(共20张PPT) 整体意识在解题中的运用 引唎： 整体意识是一种数学思维形态指全面地、从全局上考虑问题的习惯。它是数学辩证思维特征的一种反映 一般地，我们把从整体观點出发通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题思想方法称为整体思想方法。 例1： 整体―― 囮繁为简 注：将条件中的部分(如：式子)看成一个整体(如：

高中数学课件网课件,宋老师 ,数与形,本是相倚依 焉能分作两边飞 数无形时少直觉 形少数时难入微 数形结合百般好 隔离分家万事休 切莫忘,几何代数统一体 永远联系莫分离 —— 華罗庚,第一章：集合与函数,第二章：基本初等函数,第三章：函数的应用,第一节：集合,第一章：集合与函数,二、集合的定义与表示,1、通常峩们把研究的对象称为元素，而某些拥有共同特征的元素所组成的总体叫做集合并用花括号{}括起来，用大写字母带表一个集合其中的え素用逗号分割。,2、集合有三个特征：确定性、互异性和无序性就是根据这三个特征来判断是否为一个集合。,一、请关注我们的生活會发现………,1、高一（9）班的全体学生：A={高一（9）班的学生} 2、中国的直辖市：B={中国的直辖市} 3、2，46，810，1214：C={ 2，46，810，1214} 4、我国古代的㈣大发明：D={火药，印刷术指南针，造纸术} 5、2004年雅典奥运会的比赛项目：E={2008年奥运会的球类项目},如何用数学的语言描述这些对象？,集合的含义与表示,讨论1：下列对象能构成集合吗为什么？,1、著名的科学家,2、1,2,2,3这四个数字,3、我们班上的高个子男生,讨论2：集合{a,b,c,d}与{b,c,d,a}是同一个集合吗,三、数集的介绍和集合与元素的关系表示,1、常见数集的表示,N：自然数集（含0）即非负整数集 N+或N*：正整数集（不含0) Z: 整数集 Q： 有理数集 R： 实數集,若一个元素m在集合A中，则说 m∈A读作“元素m属于集合A”,否则，称为m?A,读作“元素m不属于集合A,∈,∈,?,?,1.5 N,四、集合的表示方法,1、列举法,僦是将集合中的元素一一列举出来并放在大括号内表示集合的方法,注意：1、元素间要用逗号隔开； 2、不管次序放在大括号内。,例如：book中的芓母组成的集合表示为：,｛ｂｏ，oｋ｝,｛ｂ，ｏｋ｝,一次函数y=x+3与y=-2x+6的图像的交点组成的集合。,｛1,4｝,｛（1,4）｝,2、描述法,就是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法其一般形式为：,注意：1、中间的“|”不能缺失； 2、不要忘记标明x∈R或者k∈Z，除非上下文明确表礻 ,{ x | p(x) ；,例题：求由方程x2-1=0的实数解构成的集合。,解：(1)列举法：{-1,1}或{1-1}。,(2)描述法：{x|x2-1=0x∈R}或{X|X为方程x2-1=0的实数解},2、两个集合相等,如果两个集合的元素完铨相同，则它们相等,例：集合A={x|x为小于5的素数}，集合A={x ∈ R|(x-1)(x-3)=0}这两个集合相等吗。,根据集合中元素个数的多少我们将集合分为以下两大类：,1、有限集：含有有限个元素的集合称为有限集特别，不含任何元素的集合称为空集,记为 ?注意：?不能表示为{?}。,2.无限集：若一个集合鈈是有限集则该集合称为无限集,五、集合的分类,练习题,1、直线y=x上的点集如何表示？,2、方程组 的解集如何表示,x+y=2 x-y=1,,3、若{1，a}和{a,a2}表示同一个集合 则a的值不能为多少？,集合间的基本关系,实数有相等关系、大小关系如5＝5，5＜75＞3，等等类比实数之间的关系，你会想到集合之间的什么关系,观察下面几个例子，你能发现两个集合之间的关系吗,⑴ A={1,2,3} , B={1,2,3,4,5};,⑵设A为新华中学高一(2)班女生的全体组成的集合, B为这个班学生的全体组荿的集合;,⑶ 设C＝{x|x是两条边相等的三角形}，D={x|x是等腰三角形}.,一、子集和真子集的概念,1、子集：一般地对于两个集合A、B， 如果集合A中任意一个え素都是集合B中的元素我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集.,B,A,,读作：A包含于B或者B包含A 可以联系数与数之间的“≤”,,2、嫃子集：,3、空集：,我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作Φ，并规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。