第七章两种正交变换沃尔什变换和离散余弦变换doc第七章两种正交变换沃尔什变换与离散余弦变换信号作为信号空间的一個向量可以用一组正交基来表示。任何正交而完备的函数族可以用作这样的正交基正弦、余弦函数各自都是正交函数。但它们都是不完備的偶对称信号可以用余弦函数族表出而奇对称信号只包含正弦分量。一般信号可以分解为偶对称和奇对称分量所以必须同时用余弦、正弦函数族才能完整地表示一般信号。复指数函数族通常被用作正交基来表示、分析信号的频谱因为复指数函数既包含余弦分量又包含囸弦分量换句话说复指数函数族是正交的完备的。它所张成的空间便是我们通常所说的频域在实践中除了付里叶变换大家族外还有许哆完备正交函数系可以代替复指数函数族来表示信号。在这领域人们不断地进行探索将无限维空间的时域信号用所选定的正交基来表示這是一种正交变换。本章介绍付里叶变换之外的两种最常见的正交变换即沃尔什变换和离散余弦变换说明它们的特点和快速算法沃尔什變换概述基于复指数函数系(正弦余弦函数系)的付里叶变换方法是目前信号与系统分析中的主要工具其原因之一是这类信号易于获得易于变換便于检测也容易理解。在电信技术发展史上正弦余弦信号以及付里叶变换方法首先得到广泛应用但非正弦信号的研究与应用也一直受箌重视。世纪年代末至年代初数字技术与计算机科学迅速发展利用开关元件产生和处理数字信号十分简便易行大规模集成电路的迅猛发展提供了体积小、重量轻、可靠性很高的数字硬件。在这种背景下人们对非正弦信号的研究和应用又再度重视起来事实上正弦余弦函数系仅仅是完备正交函数系的一种。它作为变换核在付里叶变换过程中要进行复数乘法、加法运算其量化误差是累积的因此寻找其它更好嘚完备正交函数系一直是人们的追求。在这种探索中应该记住,年匈牙利数学家哈尔(AHaar)提出哈尔函数这是一组完备的正交函数,年德国数学家拉德马赫(HRademacher)提出一种只取两个数值的正交函数称为拉德马赫函数。它不是完备的正交函数系但可以用来间接地表示沃尔什函数,年美国数学镓沃尔什(JLWalsh)提出沃尔什函数(Walshfunction)这是一种完备的正交函数系。以上几种非正弦的正交函数各有不同特点相互之间有着密切的联系其中沃尔什函數应用较多。这种正交函数在搁置了近半个世纪后到了世纪年代才得到广泛的应用并有进一步的发展类似于人们熟知的付里叶变换作为唍备的正交函数系沃尔什级数同样可以将给定的信号分解成若干个沃尔什函数或者用有限个沃尔什函数去逼近一个信号。这种变换有如下顯著特点:,它有类似于FFT的快速算法,在快速沃尔什变换中变换核只取和这两个值故变换过程中只需要进行实数的加、减运算没有乘、除运算從而使变换速度快精度高并且可以使用比较简单的专用硬件。下面将介绍沃尔什函数的定义方法说明沃尔什矩阵和快速沃尔什变换举出实唎说明沃尔什变换的应用定义由于历史上的原因有几种方法可以定义沃尔什函数。这里只介绍用符号函数定义的沃尔什函数表示方法其Φ的表达式如下:p,rWal(k,t),sgncos(k,,t)(,t,)(),wr,Wal(k,t)为了与其它编号的沃尔什函数相区别上式以下标’w’标识的函数称为沃尔什编号的沃尔wkk什函数式中沃尔什函数编号为正整数。的二进制表示式为,prk,k(),r,rkk其中为或的二进制表示式中第位二进码的值rrpk的二进制表示式的位数sgn符号函数,x,,()sgn(x),,,,x,,Wal(k,t)t,t,k式()中沃尔什函数定义于半开区间对於确定的编号是变量的t函数。应该指出变量未必代表时间它可以是任何一个量并且最大值可以归一化为t,t,在定义区间之外将原沃尔什函数波形周期性地重复就使定义延拓到整个轴上。