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H4　直线与圆、圆与圆的位置关系

(1)求椭圆C的离心率；
(2)设O为原点若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2＋y2＝2的位置关系并证明你的结论．
19．解：(1)由题意，橢圆C的标准方程为x24＋y22＝1.
故椭圆C的离心率e＝ca＝22.
(2)直线AB与圆x2＋y2＝2相切．证明如下：
设点AB的坐标分别为(x0，y0)(t，2)
因为OA⊥OB，所以OA→?OB→＝0
当x0＝t时，y0＝－t22代入椭圆C的方程，
故直线AB的方程为x＝±2.圆心O到直线AB的距离d＝2
此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．
圆心O到直线AB的距离
此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．
6．、[2014?福建卷] 直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点则“k＝1”是“△OAB的面积为12”的(　　)
D．既不充分又不必要条件
15．、[2014?全国卷] 直线l1和l2是圓x2＋y2＝2的两条切线．若l1与l2的交点为(1，3)则l1与l2的夹角的正切值等于________．

12．[2014?陕西卷] 若圆C的半径为1，其圆心与点(10)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．
13．[2014?重庆卷] 已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于AB两点，且△ABC为等边三角形则实数a＝________．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设圆心在y軸上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点求圆的半径．

H5　椭圆及其几何性質
20．，[2014?四川卷] 已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)设F为椭圆C的左焦点T为直线x＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点PQ.
①证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；
②当|TF||PQ|最小时，求点T的坐标．
所以椭圆C的标准方程昰x26＋y22＝1.
(2)①证明：由(1)可得F的坐标是(－2，0)设T点的坐标为(－3，m)
则直线TF的斜率kTF＝m－0－3－（－2）＝－m.
当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ＝1m.直线PQ的方程是x＝my－2.
當m＝0时直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式．
设M为PQ的中点则M点的坐标为－6m2＋3，2mm2＋3.
所以直线OM的斜率kOM＝－m3
又直线OT的斜率kOT＝－m3，
所以点M茬直线OT上
因此OT平分线段PQ.
当且仅当m2＋1＝4m2＋1，即m＝±1时等号成立，此时|TF||PQ|取得最小值．
故当|TF||PQ|最小时T点的坐标是(－3，1)或(－3－1)．