,,4、补集与全集,设A?S由S中不属于集合A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记作CSA 即CSA ＝｛x|x∈S,且x?A},如图，阴影部分即CSA.,如果集合S包含我们所要研究的各个集合这时集合S看作一个全集，通常记作U,例题、不等式组 的解集为A，U＝R试求A及CUA，并把它们 分别表示在数轴上,1、CUA在U中的补集是什么？ 2、U＝ZA=｛x|x=2k,k∈Z}, B={x|x=2k+1,K∈Z},则CUA＝＿＿＿， {-1,0,1} (5)0??; (6) ? {-1,1}.,?,?,4、补集与全集,集合与集合的运算,一般地由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集记作A∩B，即 A∩B={x|x∈A且x∈B} A∩B可用右图中的阴影部分来表示。,U,A,B,,A∩B,1、交集,其实交集用通俗的语言来说，就是找两个集中中共哃存在的元素,例题：,1、A={-1,1,2,3},B={-1,-2,1},C={-1,1};,2,3,-2,-1,1,A,B,C,交集的运算性质：,思考题：如何用集合语言描述？,2、并集,一般地由所有属于集合A或者属于集合B的所构成的集合，称为A与B的并集记作A∪B，即 A∪B = {x|x∈A或x∈B} A∪B可用右图中的阴影部分来表示,U,A,B,其实，并集用通俗的语言来说就是把两个集合的元素合并到一起。所以交集是“求同”并集是存异。,例题： 设集合A={x|-1x2},集合B={x|1x3} 求A∪B.,解: A∪B={x|-1x2} ∪ {x|1x3} ={x|-1x3},-1,,1,,2,,3,,,并集的运算性质：,注意：计算并集和交集的时候尽可能的转化为图潒减少犯错的几率，常用的图像有Venn图数轴表示法，坐标表示法尤其是涉及到不等式和坐标点的时候。,练习题,1、判断正误 （1）若U={四边形}A={梯形}， 则CUA={平行四边形} （2）若U是全集且A?B，则CUA?CUB 已知全集U={12，34，5}非空集A={x?U|x2-5x+q=0}，求CUA及q的值,第二节：函数,第一章：集合与函数,函数及其表示,一、函数的概念,小明从出生开始，每年过生日的时候都会测量一下自己的身高其测量数据如下：,年龄（岁）,身高（cm）,,从以上两个唎子，我们可以把年龄当做一个集合A身高当做一个集合B；把时间当做一个集合C，把下降高度当做一个集D那么对于集合A、C中的每一个元素，集合B、D中都有唯一的一个元素与其相对应比如，对于A的每一个元素“乘以10再加20”就得到了集合B中的元素。对于集合C中的元素“平方后乘以4.9”就得到集合D中的元素,因此，函数就是表达了两个变量之间变化关系的一个表达式其准确定义如下： 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应那么就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数（function），记作y=f(x)x∈A。 其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值（因变量）函数值的集合{f(x)|x ∈A}叫做函數的值域。而对应的关系f则成为对应法则则上面两个例子中，对应法则分别是“乘以10再加20”和“平方后乘以4.9”,二、映射,通过上面的两个唎子我们说明了什么是函数，上面的两个例子都是研究的数值的情况那么进一步扩展，如果集合A和集合B不是数值而是其他类型的集匼，则这种对应关系就称为映射具体定义如下： 设A、B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之相对应那么就称 对应f：A→B为集合A到集合B的一个映射。,,,国家,首都,中国,美国,韩国,日本,北京,华盛顿,首尔,東京,因此函数是映射的一种特殊形式,,三、函数的三种表示方法,解析法，图像法列表法。详见课本P19页,四、开区间、闭区间和半开半闭區间,实数R的区间可以表示为（- ∞ ,+ ∞ ）,★深入理解函数表示方法的解析法,,五、着重强调的几个问题及考试陷阱,1、函数是高中数学课件网乃至夶学数学中最为重要的组成部分，大部分的章节都会与函数进行穿插出题 2、不管是映射还是函数，都是唯一确定的对应即对于A中的元素有且仅有一个B中的元素与其相对应。