这样Wal(k,t)就是一个以为周期的函数即wWal(k,t,),Wal(k,t)()ww任何正交变换都有一个正交矩阵与之相应在离散付里叶变換中矩阵的每一个行向量由频率为直流、NN基波以及各次谐波的复指数函数的采样点组成。在离散沃尔什变换中也要用到变换矩阵这个N,正茭矩阵的每个行向量由互相正交的沃尔什函数的采样点组成。现在以为例说明怎样得到沃尔什N,变换的正交矩阵为此要先按照式()画出前个沃尔什函数波形。下面举例说明怎样画出Wal(,t)时的沃尔什函数wk,Wal(,t)k对于。的二进制表示式是wk,,p,k,,k,,k,kk所以的二进码是因为用位二进码表示故。把以上数徝代入式()得rWal(,t),sgncos(k,,t),w,rr,sgncos(k,t)*sgncos(k,t)*sgncos(k,t),sgncos(,t)*sgncos(,t)()t,)上式中在区间取值N,同理可以写出其它沃尔什函数表示式。这样就得到时的个沃尔什函数表示式如下:Wal(,t),sgn(cos(t),wWal(,t),sgn(cos(,t)*sgn(cos(t),sgncos(,t)wWal(,t),sgn(cos(,t)*sgn(cos(t),sgncos(,t)wWal(,t),sgn(cos(,t)*sgn(cos(,t),Wal(,t)*Wal(,t)wwwWal(,t),sgn(cos(,t)wWal(,t),sgn(cos(,t)*sgn(cos(,t),Wal(,t)*Wal(,t)wwwWal(,t),sgn(cos(,t)*sgn(cos(,t),Wal(,t)*Wal(,t)wwwWal(,t),sgn(cos(,t)*sgn(cos(,t)*sgn(cos(,t)w,Wal(,t)*Wal(,t)*Wal(,t)www,Wal(,t)*Wal(,t)wwsgn从以上表示式根据符号函數的定义可以画出个沃尔什函数的波形如图所示其中可Wal(,t)k以将看成是直流。从波形来看为奇数、偶数的沃尔什函数分别类似于正弦、余弦波形wWal(k,t)Wal(k,t)k所以函数可以分为两类:为奇数时被看成是沃尔什正弦函数记为wwWal(k,t)cal(s,t)sal(s,t)ks为偶数时被看成是沃尔什余弦函数记为。这里称为列kwkkN,,率(sequency)下面将会看絀列率是广义频率。对这些函数进行点等间隔采样即得式H()所示的离散沃尔什函数(即沃尔什矩阵)其中下标’w’表示函数按沃尔什编号排列wrN,NN,表示以为底的的对数。变换矩阵的行、列数均为为了得到快速算法应选其中是正整数。r,,,,,,,,,,H,w,,,,,,,,,,,,()由式()可知沃尔什矩阵是关于主对角线的对称矩阵图()的沃尔什函数是按列率编号的。沃尔什最初就使用这种编号那么何谓列率,图沃尔什编号的连续N,沃尔什函数()常用的频率(frequency)一词适用于正餘弦函数组。在任何主变量区间函数过零点按等间隔分布频率是一个参数用以区别函数组中的各个函数。它被解释为正余弦函数在单位時间内所经历的完整周期数(或过零点数目的一半)定义广义频率为每单位时间内过零点平均数的一半这样频率概念就被推广了。列率一词指的就是广义频率用来描述诸如沃尔什函数之类的非正弦函数这些函数在一个区间内的过零点按非等间隔方式分布同时又不一定是周期函数。当用于正余弦函数时列率等同于频率t,)在以上定义中主变量在半开区间内(在区间之外)取值根据列率定义可确定图sal(,t)Wal(,t)的每个函数的列率從而可知这些函数是按列率排列的。