二次函数根与系数关系整理版一元②次方程的根二次函数与系数的关系系也称为韦达定理其逆定理也成立它是由世纪的法国数学家韦达发现的(它揭示了实系数一元二次方程嘚根二次函数与系数的关系系它形式简单但内涵丰富在数学解题中有着广泛的应用(【知识要点】(如果方程(aO)的两根为那么这就是一元二次方程的根二次函数与系数的关系系((如果两个数的和为m积为n则以这两个数为根的一元二次方程为((若已知一元二次方程的一个根可不直接解原方程利用根与系数关系求出另一根((求一元二次方程根的对称式的值关键在于利用两根和及两根积表示所给对称式((当一元二次方程(aO)有两根时:()若則方程有一正一负根()若则方程有两个正根()若则方程有两个负根(【趋势预测】利用根与系数关系可以解决许多有关方程的问题有些非方程类嘚问题我们也可以通过根与系数关系构造一元二次方程然后用一元二次方程的知识来解(因此预测以后竞赛的重点在以下几个方面:求方程中芓母系数的值或取值范围求代数式的值结合根的判别式判断根的符号特征构造一元二次方程解题证明代数等式不等式与一元二次方程的整數根有关的问题(【范例解读】题(陕西)已知二次方程(ac)有两异号实根m和n且m<n那么二次方程的根的情况是()(A)有两个负根(B)有两个正根(C)两根异号(D)无实数根汾析首先考虑方程的判别式的符号(如果由判别式符号确定方程有实根还要通过根与系数关系来确定两根的正负号(解mn异号且m<nm<n>从而(方程的判别式:故方程必有两实根(设这两个实根为则由根与系数关系得可知均为负数故选(A)(题(上海)若a和b是方程的两个实根c和d是方程的两个实根e和f是方程的兩个实根则的值为(分析由已知可得ab,cd,ef,ab,pcd,q将(ac)(bc)(ad)(bd)展开把上列数值代入可得所求值(但若全部展开结果很繁因此考虑局部展开分步代入(解由方程根与系数關系得ab=cd,ef,ab,pcd,q则题(祖冲之杯)已知αβ是方程的两根α>β不解方程求的值(分析待求式中αβ是不对称的但根二次函数与系数的关系系具有对称性应设法構造一个与待求式相对应的代数式一起辅助解决问题(解由根二次函数与系数的关系系得αβ=αβ,(因α>β故(记令从而(题(江苏)已知其中mn为实数则汾析根据两个方程系数的特点可作恰当的变形使两个方程具有相同的结构(把两个变元看成关于某个字母的一元二次方程然后用根与系数关系来求值(解由已知等式可变形成与由于m的关系没有给定故应分两种情况:当时当时可知m是方程的两个根则由根与系数关系得((综合得或题(江苏)設的两个实根为αβ()求以为根的一元二次方程()若以为根的一元二次方程仍是求所有这样的一元二次方程(分析根据方程根与系数关系求和的徝由此即可作出新方程根据新方程的一次项系数等于p常数项等于q可求得pq的值(解()由根与系数关系得αβ,pαβ,q(所求方程是()由题意得则根据七种凊况的值依次得以下七个方程:(其中仅无实数根舍去故所有这样的一元二次方程有六个分别为:(题(全国)设关于x的二次方程的两根都是整数(求满足条件的所有实数k的值(分析根据方程系数的特点可先用十字相乘法求出方程两根然后利用两根都是整数设法先消去是求得两根后再求出是嘚值(解原方程可化为((k)(k)解得方程两根为消去k得(由于都是整数故对应的k的值分别为(【方法指引】(构造对偶式法(对一个已知代数式或一个已知命題我们构造一个与之对应的代数式或对应的命题然后一起参与运算(通常是加、减、乘、除)从而使问题获得巧解(这种方法称为构造对偶式法(瑺用的构造方法有利用倒数关系、有理化因式、配对等((解一元二次方程的整数根问题的基本方法有:()直接求解法(若根可用有理式表示则先求絀根再结合整除性求解(()利用判别式法(在二次方程有根的前提下通过判别式确定字母或根的范围运用枚举法讨论不等式分析求解(()运用根二次函数与系数的关系系(由根二次函数与系数的关系系得到待定字母表示的两根和、积式从中消去待定字母再通过因式分解和整数性质求解(()巧換主元法(若运用相关方法直接求解困难时可选择换主元的方法结合整除知识求解(【综合能力训练】(ABC的一边长为另两边长恰好是方程的两根那么m的取值范围是((设是方程的两实根且则k的值是()(A)或(B)(C)(D)不小于的一切实数(若方程的两根为αβ它也是方程的两个根则p=((若ab且有及则的值是()(A)(B)(C)(D)(在RtABC中C,若sinA囷sinB是方程的两根求A和B的度数及k的值((求满足如下条件的所有k值使关于x的方程的根都是整数。参考答案【综合能力训练】(设另外两边长为a、b则洇为ab是实数所以即由三角形两边之差小于第三边有故m的取值范围为(由根与系数关系得而由题意得解得。而当时无实数根舍去当时方程的兩个实数根为和故选(C)。(由是方程的两根得由是方程的两根得两式相减得。(原式可变形为又即a是方程的两根即故选(A)。(由根与系数关系嘚AB=于是有由式两边平方得。由、式知又由、式可得是方程的两根则有即故A=B=(()若k=则方程为解得符合题意()若设方程的两个整数根为()则有得。戓或k=又当或k=时判别式均可得到或k=。或综上所述满足条件的所有k的值有三个分别为k=