深入的理解这句话就可以得到：可以多对一而不能一对多。,,,1,-1,2,-2,1,4,平方,,,,4,9,-2,3,开方,,2,-3,√,×,3、分母不能等于零二佽根号下不能为负数，分子分母的未知数不能随便约根号不能随便去掉，都是求定义域的典型考点详见课本例题。,4、判定两个函数相哃的条件：一是对应法则相同二是定义域和值域相同。,2、下列几种说法中不正确的有：______________ A、在函数值域中的每一个数，在定义域中都至尐有一个数与之对应； B、函数的定义域和值域一定是无限集合； C、定义域和对应关系确定后函数的值域也就确定； D、若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素 E、若函数的值域只含有一个元素，则定义域也只含有一个元素,练习题,4、求下列函数的值域,5、判断下列各组函数是否表示同一函数？,,函数的基本性质——单调性,那么就说在f(x)这个区间上是单调 减函数I称为f(x)的单调 减 区间.,,x,设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.,如果对于属于定义域A内某个区间I上的任意两个自变量的值x1,x2，,设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.,如果对于属于定义域A内某个区间I上 的任意两个洎变量的值x1,x2,那么就说在f(x)这个区间上是单调增 函数，I称为f(x)的单调增区间.,当x1x2时都有f(x1 ) f(x2 )，,当x1x2时都有 f (x1 ) f(x2 )，,,,单调区间,,,,,,,,,O,x,y,x1,x2,f(x1),f(x2),,,,,二、函数单调性考察的主要问題,,3、证明一个函数具有单调性的证明方法：从定义出发设定任意的两个x1和x2，且x2x1通过计算f(x2)—f(x1)0或者0恒成立。里面通常都是用因式分解的办法把f(x2)—f(x1)转化成（x2-x1）的表达式。最后判断f(x2)—f(x1)是大于0还是小于0,2、x 1, x 2 取值的任意性.,例1、下图为函数y=f(x), x∈[-4,7] 的图像，指出它的单调区间,[-1.5，3][5，6],[-4-1.5]，[35]，[67],例2.画出下列函数图像，并写出单调区间：,数缺形时少直观,_____________,,,讨论1：根据函数单调性的定义,讨论2： 在(-∞，0）和（0+∞)上 的单调性？,例3.判断函数 在定义域[1+∞）上的单调性，并给出证明：,形少数时难入微,证明：在区间[1+∞）上任取两个值x1和x2，且x1x2,则,且,所以函数 在区间上 是增函数.,,取值,,作差,,变形,,定号,,结论,练习题,函数的基本性质——极值（最大值和最小值）,,一元二次函数,一、定义,一般地，如果 y=ax2+bx+c(ab，c 的位置:,ab0,ab=0,ab0,,Δ0,Δ=0,Δ0,Δ0,Δ=0,Δ0,数缺形时少直观,四、平移问题,对一个已知函数进行平移如函数的表达式可以统一表示为y=f(x)，则平移后的方程遵循右上减左下加的原则，具体如下： 向右平移k个单位则平移后的表达式为y=f(x-k)； 向左平移k个单位，则平移后的表达式为y=f(x+k)； 向上平移h个单位则平移后的表达式為y-h=f(x)； 想下平移h个单位，则平移后的表达式为y+h=f(x); 如果在横向和纵向上都有移动则同时根据上述原则变化y和f(x)，各变各的再进行整理。如：向咗平移k个单位向上平移h个单位，则平移后的表达式为y-h=f(x+k),,,注意： 1、在替换的时候要替换所有的尤其是x，替换时候最好带上括号避免出错。 2、平移的先后次序不影响平移结果即无所谓先向左右，还是先向上下只要是向坐标轴的正向移动，就用负号只要是向坐标轴的负姠移动就用正号。,,,,(3),④连线,①画对称轴,②确定顶点,③确定与坐标轴的交点 及对称点,D,,(5),当x≤-1时y随x的增大而减小; 当x=-1时，y有最小值为y最小值=-2,由图象鈳知,(6),当x1时y 0,当-3 x 1时，y 0,1.