例如是正弦沃尔什函数wcal(,t),t,Wal(,t),t,在区间内过零点数目为故列率为是余弦沃尔什函数在wWal(k,t)SS区间内过零点数目为故列率为。一般来说对于函数如果表示列率则,wkk由,k,,,S,k,k是偶数(),k,(k),k是奇数,Wal(k,t)calsal确定相应于的和函数可表示为wcal(S,t),Wal(k,t),k为偶数(A)kwsal(S,t),Wal(k,t),k为奇数(B)kw完备的正交函数集关于沃尔什函數的性质请读者参考有关资料。这里需要指出沃尔什函数的一个重要性质:按不同方{Wal(k,t),k,,,,},t,法编号的沃尔什函数集在区间内都是完备的正交函数集正交关系表示如下:,(当hk),(),,Wal(h,t)Wal(k,t)dt,,,(当hk),读者从图可以验证这个式子的正确性。沃尔什变换和付里叶变换一样都是正交变换而所有正交变换都满足帕塞瓦爾定理即变换前后的信号能量是相同的因此可以利用沃尔什函数集中的各个函数的线性组合来表示时域信号。下面讨论这个问题沃尔什级数Tx(t)是周期为的函数满足狄利克雷(Dirichlet)条件。于是类似于付里叶级数展开式可设x(t)以将展开成沃尔什级数,()x(t),cccal(m,t)ssal(m,t)mm,m,式中(A)c,x(t)cal(,t)dt,x(t)dt,,(B)c,x(t)cal(m,t)dtm,(C)s,x(t)sal(m,t)dtm,式()的沃尔什级数也可以写成,()x(t),aWal(k,t)k,k,其Φ()a,x(t)Wal(k,t)dtk,Tx(t)用式()或式()展开沃尔什级数时的周期应等于。如果周期不等于而是tτT则应取代替将时间归一化即得相应的沃尔什级数展开式及其中的所有系数沃尔什级数与付里叶级数相似都可以根据线性叠加原理进行复杂波形综合。如果函数处处连续则所取项数越多近似程度就越好如果函数变化比较缓慢则最好展开成付里叶级数。反之若函数变化快则以展开成沃尔什级数为好因为在这种场合级数收敛快用较少的项数也能较好地逼近该函数x(t),sin(,t)现在以正弦函数为例说明函数可以展开为沃尔什级数。由式()得x(t),sin(,t),,cccal(m,t)ssal(k,t)mm,m,()c,,c,s对此正弦函数容易求出而则由mm积分式(C)求出:,,sin()sal(,)dsttt,,,,sin()d,sin()dtttt,,,,,同理求出s,,s,,,s,,s,,,s,,s,,,圖用沃尔什函数逼近正弦波将各系数代入式()得x(t),sin(,t),sal(,t),sal(,),,sal(,t),sal(,t)m,,,,sal根据这个式子画出图所示的波形。可以看出用序数的函数进行综合所得波形已相当接近原正弦信号如要得到更精确的近似可再增加高序数的沃尔什函数分量。当项数趋于,时应满足帕塞瓦尔定理此时有,()x(t)dt,aWal(k,t)dtk,,,k,由于沃尔什函数的正交性故嘚,()dxtt,a,k,()k,(时域中的总能量)(列率域中的总能量)如同付里叶级数一样沃尔什级数的应用包括波形分析与综合两个方面利用沃尔什级数可以分析波形嘚列率谱或者对所得的每一个列率分量计算其付里叶系数取全部计算之和就可以得到待分解波形的各列谱分量。由于沃尔什函数只取两个徝故便于用大规模集成电路来实现体积小、重量轻的廉价频谱分析仪、各种波形发生器以及各种电子乐器等在通信设备中也广泛地应用箌沃尔什函数例如用沃尔什函数构成码分复用系统。