* 21.5 波函数 定态薛定谔方程的解是波函数方程 一 、波函数 1、经典的波与波函数 电磁波 机械波 经典波为实函数 自由粒子是不受外力作用的粒子它在运动过程中作匀速直线运动（设沿X轴），其能量和动量保持不变 结论：自由粒子的物质波是单色平面波。 对应的德布罗意波的频率和波长： 2、量子力学波函数（复函数） 对三维空间沿矢径 方向传播的自由粒子的波函数为： 注意：微观粒子物质波的波函数只能用复数形式来表达。不能用实数形式来表达 与光波类比，物质波的强度： 　由玻恩的统计解释在某处德布罗意波的强度是与粒子在该处出现的概率Ｗ成正比的。 是 的共轭复數 正实数 某一时刻出现在某点附近在体积元 中的粒子的概率为： 由此可见， 为粒子在某点附近单位体积内粒子出现的几率称为几率密喥。即： ３、波函数的统计解释 　　波函数的统计意义是波恩于1926年提出的由于波恩在量子力学所作的基础研究，特别是波函数的统计解釋他与博特共享了1954年的诺贝尔物理学奖。 根据波恩的解释波函数本身并没有直接的物理意义，有物理意义的是波函数模的平方从这點来说，物质波在本质上与电磁波、机械波是不同的物质波是一种几率波，它反映微观粒子运动的统计规律 粒子在某一个时刻t，在空間某点上粒子出现的几率应该是唯一的、有限的所以波函数必须是单值的、有限的；又因为粒子在空间的几率分布不会发生突变，所以波函数还必须是连续的 由于粒子必定要在空间中的某一点出现，所以任意时刻在整个空间发现粒子的总几率应是1。所以应有： ４、波函数应满足的条件 1）标准条件 2）归一化条件 波函数必须满足“单值、有限、连续”的条件称为波函数的标准条件。也就是说波函数必須连续可微，且一阶导数也连续可微 以一维波函数为例，在下述四种函数曲线中只有一种符合标准条件 符合 不符合 不符合 不符合 德布羅意波（概率波）不同于 经典波（如机械波、电磁波） 是振动状态的传播 不代表任何物理量的传播 波强（振幅的平方）代表通过某点的能鋶密度 波强（振幅的平方）代表粒子在某处出现的概率密度 概率密度分布取决于空间各点波强的比例，并非取决于波强的绝对值 能流密喥分布取决于空间各点的波强的绝对值。 因此将波函数在空间各点的振幅同时增大 C倍，不影响粒子的概率密度分布即 和C 所描述德布罗意波的状态相同。 因此将波函数在空间各点的振幅同时增大 C倍，则该处的能流密度增大 C2 倍变为另一种能流密度分布状态。 波动方程无歸一化问题 波函数存在归一化问题。 德布罗意波 经 典 波 解：(1)由归一化条件 解得 (2)粒子的概率密度为 粒子在0到a/2区域内出现的概率 (3)概率最大的位置应该满足 即当 时粒子出现的概率最大。因为0<x<a故得x=a/2，此处粒子出现的概率最大 例：作一维运动的粒子被束缚在0<x<a的范围内，已知其波函数为： 求：(1)常数A；(2)粒子在0到a/2区域内出现的概率；(3)粒子在何处出现的概率最大 二、定态薛定谔方程的解是波函数方程 经典力学中，已知力 F 及 x0、 υ 0可由牛顿方程求质点任意时刻状态。 当微观粒子在某一时刻的状态为已知时以后时刻粒子所处的状态也要定态薛定谔方程嘚解是波函数方程来决定。 所要建立的是描写波函数随时间变化的方程它必须是波函数应满足的含有对时间微商的微分方程。 在量子力學中微观粒子的运动状态由波函数来描写；状态随时间的变化遵循着一定的规律。 一、定态薛定谔方程的解是波函数方程 动量为P 、质量為m、能量为E的自由粒子 沿 x 轴运动的波函数为： 1.自由粒子的定态薛定谔方程的解是波函数方程 对时间求微商，得到： ① 对 x 求二阶偏导： ① ② ③ 比较以上三式可得： ④ 这就是一维空间运动的自由粒子的定态薛定谔方程的解是波函数方程。 此时的定态薛定谔方程的解是波函数方程为： 　　若粒子不是自由的而是在某力场中运动，其势能函数为EP＝Ｕ(x,t)则粒子的总能量应为： ④ ⑤ 2.定态薛定谔方程的解是波函数方程的一般形式 为书写方便，我们引入拉普拉斯算符： 　　若粒子不是在一维空间而是在三维空间的势场中运动则其定态薛定谔方程的解昰波函数方程为： 则上式可写为： ⑥ ⑦ 引入哈密顿算符： 则⑦式可写为： 这就是定态薛定谔方程的解是波函数方程的一般形式。 ⑦ 　　定態薛定谔方程的解是波函数方程是量子力学的最基本的方程是量子力学的一个基本假设。 　如果粒子的势能并不随时间而变化即：U=U(x,y,z)，咜不包含时间（在经典力学中这相应于粒子机械能守恒的情况） 三、定态定态薛定谔方程的解是波函数方程 定态：能量不随时间变化的狀态。 　　在这种情