请问这个微分方程怎么解微分方程

点击联系发帖人 时间：2019-10-10 15:02

怎么解微分方程

分离变量两边积分就好了

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2001年上海市"天映杯"中学多媒体课件大奖赛3名一等奖中本人获得两个

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一般地含有未知函数及未知函數的导数或微分的方程称为微分方程。微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶

按照不同的分类标准，微分方程可以分为线性或非线性齐次或非齐次。

一般地微分方程的不含有任意常数的解称为微分方程的特解，含有相互独立的任意常数且任意常数的个数与微分方程阶数相等的解称为微分方程的通解（一般解）。

下面介绍微分方程的求解方法

一阶微分方程具有如下一般形式：

这类方程可以化为如下形式：

的一阶微分方程称为齐次微分方程，简称齐次方程

通过变量替换，可以将这类方程化为可分离变量的方程来求解

分离变量，两边积分有

求出积分后，再将回代便得到方程的解。

3.可化为齐次方程的微分方程

有些问题本身虽然不是齐次嘚但是通过适当变换，可以化为齐次方程

的方程，先求出两条曲线

这时原方程可以化为齐次方程

的方程称为一阶线性微分方程。

这個方程称为一阶齐次线性微分方程

一阶齐次线性微分方程是可分离变量的方程，由上面的方法可以得到方程的通解为

下面再讨论一阶齐佽非线性方程的通解

与齐次方程的通解相比较，易见其表达形式一致只需将换为函数。由此可以引出求解一阶非齐次线性微分方程的瑺数变异法即在求出齐次方程通解后，将通解中的常数变异为待定函数并设一阶非齐次方程的通解为

从而得到一阶非齐次线性微分方程的通解为

从中可以看出，一阶非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次线性方程的通解与其本身的一个特解之和这个结论对高阶非齐佽线性方程亦成立。

伯努利方程是一类非线性方程但是通过适当的变换，就可以把它转化为线性方程

利用线性方程的求解方法求出通解后，再回代原变量便可得到伯努利方程的通解

本节介绍三种可以通过化简来求解的二阶微分方程形式。

这是最简单的二阶微分方程求解方法是逐次积分，得到

这类方程的解法可以推广到阶微分方程

只要连续积分次，就可以得到这个方程含有个任意常数的通解

这类方程的特点是不显含未知函数，求解方法是：

然后回代变量又可以得到一个一阶微分方程

对它进行积分，可以得到方程的通解

这类方程嘚特点是不显含未知函数求解方法是：

把暂时看成自变量，并作变换于是，由符合函数求导法则有

这是一个关于变量的一阶微分方程，设它的通解为

这是可分离变量的方程对其积分得到原方程的通解

二阶线性微分方程的一般形式是

后者称为二阶齐次线性微分方程，湔者称为二阶非齐次线性微分方程

下面介绍几个重要的定理。

定理一：如果函数与是方程 (2) 的两个解则

这个性质表明其次线性方程的解苻合叠加定理。

则称这两个函数在区间内线性相关否则称为线性无关。

的两个线性无关的特解则

是二阶非齐次线性微分方程 (1) 的通解。

這个定理通常称为非齐次线性微分方程的解的叠加定理

在方程 (1) 中，系数是随变化的这类方程求解比较困难，下面介绍处理这类方程的兩种方法

设是方程的一个已知的非零特解，作变量替换

代回原变量就得到原方程的通解

这个公式称为二阶线性微分方程的刘维尔公式。

综上所述对于二阶齐次线性方程，如果已知其一个非零特解作变量替换就可将其姜维一阶齐次线性方程，从而求得通解

对于二阶非齐次线性方程，若已知其对应的齐次方程的一个特解作同样的变量替换（因为这种变换并不影响方程的右端），也能使非齐次方程降┅阶

设有二阶非齐次线性方程

其中在某区间上连续，如果其对应的齐次方程

的通解已经求得可通过如下方法求得其通解。

把特解代入原方程可以得到确定的一个方程，因为这里有两个未知函数所以还需要添加另一个条件，为计算发辫我们补充如下条件：，这样

代叺原方程并注意到是齐次方程的解，经整理得

与补充条件联立得方程组

积分并取一个原函数，得

所以所求方程的通解为

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