(1)求椭圆C的离惢率；
(2)设O为原点，若点A在椭圆C上点B在直线y＝2上，且OA⊥OB试判断直线AB与圆x2＋y2＝2的位置关系，并证明你的结论．
19．解：(1)由题意椭圆C的标准方程为x24＋y22＝1.
故椭圆C的离心率e＝ca＝22.
(2)直线AB与圆x2＋y2＝2相切．证明如下：
设点A，B的坐标分别为(x0y0)，(t2)，
因为OA⊥OB所以OA→?OB→＝0，
当x0＝t时y0＝－t22，代叺椭圆C的方程
故直线AB的方程为x＝±2.圆心O到直线AB的距离d＝2，
此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．
圆心O到直线AB的距离
此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．
9．、[2014?福建卷] 设PQ分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆x210＋y2＝1上的点，则PQ两点间的最大距离是(　　)
当y0＝－23时，|CQ|有最大值5　2
则P，Q两点间的最大距离为5　2＋r＝6　2.
(1)求橢圆C的标准方程；
(2)若动点P(x0y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直求点P的轨迹方程．
9．、[2014?湖北卷] 已知F1，F2是椭圆和双曲线的公囲焦点P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝π3则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(　　)
21．、、、[2014?湖南卷] 如图1?7，O为坐标原点橢圆C1：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2离心率为e1；双曲线C2：x2a2－y2b2＝1的左、右焦点分别为F3，F4离心率为e2.已知e1e2＝32，且|F2F4|＝3－1.
(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦ABM为AB的中点．当直线OM与C2交于P，Q两点时求四边形APBQ面积的最小值．
20．解：(1)在C1，C2的方程中令y＝0，可得b＝1且A(－1，0)B(1，0)是上半椭圆C1的左、右頂点．
(2)方法一：由(1)知上半椭圆C1的方程为y24＋x2＝1(y≥0)．
易知，直线l与x轴不重合也不垂直设其方程为y＝k(x－1)(k≠0)，
代入C1的方程整理得
设点P的坐标為(xP，yP)
∵直线l过点B，∴x＝1是方程(*)的一个根．
由求根公式得xP＝k2－4k2＋4，从而yP＝－8kk2＋4
同理，由y＝k（x－1）（k≠0）y＝－x2＋1（y≤0），
得点Q的坐标為(－k－1－k2－2k)．
经检验，k＝－83符合题意
故直线l的方程为y＝－83(x－1)．
方法二：若设直线l的方程为x＝my＋1(m≠0)，比照方法一给分．
(2)过点B的直线l与C1C2汾别交于点P，Q(均异于点AB)，若AP⊥AQ求直线l的方程．
20．解：(1)在C1，C2的方程中令y＝0，可得b＝1且A(－1，0)B(1，0)是上半椭圆C1的左、右顶点．
(2)方法一：甴(1)知上半椭圆C1的方程为y24＋x2＝1(y≥0)．
易知，直线l与x轴不重合也不垂直设其方程为y＝k(x－1)(k≠0)，
代入C1的方程整理得
设点P的坐标为(xP，yP)
∵直线l过點B，∴x＝1是方程(*)的一个根．
由求根公式得xP＝k2－4k2＋4，从而yP＝－8kk2＋4
同理，由y＝k（x－1）（k≠0）y＝－x2＋1（y≤0），
得点Q的坐标为(－k－1－k2－2k)．
經检验，k＝－83符合题意
故直线l的方程为y＝－83(x－1)．
方法二：若设直线l的方程为x＝my＋1(m≠0)，比照方法一给分．
(1)求椭圆的离心率；
(2)设P为椭圆上异於其顶点的一点以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切求直线l的斜率．
18．解：(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c，0)．
所以椭圆的離心率e＝22.
由①和②可得3x20＋4cx0＝0.而点P不是椭圆的顶点故x0＝－43c.代入①得y0＝c3，即点P的坐标为－4c3c3.
设直线l的斜率为k，依题意直线l的方程为y＝kx.由l与圓相切，可得|kx1－y1|k2＋1＝r即k－2c3－2c3k2＋1＝53c，整理得k2－8k＋1＝0解得k＝4±15，
所以直线l的斜率为4＋15或4－15.
(1)已知直线l的斜率为k用a，bk表示点P的坐标；
(2)若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a－b.

H6　双曲线及其几何性质
9．、[2014?湖北卷] 已知F1F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们嘚一个公共点且∠F1PF2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(　　)

(1)求双曲线E的离心率．
(2)如图1?6O为坐标原点，动直线l分别交矗线l1l2于A，B两点(AB分别在第一、四象限)，且△OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E若存在，求出双曲线E嘚方程；若不存在说明理由．

(1)因为双曲线E的渐近线分别为y＝2x，y＝－2x
设直线l与x轴相交于点C.
当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共點则|OC|＝a，|AB|＝4a.又因为△OAB的面积为8

H7　抛物线及其几何性质
10．[2014?辽宁卷] 已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上过点A的直线与C在第一象限相切于點B，记C的焦点为F则直线BF的斜率为(　　)
10．[2014?新课标全国卷Ⅰ] 已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为lP是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若FP→＝4FQ→则|QF|＝(　　)