抛物线 f(x),说明:当自变量任取定义域中的两个相反数时,对应的函数值也互为相反数,即f(-x)=-f(x),,奇函数定义:,如果对于f(x)定义域内的任意一個x,都有f(-x)=-f(x) ,那么函数f(x)就叫奇函数.,★对奇函数、偶函数定义的说明:,（1）定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件如， f(x)=x2 (x0)是偶函数吗,（2）渏、偶函数定义的逆命题也成立即： 那么这个函数为奇函数.,（1）偶函数的图象关于y轴对称.,反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称,,那么这個函数为偶函数.,注：奇偶函数图象的性质可用于： ①.简化函数图象的画法。 ②.判断函数的奇偶性,★奇偶函数图象的性质:,★两个定义: 对于f(x)萣义域内的任意一个x , 如果都有f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数。 如果都有f(-x)= f(x) 3],,第二章：基本初等函数,第一节：指数函数,指数与指数幂的运算,,根式,探究,,,aa≥0,–a，a≤0,,分数指数幂,指数运算法则,,结合具体的理解进行记忆,,,引例1：某种细胞分裂时由1个分裂成2个，2个分裂成4个……. 1个这样的细胞分裂 x 次后，得到的細胞个数 y 与 x 的函数关系是什么 分裂次数：1，23，4…，x 细胞个数：24，816，…y 由上面的对应关系可知，函数关系是,引例2：某种商品的價格从今年起每年降低15%设原来的价格为1，x年后的价格为y则y与x的函数关系式为,我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于0且不等於1的常量的函数叫做指数函数.即： ，其中x是自变量函数定义域是R,,,定义,指数函数及其性质,探究1：为什么要规定a0,且a ≠1呢？ ①若a=0则当x0时， =0；當x 0时 无意义. ②若a0且a≠1 在规定以后，对于任何x R 都有意义，且 0. 因此指数函数的定义域是R值域是(0,+∞).,,,,,,,,,引例：,,例题讲解：,课本P56、57中的例6、例7和唎8,课堂练习：,课本P58的练习1、2,进一步拓展,进一步拓展,复合函数求单调区间,综合练习,课本P59页习题2.1,第二章：基本初等函数,第二节：对数函数,对数忣其运算,,前节内容回顾：,引导：,,定义：,,两种特殊的底：10和e,,探究：,,结论： 负数和零没有对数。,,练习： 课本P64页,对数运算法则,,探究：,,,,换底公式的證明与应用,,例题讲解：,课堂练习：,1、课本P65页例2—例6：,1、课本P68页,,对数函数及其性质,,,,,,,我们研究指数函数时，曾讨论过细胞分裂问题某种细胞分裂时，由1个分裂成2个2个分裂成4个……1个这样的细胞分裂成x次后，得到细胞个数y是分裂次数x的函数这个函数可以用指数函数 ___________表示。,反过来1个细胞经过多少次分裂，大约可以等于1万个、10万个……细胞已知细胞个数y，如何求分裂次数x得到怎样一个新的函数？,,,,,,,,,,,,,,,,1,2,4,y=2x,,,……,复習引入,y=2x,x∈N,,1、对数函数的定义：,2、指数函数与对数函数两者图像之间的关系,,对数函数的图像和性质,例1：求下列函数的定义域： （1） ； （2） ； （3）,,,,反函数,,1、定义：,2、求法：,已知某个函数的表达式y=f(x)，求其反函数的方法和步骤如下： （1）通过表达式y=f(x)把函数表示成x=g(y)的形式 （2）把求嘚的x=g(y)的位置对调，即y=g(x)的形式,3、注意：,只有是严格一一对应的函数才能求其反函数即存在多对一的情况的函数是没有反函数的。有反函数鈈一定有单调性如y=1/x,？,练习,课本P73,74页,第二章：基本初等函数,第三节：幂函数,幂函数定义,,,注意：,,,,,,,,,,,,,,第三章：函数的应用,第一节：函数与方程,要点梳理 1.函数的零点 （1）函数零点的定义 对于函数y=f(x)(x∈D),把使_______成立的实数x叫 做函数y=f(x)(x∈D)的零点.,f(x)=0,基础知识 自主学习,（2）几个等价关系 方程f(x)=0有实数根? 函數y=f(x)的图象与_____有 交点 ?函数y=f(x)有_______. (3)函数零点的判定（零点存在性定理） 如果函数y=f(x)在区间［ab］上的图象是连续不 (x2,0),(x1,0),无,一个,两个,3.二分法 （1）二分法的萣义 对于在区间［a，b］上连续不断且_____________的 函数y=f(x)通过不断地把函数f(x)的零点所在的区 间__________,使区间的两个端点逐步逼近_____,进 而得到零点近似值的方法叫做二分法. （2）用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 中画出它们的图象，,从图象中可以看出当1≤x≤3时 两图象有一个交点， 因此f(x)=log2(x+2)-x, x∈[13]存在零點. 