曲面的切平面与法向量 切平面方程 二、显式方程的情形 法曲线切向量的方向余弦弦： * 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学A电子教案 一、隐式方程的情形 ②、显式方程的情形 *三、参数方程的情形 第六节（2） 第九章 一、隐式方程的情形 设 有光滑曲面 通过其上定点 对应点 M, 切线方程为 不全为0 . 则 ? 在 苴 点 M 的切向量为 任意引一条光滑曲线 下面证明: 此平面称为 ? 在该点的切平面. ? 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都 在同一平面上. 证: 在 ? 上, 得 令 由于曲线 ? 的任意性 , 表明这些切线都在以 为法向量 的平面上 , 从而切平面存在 . 曲面 ? 在点 M 的法向量 法线方程 例1. 求球面 在点(1 , 2 , 3) 处的切 平面及法线方程. 解: 所鉯球面在点 (1 , 2 , 3) 处有: 切平面方程 即 法线方程 法向量 令 法向量 用 将 表示法向量的方向角, 并假定法向量方向 分别记为 则 向上, 切平面上点的竖坐标嘚增量 因为曲面在M处的切平面方程为 空间中的平面方程 几何意义 求 在点 处的 切平面和法线方程. 解1 令 则 切平面方程： 法线方程： 例3.

一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 三、小结 * 设空间曲线的方程 (1)式中的三个函数均可导. 考察割线趋近于极限位置——切线的过程 上式分母同除以 割线 的方程为 曲线在M处的切线方程 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. 法平面：过M点且与切线垂直的平面. 解 切线方程 法平面方程 1.空间曲线方程为 法平面方程为 特殊地： 2.空间曲线方程为 切线方程为 法平面方程为 所求切线方程为 法平面方程为 设曲面方程为 曲线在M处的切向量 在曲媔上任取一条通过点M的曲线 令 则 切平面方程为 法线方程为 曲面在M处的法向量即 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量. 特殊地：空间曲面方程形为 曲面在M处的切平面方程为 曲面在M处的法线方程为 令 切平面上点的竖坐标的增量 因为曲面在M处的切平面方程为 其中 解 切平面方程为 法线方程为 解 令 切平面方程 法线方程 解 设 为曲面上的切点, 切平面方程为 依题意切平面方程平行于已知平面，得 因为 是曲面上的切点 所求切点为 满足方程 切平面方程(1) 切平面方程(2) 空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线 （当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用推导法） （求法曲线切向量的方向余弦弦时注意符号）