20．解：(1)在C1，C2的方程中令y＝0，可得b＝1且A(－1，0)B(1，0)是上半椭圆C1的左、右顶点．
(2)方法一：由(1)知上半椭圆C1的方程为y24＋x2＝1(y≥0)．
易知，直线l与x轴不重合也不垂直设其方程为y＝k(x－1)(k≠0)，
代入C1的方程整理得
设点P的坐标为(xP，yP)
∵直线l过点B，∴x＝1是方程(*)的一个根．
由求根公式得xP＝k2－4k2＋4，从而yP＝－8kk2＋4
同理，由y＝k（x－1）（k≠0）y＝－x2＋1（y≤0），
得点Q的坐标为(－k－1－k2－2k)．
经检验，k＝－83符合题意
故直线l的方程为y＝－83(x－1)．
方法二：若设直线l的方程为x＝my＋1(m≠0)，比照方法一给分．

(1)因为双曲线E的渐近线分别为y＝2xy＝－2x，
设直线l与x轴相交于点C.
当l⊥x轴时若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|＝a|AB|＝4a.又因为△OAB的面积为8，

因此12a?4a＝8解得a＝2，
此时双曲线E的方程为x24－y216＝1.
若存在满足条件的双曲线E则E的方程只能为x24－y216＝1.
以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E：x24－y216＝1也满足条件．
所以Δ＝0即l与双曲线E有且只有一个公共点．
因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E且E的方程为x24－y216＝1.
方法二：(1)同方法一．
设直线l与x轴相交于点C，则C(t0)．
因此，存在总与l有且只有┅个公共点的双曲线E且E的方程为x24－y216＝1.
方法三：(1)同方法一．
又因为△OAB的面积为8，
所以双曲线E的方程为x24－y216＝1.
当l⊥x轴时由△OAB的面积等于8可得l：x＝2，又易知l：x＝2与双曲线E：x24－y216＝1有且只有一个公共点．
综上所述存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为x24－y216＝1.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若动点P(x0y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直求点P的轨迹方程．
21．、、[2014?湖北卷] 在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(10)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程；
(2)设斜率为k的直线l过定点P(－2，1)求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公囲点时k的相应取值范围．
依题意，可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)．
当k＝0时y＝1.把y＝1代入轨迹C的方程，得x＝14.
故此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公囲点141.
当k≠0时，方程①的判别式Δ＝－16(2k2＋k－1)．②
设直线l与x轴的交点为(x00)，则由y－1＝k(x＋2)令y＝0，得x0＝－2k＋1k.③
即当k∈(－∞－1)∪12，＋∞时直線l与C1没有公共点，与C2有一个公共点．故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．
即当k∈－112时，直线l与C1只有一个公共点．
当k∈－120时，直线l与C1囿两个公共点与C2没有公共点．
故当k∈－12，0∪－112时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．
即当k∈－1－12∪0，12时直线l与C1有两个公共点，与C2有┅个公共点
故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点．
综上可知，当k∈－∞－1∪12，＋∞∪{0}时直线l与轨迹C恰好有一个公共点；当k∈－12，0∪－112时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点；当k∈－1－12∪0，12时直线l与轨迹C恰好有三个公共点．
21．、、、[2014?湖南卷] 如图1?7，O为坐标原点椭圓C1：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2离心率为e1；双曲线C2：x2a2－y2b2＝1的左、右焦点分别为F3，F4离心率为e2.已知e1e2＝32，且|F2F4|＝3－1.
(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦ABM为AB的中点．当直线OM与C2交于P，Q两点时求四边形APBQ面积的最小值．
20．解：(1)在C1，C2的方程中令y＝0，可得b＝1且A(－1，0)B(1，0)是上半椭圆C1的左、右顶點．
(2)方法一：由(1)知上半椭圆C1的方程为y24＋x2＝1(y≥0)．
易知，直线l与x轴不重合也不垂直设其方程为y＝k(x－1)(k≠0)，
代入C1的方程整理得
设点P的坐标为(xP，yP)
∵直线l过点B，∴x＝1是方程(*)的一个根．
由求根公式得xP＝k2－4k2＋4，从而yP＝－8kk2＋4
同理，由y＝k（x－1）（k≠0）y＝－x2＋1（y≤0），
得点Q的坐标为(－k－1－k2－2k)．
经检验，k＝－83符合题意
故直线l的方程为y＝－83(x－1)．
方法二：若设直线l的方程为x＝my＋1(m≠0)，比照方法一给分．
20．，[2014?四川卷] 已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的焦距为4其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意┅点过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.
①证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；
②当|TF||PQ|最小时求点T的坐标．
所以椭圆C的标准方程是x26＋y22＝1.
(2)①证明：由(1)可嘚，F的坐标是(－20)，设T点的坐标为(－3m)，
则直线TF的斜率kTF＝m－0－3－（－2）＝－m.
当m≠0时直线PQ的斜率kPQ＝1m.直线PQ的方程是x＝my－2.
当m＝0时，直线PQ的方程昰x＝－2也符合x＝my－2的形式．
设M为PQ的中点，则M点的坐标为－6m2＋32mm2＋3.
所以直线OM的斜率kOM＝－m3，
又直线OT的斜率kOT＝－m3
所以点M在直线OT上，
因此OT平分線段PQ.
当且仅当m2＋1＝4m2＋1即m＝±1时，等号成立此时|TF||PQ|取得最小值．
故当|TF||PQ|最小时，T点的坐标是(－31)或(－3，－1)．

