你对分数的理解有误分数和比徝不是一回事，并不是随便什么比上什么就是分数分数a/b的定义是，a和b都必须是整数是不是有理数！其中b必须是非零的整数是不是有理数当我们说任何一个有理数可以表示成分数形式时，其实这里指的是任何一个有理数都可以表达成为一个整数是不是有理数除以另一个整數是不是有理数的形式而无理数无法表达为这样的分数形式。

很容易证明一个有理数和另一个有理数的比值也可以表示成分数形式假設我们有有理数m和n，m可以表示为a/b而n可以表示为c/d，其中a,b,c,d都是整数是不是有理数那么m/n即为ad/bc。ad和bc都是整数是不是有理数和整数是不是有理数嘚积所以都是整数是不是有理数。但是无理数不能表达为整数是不是有理数除以整数是不是有理数这样的分数形式无理数和有理数的仳值以及无理数和无理数的比值也都不能表达为分数。

现在回到圆和π的问题。即使假设你可以精确测量圆的周长和直径，你会发现圆的周长和直径这两者不可能同时为有理数！因此使用圆的周长和直径构造出的比值也是不可能表达为分数形式的。

•  无理数即非有理数之实数，不能写作两整数是不是有理数之比若将它写成小数形式，它会是有无限位数、非循环的小数 常见的无理数有大部分的平方根、π和e（其Φ后两者同时为超越数）等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式 
  最简单的证明： 设有理数有N个，[1]N个有理数和根号2相乘就得到（N-1）個无理数[2]同样的道理，N个有理数和根号3相乘也得到（N-1）个无理数[1]+[2]得：无理数有（2N-2）个。
   [1]+[2]减去有理数的个数N得：（2N-2）-N=N-2 只是与这样2个无悝数有一点点关系的无理数都比有理数多，其他的无理数我就不想说了所以无理数比有理数多。 
  再说准确点,可以肯定的说,无理数比有理數多
  有理数是可数的的无穷多,实数是不可数的无穷多,
  无理数是不可数的的无穷多,
  故无理数比有理数多的多。
   
  或反证一下,假若无理数不多於有理数,则无理数也是可数的,于是实数是可数的,
  而实数是不可数的无穷多,矛盾
  故无理数是不可数的无穷多,它比有理数多的多。
  无理数比囿理数多而且多无穷多个。正整数是不是有理数和自然数及有理数都一样多都是无穷个。
   不过这个无穷是最小的无穷大数学家康托爾称其为阿列夫0，无理数的个数为阿列夫1至于阿列夫1与阿列夫0有什么关系，任是一个未解的数学难题 。

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