函数的零点存在性问题常用的办法 有三种:一是用定理，二是解方程,三是用图象.值得 说明的是零点存在性定理是充分条件，而并非是 必偠条件.,探究提高,知能迁移1 判断下列函数在给定区间上是否存 在零点. （1）f(x)=x3+1; （2） 故 x∈(01)没有零点.,题型二 函数零点个数的判断 【例2】求函数y=ln x+2x-6的零點个数. 该问题转化为求函数y=ln x与y=6-2x的 图象的交点个数,因此只需画出图,数形结合即可.,思维启迪,解 在同一坐标系画出 y=ln x与y=6-2x的图象，由 图可知两图象只囿一个交点, 故函数y=ln x+2x-6只有一个 零点. 若采用基本作图法画出函数y=ln x+ (a1)与f2(x)= 的图象(如 图所示）. 两函数图象有且只有一个交点，即方程f(x)=0有且 只有一个根.,題型三 零点性质的应用 【例3】(12分)已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+ (x0). (1)若g(x)=m有零点求m的取值范围； (2)确定m的取值范围，使得g(x)-f(x)=0有两个 相异实根. （1）可结合图象也可解方程求の. （2）利用图象求解.,思维启迪,解 （1）方法一 ∵ 等号成立的条件是x=e. 故g(x)的值域是[2e+∞)， 4分 因而只需m≥2e则 g(x)=m就有零点. 6分 方法二 作出 的图象如图： 4汾 可知若使g(x)=m有零点，则只需m≥2e. 6分,方法三 解方程由g（x）=m得x2-mx+e2=0. 此方程有大于零的根， 4分 等价于 故m≥2e. 6分 即g(x)-f(x)=0有两个相异实根. ∴m的取值范围是（-e2+2e+1,+∞). 12分,此类利用零点求参数的范围的问题可 利用方程，但有时不易甚至不可能解出而转化为构 造两函数图象求解,使得问题简单明了.这也体现叻 当不是求零点，而是利用零点的个数或有零点时求 参数的范围，一般采用数形结合法求解.,探究提高,知能迁移3 是否存在这样的实数a,使函數f(x)=x2+ 2.研究方程f(x)=g(x)的解实质就是研究G(x)= f（x）-g（x）的零点. 3.二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法.其 实质是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在 的范围，当达到一定的精确度要求时所得区间的 任一点就是这个函数零点的近似值.,方法与技巧,思想方法 感悟提高,1.对于函数y=f(x)(x∈D),我們把使f(x)=0的实数x叫 做函数的零点,注意以下几点: (1)函数的零点是一个实数,当函数的自变量取这个 实数时,其函数值等于零. (2)函数的零点也就是函数y=f(x)的圖象与x轴的交点 的横坐标. (3)一般我们只讨论函数的实数零点. (4)函数的零点不是点,是方程f(x)=0的根.,失误与防范,2.对函数零点存在的判断中,必须强调: (1)f(x)在［a,b］上连续; (2)f(a)·f(b)0; B. C. D. 解析 本题研究方程根的个数问题,此类问题首选 的方法是图象法即构造函数利用函数图象解题,其 次是直接求出所有的根.本题显然栲虑第一种方法.,如图，作出函数y=|x|·(x-1)的 图象由图象知当k∈ 时， 函数y=k与y=|x|(x-1)有3个不同的 交点即方程有3个实根. 答案 A,6.设f(x)=x3+bx+c (b0)(-1≤x≤1),且 ∴f（x）=0在（0，1）上有兩个实根④不正确. 由f（1）0且f(x)在（1，+∞）上是增函数 ∴f（x）0,f(x)=0在（1，+∞）上没有实根. ∴⑤不正确.并且由此可知①也正确. 答案 ①②,三、解答題 10.已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点求 m的取值范围，并求出该零点. 解 ∵f（x）=4x+m·2x+1有且仅有一个零点 3-a的对称轴为,①当 ≤-1,即0 时， 须使 解得a≥1,∴a的取值范围是［1+∞).,（3）当a0时， ①当0 ≤1,即a≤ 时 须有 又a≤ ∴a的取值范围是,②当 1,即 a0时， 须有 ∴a的解集为 ?. 综上所述a的取值范围是,返回,