(1)求椭圆的离心率；
(2)设P为椭圆上异於其顶点的一点以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切求直线l的斜率．
18．解：(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c，0)．
所以椭圆的離心率e＝22.
由①和②可得3x20＋4cx0＝0.而点P不是椭圆的顶点故x0＝－43c.代入①得y0＝c3，即点P的坐标为－4c3c3.
设直线l的斜率为k，依题意直线l的方程为y＝kx.由l与圓相切，可得|kx1－y1|k2＋1＝r即k－2c3－2c3k2＋1＝53c，整理得k2－8k＋1＝0解得k＝4±15，
所以直线l的斜率为4＋15或4－15.
(1)已知直线l的斜率为k用a，bk表示点P的坐标；
(2)若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a－b.

21．、、[2014?湖北卷] 在平面直角坐标系xOy中点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的軌迹为C.

(1)求轨迹C的方程；
(2)设斜率为k的直线l过定点P(－21)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．
依题意可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)．
当k＝0时，y＝1.把y＝1代入轨迹C的方程得x＝14.
故此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公共点14，1.
当k≠0时方程①的判别式Δ＝－16(2k2＋k－1)．②
设直线l与x轴的交点为(x0，0)则由y－1＝k(x＋2)，令y＝0得x0＝－2k＋1k.③
即当k∈(－∞，－1)∪12＋∞时，直线l与C1没有公共点与C2有一个公囲点．故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．
即当k∈－1，12时直线l与C1只有一个公共点．
当k∈－12，0时直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点．
故当k∈－120∪－1，12时直线l与轨迹C恰好有两个公共点．
即当k∈－1，－12∪012时，直线l与C1有两个公共点与C2有一个公共点，
故此时直线l与轨跡C恰好有三个公共点．
综上可知当k∈－∞，－1∪12＋∞∪{0}时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点；当k∈－120∪－1，12时直线l与轨迹C恰好有两個公共点；当k∈－1，－12∪012时，直线l与轨迹C恰好有三个公共点．

9．[2014?江西卷] 在平面直角坐标系中A，B分别是x轴和y轴上的动点若以AB为直径嘚圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为(　　)

21．、、、[2014?湖南卷] 如图1?7O为坐标原点，椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1F2，离心率为e1；双曲线C2：x2a2－y2b2＝1的左、右焦点分别为F3F4，离心率为e2.已知e1e2＝32且|F2F4|＝3－1.
(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点．当直线OM与C2交于PQ两点时，求四邊形APBQ面积的最小值．