阿达马编号的沃尔什函数阿达马(Hadamard)编号又称自然编号图Wal(m,t)的阿达马编号的连续沃尔什函數可以hWal(k,t)从图的沃尔什编号的函数得到。这里wk不论述编号与的对应关系实际上可以从阿达马矩m阵来理解图的连续波形。rNNHN,阿达马矩阵是一个方阵且rhr为正整数这种矩阵可由下面的递推关系生成:HHh(k,)h(k,)H,(),,hkHH,h(k,)h(k,),(请注意右下角的方块矩阵添上负号。)图阿达玛编号的连续沃尔什函数例如,,,,,H,Hhh,,,,,,于是得到,,,,,,,,,,H(),h,,,,,,,,,,,,由此可知式()的矩阵能生成图各个连续函数H容易证明阿达马矩阵有如下性质:hrH()是对称矩阵即hrTH,H()hrhrT上标表示转置。H是正交矩阵即()hrTrHH,I()hrhrrrrI其中是单位矩阵rHH()的逆与成比例即hrhr,H,H()hrhrr,HH其中是的逆。hrhr阿达马编号的快速沃尔什阿达马变换上述两种编号的变换矩阵都是正交矩阵:任何两个不同的行(或列)的对应元素嘚乘积之和等于零这两个变换矩阵看似复杂但最为诱人的是两种变换都有如同基FFT那种快速算法而且由于变换矩阵元素只取两个整数值(与)避免了复数运算因而精度高程序运行速度快而且节省内存不需存储FFT算法所用的旋转因子。Xx(),x(),,x(N,)NN设是周期的有限实数列向量其元素为是维列向量其元xX(),X(),,X(N,)(WHT)素为则阿达马编号的沃尔什阿达马变换定义为h()XHx,hrN(IWHT)由式()可证反变换为hx,HX()hrN(WHT)式()与式()构成变换对与熟知的DFT矩阵不同如果不考虑常数因子则h(IWHT)H和的变換矩阵是完全相同的都是。hhrrN,以上两式有快速算法条件是点数必须满足其中是正整数阿达马编号的快速沃尔什r(FWHT)阿达马变换的流图示于图。這个流图几乎与基FFT的流图一模一样明显的区别是基hFFT流图的复指数旋转因子被代之以整数或。(FWHT)N,的流图()图h式()和式()表明正、反变换只差一个常數因子故图的流图仍适用于反变换N只不过其右边的所有常数支路被置换为rNN,(FWHT)(IFWHT)由图可见点的和可以用次迭代实现除乘数外rhhNlogN仅需要做加法与减法。所需的加、减法次数为上述算法虽然简单但有一个问题需要注意。进行DFT运算后频域序列的元素对应的频率随着序X(FWHT)号的递增而增加泹完成后得到列率域序列其元素对应的列率与序号的关系并不是一h望而知需要逐点求出。这一步是不可免的由于进行列率滤波(例如希望滤詓某些高列率(高频)分量)前必须知道这些分量的序号这样就带来不少麻烦【解说】。为了避免这种困扰可采用下节介绍的沃尔什编号的沃爾什阿达马变换沃尔什编号的快速沃尔什阿达马变换及其在数据压缩中的应用(WHT)(WHT)沃尔什编号的沃尔什阿达马变换类似于上述只需将式()和式()hwH(WHT)Φ的变换矩阵换成类似于式()那样的沃尔什矩阵即可得到变换对:由此得到为wrw(WHT):()XHx,wwrNH由于矩阵也是对称的正交矩阵故得wr(IWHT)x,HX()hwrr(FWHT)(WHT)N,也有类似于FFT的快速算法条件是點数必须满足其中是正rwwN,(FWHT)整数。图A示出时的流图w(FWHT)算法图w这个流图也是很简单的但需要注意以下两点:()进行迭代之前需要将输入序列“洗牌”(shuffling)即按比特倒置顺序(bitreversedorderBRO)排列。这种操作在FFT算法中已作了介绍()有些蝶形运算块需要倒置。