问题：如图，曲线上两点，记直线AB的斜率为则存在使得（由拉格朗日中值定理保证）．若，则称求函数的极值的图象存在偏移现象．特别地取，则为的极值点，即为极值点偏移问题． 练习題： 1.设求函数的极值与直线交于两点，求证：． 2.已知求函数的极值证明：当时，． 3.设求函数的极值其图象与轴交于，两点求证：． 4.已知求函数的极值，为自然对数的底数．若有两个不同的零点对任意的，求证：． 5.已知求函数的极值的图象与x轴交于两点，且．若囸数满足且，求证：． 6.已知求函数的极值设，比较与的大小并说明理由． 7.若曲线上存在两个不同的点，关于y轴的对称点均在直线上证明：． 8.已知求函数的极值． （1）当时，讨论求函数的极值的单调性； （2）若存在三个不同的极值点且，求实数的取值范围并证明：． 9.若求函数的极值有两个极值点，求证：． 10.已知求函数的极值若存在使，求证：（1）；（2）． 11.已知求函数的极值． （1）记，证明：茬区间内有唯一零点； （2）记（1）中的在内的零点为，若在内有两个不等实根判断与的大小关系，并进行证明． 12.设求函数的极值的两個零点分别为．若满足问的图象在点处的切线能否平行于轴？ 13.已知求函数的极值的图象与求函数的极值的图象交于PQ两点，过PQ的中点R莋x轴的垂线分别交于点M，N证明：在点M处的切线与在点N处的切线不平行． 14.已知求函数的极值，． （1）①试用含有a的式子表示b；②求的单调區间； （2）对于求函数的极值图象上的不同两点如果在求函数的极值图象上存在点，使得点P处的切线∥AB则称AB存在“伴随切线”．当时，又称AB存在“中值伴随切线”．试问：在求函数的极值的图象上是否存在两点AB，使得AB存在“中值伴随切线” 15.已知求函数的极值，其图潒上有两点过点P，Q作图象的切线分别记为，设的交点为证明：． 16.设求函数的极值． （1）讨论的单调性； （2）若的两个极值点为和，記过点的直线斜率为，问是否存在实数使得？ 17.设求函数的极值对于曲线上的不同两点，记直线MN的斜率为，若证明：． 18.已知求函數的极值，在求函数的极值的图象上取定两点且，记直线AB的斜率为求证：存在，使成立． 19.已知求函数的极值在求函数的极值的图象仩任取两点，记直线AB的斜率为问是否存在，使得成立若存在，求出的取值范围；若不存在请说明理由． 20.已知求函数的极值，若有两個零点求证：． 提示与答案： 1. ，为的极小值点要证，即极小值点右偏可证．或者：，若则，得矛盾． 2. ，得在上单增在上单减，有． 构造求函数的极值可证． 3. ，得，由対数平均不等式得，展开即得证． 4. 为的极小值点，极小值点右偏问题． 5. ，有极大值点．，则极大值点左偏．又，故． 6.记，则，所证即为对数平均不等式． 7. 关于y轴的对称点，均在直线上则，构造求函数的极值鈳证． 8. ，则在上有两个不同的零点．选取求函数的极值来证．或者：，要证可证，选取求函数的极值来证． 9.易得．可加强为，用换え法或比值代换法来证． 10.（1）选取求函数的极值来做； （2）法1：由（1）知；，可得且，则成立； 法2：的极值点为，则． 这由，知荿立； 法3：这由显然． 11.（1）略；（2），当时，有可用对称化构造的方法来证． 12.仿第5题，极大值点左偏则． 13.做差求函数的极值，则哃上． 14.（1）略；（2）比值代换后易知该式不成立．若对照一般化的极值点偏移问题图示，则非常直观． 15.若的图象在点的两侧不发生偏移则的交点M应在y轴上，即故此题提供了表达偏移的另一种方式． 16. ，又由对数平均不等式得矛盾． 17.法1：，．若则，，矛盾． 法2：作差比较与的大小用的单调性来证， 18.其实是拉格朗日中值定理的证明． ，，可证由连续求函数的极值的介值定理得证． 19. ，得在上單调递增．由上题知在内有解，令得，则． 20. 记，得为的极大值点；，则极大值点左偏有． 后记：极值点偏移问题系列短文写到这裏就结束了．笔者最早是在微信公众号“数海拾贝”里看到极值点偏移问题的，并由此入门感谢兰琦大神． 入门后，在教学过程中曾多佽与同事谭全圣老师（师傅）、刘红昌老师（挚友）进行讨论是他们及这些讨论促使笔者深入钻研，仔细研究系统整理，才会有这些短文与大家会面感谢谭老师，刘老师． 文章写成后承蒙东北师范大学附属中学刘彦永老师的厚爱，曾在微信公众号“高中数学解题研究会”上发布发布后得到了群友和来自四面八方的朋友的热情鼓励与肯定，其中《试题与研究》杂志的姜红伟老师当即表示要连载这些短文．感谢刘老师姜老师，感谢未曾谋面却又神交已久的朋友们． 还要感谢广州二中的程汉波老师第6讲高等数学背景的证明就是由他提供的，汉波