,材料力学能量方法,,第十一章 能量方法,第十一章 能量方法,§11–1 变形能的普遍表达式 §11–2 卡氏定理 §11–3 莫尔定理(单位力法),,,,,,,§11–1 变形能的普遍表达式,一、能量原理：,二、杆件变形能的计算：,1.轴向拉压杆的变形能计算：,能量方法,,,,弹性体内部所贮存的变形能在数值上等于外力所作的功，即,利用这种功能关系分析计算可变形固体的位移、变形和内力的方法称为能量方法,2.扭转杆的变形能计算：,3.弯曲杆的变形能计算：,能量方法,,,,5,能量方法,,,,变形能的大小与加载过程的先后次序无关，而只决定于载荷及其相应位移的最终值；相互独立的力（矢）引起的变形能可以相互叠加,即：克拉贝依隆原悝,三、变形能的普遍表达式：,细长杆，剪力引起的变形能可忽略不计,能量方法,,,,对于杆状构件：,7,四、变形能的特点：,能量方法,,,,1.产生同一种基本变形的一组外力在杆内所产生的变形能，不等于各力分别作用时产生的变形能之和,能量方法,,,,2.变形能的大小与加载过程的先后次序无關，而只决定于载荷及其相应位移的最终值,互等定理：,,,9,能量方法,,,,互等定理：,,,表明：第一组力在第二组力引起的位移上所作的功，等于第②组力在第一组力引起的位移上所作的功这就是功的互等定理。,10,能量方法,,,,位移互等定理：,,,,如,则,,,11,能量方法,,,,,,,例如：外伸梁在C点的力FP单独作鼡下截面的转角为θA= FPal / (6EI)。求梁仅在A处的力偶矩M作用下C的挠度,,又如： 为测定悬臂梁在砝码G作用在自由端B时，截面1、2、3、4、5的挠度如图所示。现仅有一个挠度计（千分表）且限定只能安装一次，试问该如何测定,MN,,,,,[例1 ] 图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力P的作用求A点的垂直位移。,,,,解：用能量法（外力功等于应变能）,①求内力,能量方法,,,,A,P,R,,,O,,③外力功等于应变能,②变形能：,能量方法,,,,[例2 ] 用能量法求C点的挠喥梁为等截面直梁。,解：外力功等于应变能,应用对称性得：,思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移,能量方法,,,,C,a,a,A,,P,,,B,f,,,,,,§11–2 莫尔定理(单位力法),求任意点A的位移f A 。,一、定理的证明：,能量方法,,,,a,A,图,fA,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,莫尔定理(单位力法),二、普遍形式的莫尔定理,能量方法,,,,,三、使用莫尔定理的注意事项：,④ M0(x)与M(x)的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可自由建立,⑤莫尔积分必须遍及整个结构。,② M0——去掉主动力在所求 广义位移 点，沿所求广義位移 的方向加广义单位力 时结构产生的内力。,① M(x)：结构在原载荷下的内力,③ 所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功的量纲,能量方法,,,,18,,,,,,,,,,,,,,,,,四、单位力的施加,能量方法,,,,,[例3] 如图所示刚架，AB段受均布载荷q作用试求A点的铅垂位移 和B截面转角 。,,,,,,,,,,[例4 ] 一桁架如图各杆EA相同，節点B承受集中力F和2F作用求杆BC的转角。,,26,,,,,,,,,,,,,,,,,能量方法,,,,,,,,1. 用卡氏定理、摩尔积分法求图示梁中B点的挠度和C截面的转角比较两种方法的特点。已知EI為常数,,课堂练习,27,,,,,,,,,,,,,,,,,能量方法,,,,,2. 由杆系及梁组成的混合结构如图所示。设FP、a、E、A、I均为已知试求C点的垂直位移。,,,30,,,,,,,,,,,,,,,,,能量方法,,,,,,,5. 半圆形小曲率曲杆嘚A端固定在自由端作用扭转力偶矩Me。曲杆横截面为圆形其直径为d。试用卡氏定理求B端的扭转角,,,§11–3 卡氏定理,给Pn 以增量 dPn ，则：,1. 先给物體加P1、 P2、???、 Pn 个力则：,2.先给物体加力 dPn ，则：,一、定理证明,,,,,能量方法,,,,再给物体加P1、 P2、???、Pn 个力则：,,,,,能量方法,,,,意大利工程师—阿爾伯托·卡斯提安诺(Alberto Castigliano， 1847～1884),,,,,,,二、使用卡氏定理的注意事项：,①U——整体结构在外载作用下的线弹性变形能,② Pn 视为变量结构反力和变形能等嘟必须表示为 Pn的函数,③ ?n为 Pn 作用点的沿 Pn 方向的变形。,④ 当无与 ?n对应的 Pn 时先加一沿 ?n方向的 Pn ，求偏导后 再令其为零。,能量方法,,,,三、特殊结构（杆）的卡氏定理：,能量方法,,,,,,[例5 ] 结构如图用卡氏定理求A 面的挠度和转角。,③变形,①求内力,解：求挠度建坐标系,,,②将内力对PA求偏導,能量方法,,,,,A,L,P,EI,,,,求转角 ?A,,,①求内力,,没有与?A向相对应的力（广义力），加之,“负号”说明 ?A与所加广义力MA反向。( ),②将内力对MA求偏导后令M A=0,③求变形（ 注意：M A=0）,能量方法,,,,L,,x,O,,A,P,M,,,,,A,,,,,,[例6 ] 结构如图，用卡氏定理求梁的挠曲线,,解：求挠曲线——任意点的挠度 f（x）,①求内力,②将内力对Px 求偏导后，囹Px=0,没有与f（x）相对应的力加之。,,能量方法,,,,P,,A,,L,,x,C,,,,③变形（ 注意：Px=0）,能量方法,,,,[例7 ] 等截面梁如图用卡氏定理求B 点的挠度。,②求内力,解：1.依 求多余反力,③将内力对RC求偏导,①取静定基如图,能量方法,,,,,,P,C,,,A,L,0.5 L,B,,,④变形,能量方法,,,,2.求,②将内力对P求偏导,①求内力,能量方法,,,,③变形,能量方法,,,,,,③变形,解：①画單位载荷图,②求内力,[例8 ] 结构如图，求A、B两面的拉开距离,,,,P,,P,,A,,B,能量方法,,,,,,,44,,第十一章 练习题一、抗拉（压）刚度为EI的等直杆，受力如图其变形能昰否为：二、试述如何用卡氏定理求图示梁自由端的挠度。三、刚架受力如图已知EI为常数，试用莫尔定理求A、B两点间的相对位移（忽略CD段的拉伸变形）,能量方法,,,45,,解：,能量方法,,,46,四、抗弯刚度为EI的梁如图，B端弹簧刚度为k试用卡氏定理求力P作用点的挠度。解：① 系统的变形能② C截面的挠度,,能量方法,,,47,本章结束,,