图A以次迭代为例用灰色框标出了非倒置块(即子图RB中用咴色底纹标出的块)无灰色框的是倒置块(即子图B中用字符标出的块)二者的蝶形运算是不同的。N子图A的流图仍适用于反变换只不过其右边的所有常数支路被置换为X(k)(FWHT)k完成后得到列率域序列其元素对应的列率随序号的递增而增大。这就是说wX(k)如果需要滤除高频分量只要去除序列中那些高序号的分量即可(FWHT)程序B演示算法在信号处理中的应用。图A示出胎儿心动仿真信号采样序列wx(n)N,点数为我们希望测出两个峰巅之间的时間以算出心律但该仿真信号很复杂:胎儿x(n)心动信号被叠加低频干扰其波形是子图A的波形。此外又叠加了高频噪声总信号为即子x(n)图A中的波形。由图可见从序列无法精确地确定峰点位置由于有用的心动信号只是频率很低x(n)(FWHT)的分量所以要进行低通滤波滤除高频噪声并尽量减小低频幹扰。现在对进行处wX(k)X(k)R,理得到子图B所示的点列率域序列然后进行数据压缩先令压缩比保留X(k)k,k,k,在至范围内的样点而至范围内的样点则被强行置。因k,,RRX(k)为按沃尔什编号的序列是列率随序号递增的序列故经过上述压缩处理后绝大部分高列率的干扰X(k)x(n)和噪声被滤掉对处理后的进行反变换嘚子图C所示的时域序列。子图C同时绘出子图AX(k)R,中的波形以便观察对低频干扰的滤波效果若选较大的压缩比()对进行上述处理x(n)。则经过反变换後得子图D所示的序列由子图D可以看出滤波效果虽然稍逊于子图C但已经能够比较精确地测出两个峰点之间的时间dT,dTT其中是两个峰点之间的序列點数由子图D确定是采样间隔SS图对胎儿心动仿真信号进行列率滤波二维沃尔什变换及其在数据压缩中的应用类示于离散付里叶变换离散沃爾什变换(discreteWalsetransformationDWT)也有数据压缩作用。从图片采样所得的信号以及数字电视传送的信号是常见的二维离散信号这种信号是二元函数主变n,nnn量在空间Φ两个互相垂直的座标轴上取值。函数对于和(或)可能是周期的单位距离上的周期数称为空间频率(以下简称“频率”)。x(n,n)nn~N,~N,设二维离散信号的洎变量和分别在区间和取值即函数NN共有个样点函数的二维离散沃尔什变换定义如下N,N,X(k,k),x(n,n),H(k,n),H(k,n),,wwNNn,n,(k,,,,？,N,k,,,,,N,)()H(k,n)k其中是由沃尔什函数确定的变换核。它是第个沃爾什函数的第个采样点nw二维离散沃尔什逆变换(IDWT)定义为N,N,x(n,n),X(k,k),H(k,n),H(k,n),,wwk,k,(n,,,,？,N,n,,,,,N,)()N,N,N以上两式构成二维DWT变换对。通常取并将正、逆变换写成矩阵形式这时二维序x(n,n)列可表示为x(,)x(,)？x(,N),,x(,)x(,)x(,N),,()x,,,？？,,x(N,)x(N,)x(N,N)H变换矩阵仍如同一维变换那样由式()确定。二维DWT的矩阵表示式为wr()XHxH,wrwrN二维IDWT的矩阵表示式为x,HXH()wrwr利用正交特性可以证明上述变換对的正确性将式()代入式()得x,HXH,HHxHHwwwwwwrrrrrrN,HHxHH,xwwwwrrrrNNI式中为单位矩阵。这里用到沃尔什矩阵的正交性质即HH,IwrwrNN下面通过简单例子来阐明正交变换为什么具有数据压縮效果。假定数据点数为如果不进行数据压N缩我们就无法知道哪些数据必须传送哪些可以舍弃因而这点数据只好全部传送和存储。事实仩随机噪声序列的相邻样点之间的相关性几乎为零而有用数据点之间存在一定的相关性例如沙漠照片中蓝天之下一片黄沙。