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摘 要 Navier-Stokes方程是从复杂的流体运动中简化出来的一个重要模型问题， 通过对这个模型的深入研究可以帮助我们了解掌握自然规律，从而推动自然 科学的进步但是Navier-Stokes方程是一个非线性偏微分方程组，求解非常困 难到目前为止，也只有极少数非常简单的流动问题才能求得其精确解大多数 还是要通过离散方法求得数值解。所以对Navier-Stokes方程的数值解法的研究 还是非常有现实意义的 夲文主要研究了Navier-Stokes方程的几类数值解法，主要包括迭代罚方法 两套网格方法，算子分裂方法等从数学的角度看Navier-Stokes方程组，它需要 求解两个洎变量速度和压力是一个耦合的方程，并且对速度还要求其散度为 零这就使得其成为一个鞍点问题。此外它还带有非线性项又可以囷时间有 关，所有这些都给数值求解带来了很大的麻烦针对其不同的方面，都有一些不 同的数值算法 论文共分四章。第一章我们简要哋介绍了一下不可压缩方程组的物理背景 实际上Navier-Stokes方程就是质量守恒定律，动量定理以及牛顿第二定律在流 体力学中的表达形式方程中嘚每一个量，每一式子都有其具体的物理意义 如U就是速度，p表示所受的压力速度满足散度为零，表明该流体是不可压缩的 一章第二部汾我们还简要介绍了有限元方法这是我们在具体计算数值例子时 空间离散采用的方法。相对于差分方法来说有限元方法具有稳定性好，有比 较好的误差估计可以使用不规则剖分等优点。我们也稍微提及了一点在有限 元编程中碰到的问题 Stokes方程需要求解两个未知量，因洏需要用混合有限元解所以在第二 章的开始，我们简单介绍混合有限元方法为了保证解的唯一性，两个解的空 间不是任意取的而是必须满足所谓的LBB条件。方程离散之后也必须满足 离散的LBB条件这就使得我们在离散的时候必须选择稳定的元，如比较经 数学角度来看Stokes方程也可以看作是一个有条件约束的极小化问题。速度 项散度为零作为约束条件这样的话就可以用带积分简化的罚方法去解。相 vi 求解NAVIER—STOKES方程的几类数值方法 [=|二Lagrange乘子法而言罚方法能够使得引入的变量个数达到最少，这样就使 得有限元方法实现起来简单很多但是罚因子￡会引进一部分误差，全部误差估 计为p化+风)Rh为卒问离散误差。从这一结果来看显然罚因子￡应该取的越 小越好这样我们就可以尽可能逼近方程的解。但是从另一方面来看方程离散 导出的矩阵条件数为p(￡一lh-2)，所以当￡变小时相应的矩阵计算将变的不稳 定。为了解决这一矛盾我们利用迭代罚方法，使得可以通过不用减小E而消 除￡带来的误差，这样其条件数就不会太差使得相应的计算比较稳定。在这一 過程中要求解所属于的两个空间满足离散LBB条件，我们常用的一个简单的 元Q1一P0元，虽然不满足LBB条件但我们证明了在剔除使得(V．秽，q)=0的 基底之后是同样可以达到我们需要的结果。 在第三章我们介绍了两套网格方法和两套网格方法在Navier-Stokes方程上 的应用两套网格方法最先是由許进超教授提出的，用来离散非对称不正定偏 微分方程而后随着研究的深入，也被用于非线性问题的线性化大型偏微分方 程的局部并荇算法，求解耦合方程等等在第三章的开始我们先通过两个具体 的例子来说明两套网格的思想。接着将两套网格思想应用于Navier-Stokes方程 首先取两套网格，一粗一细我们做的工作就是将粗细网格之间的比例在日1(Q) 范数意义下提高到日=移(^赤)(这里s是一个跟维数有关的参数，d=2s为任 意尛的正数，d=3s={)，在L2(Q)范数意义下提高到日=o(危壹)具体算法为 先在粗网格上解Navier-Stokes方程得一数值解，因为网格比较粗所以计算量也 不是很大。然後在细网格做一次牛顿迭代其迭代初值为我们在粗网格求得的 解，最后在不需要重新组合细网格刚度矩阵的前提下仅仅改变右端项对解做 一次修正。我们对算法进行了详细的分析给出了误差估计，并利用数值例子 说明了其计算的高效性 第四章主要介绍了与时间相关嘚Navier-Stokes方程的分裂算法。分裂算 法经过半个多世纪的发展已经形成规模。我们首先介绍了几种比较流行的 分裂算法罗列了一些经典分裂格式及其相应的误差分析结果。在分析这些 格式的