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数学物理方程与特殊函数 第4章格林函数法 第四章 满足拉普拉斯方程的函数格林函数法 一 拉普拉斯方程边值问题的提法 1 第一边值问题（狄氏问题） 2 第二边值问题（牛曼问题） 3 内问题与外问题 4 调和函数：具有二阶偏导数并且满足满足拉普拉斯方程的函数连续函数 二 格林公式及其结论 格林公式的结论： 1 调和函數的积分表达式 满足拉普拉斯方程的函数基本解 2 牛曼内问题有解的必要条件 3 平均值公式 4 拉普拉斯方程解的唯一性问题 调和函数在区域内任┅点的值可以通过积分表达式用这个函数在区域边界上的值和边界上的法向导数来表示。 取 狄氏问题的解唯一确定牛曼问题的解除了相差一常数外也是唯一确定的。 三 格林函数 原点处点电荷电量 点电荷密度 处点电位 即 处点电荷电量 点电荷密度 处点电位 纯点源产生的场（鈈计初始条件和边界条件的影响） 自由空间的格林函数 线性系统 线性系统 1 格林函数定义 对泊松问题 对拉普拉斯问题 2 满足拉普拉斯方程的函數格林函 u，v均为调和函数 v为调和函数且满足 3 区域的格林函数和狄氏问题的解 电象法求格林函数 在区域外找出区域内一点关于边界的象点，在这两个点放置适当的电荷这两个电荷产生的电位在曲面边界上相互抵消。这两个电荷在区域中形成的电位就是所要求的格林函数 半空间的格林函数 v为调和函数，且满足 例1 求解下列定解问题 解： 数学物理方程与特殊函数 第4章格林函数法