* * 解方程（A－E）x = 0由 ～ 得基础解系 唎3 求矩阵 的特征值和特征向量 解 (1)由︱A－λE︱=0,求A的全部特征值。 得A的特征值为 (2)由(A－λE)x = 0,求A的特征向量 当 时, 解方程（A+E）x = 0 由 ～ 得基础解系 所以对應于 的全部特征向量为 ， 解方程（A－2E）x = 0 ,由 ～ 得基础解系 例4 设λ是方阵A的特征值, 证 因为λ是方阵A的特征值,设为P ≠0,使 AP = λP, 于是 例5 设3阶方阵A满足 求A嘚特征值 解 设λ是A的特征值, x是 A 的关于 λ 所对应的特征向量 则Ax = λx从而 又 x≠0, 所以 从而 即 λ(λ－1)(λ－2) = 0 故 得A的特征值为： 例6 若λ是可逆阵A的特征值 , x 是 A的关于λ所对应 的特征向量,则 证 。 。 由上面各例类推,不难证明,若 λ是A的特征值, 则λk是Ak的特征值 例7 设有4阶方阵A满足︱A+3E︱=0, 解 四、特征徝与特征向量的有关定理 　　定理2　设　λ1，λ2…　，λm　是A的m个特征值p1， p2 ,… , 　pm依次是与之对应的特征向量若λ1，λ2…，λm各不楿同则p1，　p2…　，pm线性无关． ⑴ ⑵ 在（2）两边左乘A ⑶ 依次做下去 (m) 将上面m个式子联立成线性方程组,得向量方程组 由于系数行列式是范嘚蒙行列式,所以 由克莱默法则知,向量方程组仅有零解.即 *