3.1.3 带通带通抽样定理证明 实际中遇箌的许多信号是带通型信号这种信号的带宽往往远小于信号中心频率。若带通信号的上截止频率为下截止频率为，这时并不需要抽样頻率高于两倍上截止频率可按照带通带通抽样定理证明确定抽样频率。 [定理3-2] 带通带通抽样定理证明：一个频带限制在内的时间连续信号信号带宽，令这里为不大于的最大正整数。如果抽样频率满足条件 （3.1-9） 则可以由抽样序列无失真的重建原始信号。 对信号以频率抽樣后得到的采样信号的频谱是的频谱经过周期延拓而成，延拓周期为如图3-3所示。为了能够由抽样序列无失真的重建原始信号必须选擇合适的延拓周期（也就是选择采样频率），使得位于和的频带分量不会和延拓分量出现混叠这样使用带通滤波器就可以由采样序列重建原始信号。 由于正负频率分量的对称性我们仅考虑的频带分量不会出现混叠的条件。 在抽样信号的频谱中在频带的两边，有着两个延拓频谱分量：和为了避免混叠，延拓后的频带分量应满足 （3.1-10） （3.1-11） 综合式（3.1-10）和式（3.1-11）并整理得到 （3.1-12） 这里是大于等于零的一个正数如果取零，则上述条件化为 （3.1-13） 这时实际上是把带通信号看作低通信号进行采样 取得越大，则符合式（3.1-12）的采样频率会越低但是有┅个上限，因为而为了避免混叠，延拓周期要大于两倍的信号带宽即。 因此 （3.1-14） 由于为不大于的最大正整数因此不大于的最大正整數为，故有 综上所述要无失真的恢复原始信号，采样频率应满足 （3.1-15） 图3-3 带通采样信号的频谱 带通带通抽样定理证明在频分多路信号的編码、数字接收机的中频采样数字化中有重要的应用。 作为一个特例我们考虑（）的情况，即上截止频率为带宽的整数倍若按低通带通抽样定理证明，则要求抽样频率抽样后信号各段频谱间不重叠，采用低通滤波器或带通滤波器均能无失真的恢复原始信号根据带通抽样，若将抽样频率取为（值取为）抽样后信号各段频谱之间仍不会发生混叠。采用带通滤波器仍可无失真地恢复原始信号但此时抽樣频率远低于低通带通抽样定理证明的要求。图3-4所示为时抽样信号的频谱。 图3-4 时的抽样频谱 在带通带通抽样定理证明中，由于带通抽样信号的抽样频率在到之间变化，如图3-5所示 图3-5 带通带通抽样定理证明 由以上讨论可知，低通信号的抽样和恢复比起带通信号来要简单通常，当带通信号的带宽大于信号的最低频率时在抽样时把信号当作低通信号处理，使用低通带通抽样定理证明而在不满足上述条件时则使用带通带通抽样定理证明。模拟电话信号经限带后的频率范围为300Hz～3400Hz在抽样时按低通带通抽样定理证明，抽样频率至少为6800Hz由于茬实际实现时滤波器均有一定宽度的过渡带，抽样前的限带滤波器不能对3400Hz以上频率分量完全予以抑制在恢复信号时也不可能使用理想的低通滤波器，所以对语音信号的抽样频率取为8kHz这样，在抽样信号的频谱之间便可形成一定间隔的保护带既防止频谱的混叠，又放松了對低通滤波器的要求这种以适当高于奈奎斯特频率进行抽样的方法在实际应用中是很常见的。