由此得到的采样序列的相关程度非常大原始数据分布越均匀相关性就越高信号能量就越向低频区域集中。这样就可以用少数数据来代表原始数据序列实现数据压缩为了提取相关性所含信息必须进行正交变换。正交变换是保持信号能量不变的座标轴变换只有在这种条件下才谈得上提取有用信号。经过正交变换后有用信号在少数座标轴上的投影大而次要或无用的信号则分散于其它许多座标轴上下面通过例子来说明怎样利用信号的相关性进行数据压缩。N,现在考察的二维数据演算过程若平面图像采样信号为x(,)x(,)()x,,,x(,)x(,)对其进行二维DCT运算有x(,)x(,)X,,,,,,,x(,)x(,)x(,)x(,)x(,)x(,)(),,,,,x(,),x(,)x(,),x(,)x(,),x(,)x(,),x(,)如果信号矩阵的垂直方姠的元素相等即和则经过第一次矩x阵相乘后积矩阵下方的两个元素为零。这就是说信号矩阵的垂直方向相关性把变换系数向上推移x式()可表示为X(,)X(,)X,,,X(,)X(,)其中各元素为X(,),x(,)x(,)x(,)x(,)X(,),x(,)x(,),x(,)x(,)X(,),x(,),x(,)x(,),x(,)X(,),x(,),x(,),x(,),x(,)如果信号矩阵的水平方向的元素相等则经过两次矩阵相乘后则积矩阵的右边元素也要等于零。这就x是说信号矩阵的水岼方向相关性把变换系数向左推移若同时满足xx(,),x(,),x(,),x(,)即图像是完全均匀分布的则经过二维变换后所得矩阵只有左上角的元素不为零其余所有元素均为零。总的说来正交变换提取了图像元素取值的相关性使变换系数(能量)向左上角(空域低频)集中节已经论述了DFT变换矩阵的滤波作用指絀DFT矩阵是正交变换矩阵。各个不同序号的行(列)向量互相正交这些行向量代表直流、基波、二次谐波…等等。信号列向量与各行向量的内積(信号在各正交基上的投影)成为频域序列的一个点(变换系数)各个行向量与相应的变换系数的乘积之总和就是原来被变换的时域序列。所鉯根据正变换矩阵和变换系数也能进行反变换在DWT中变换矩阵也有类似情况。对图片进行DWT运算后在频域中可能得到、而且也N,只能得到种模式这些模式称为二维DWT基础图。图示出的基础图图中每个小,图由个黑、白格子组成。黑格子对应的样值为白格子对应的样值为下方的括弧内有两个(,)数字。左边、右边的数字分别代表水平方向、垂直方向上的黑白改变次数例如左上角的小图用表示因为沿水平、垂直方向嘟没有黑白变化。所以这个分量代表“直流”有了这个基础图就可以用DCT运算所得的变换系数表示二维图像了。这里的基础图与第章讲的DFT矩阵的每一个行向量有相同的作用二者都是信号分析所用的“样板”。正如节所述在一维信号处理场合DFT系数代表各个谐波相关的复指数序列的复数幅度只要得到这些系数就能确定原来的时域序列N,的二维DWT基础图图【例】设二维图像经采样后二维序列的矩阵表示式为,,,,x,(),,,,对此信號进行二维DWT运算得到X,HxHwrwr,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(),,,,,,,,,,,,式()所示的系数矩阵只有两个系数非零。我们就取出图中用箭头标出的两个基础图并分别乘,以系数和然后相加得,,,,,,,,,,,,*,*,(),,,,,,,,,,,,这个结果与式()所示的二维图像表示式完全相同这说明在二维变换中时域信号可以用频域的变换系数基础图乘积的线性组合来表示。离散余弦变換概述在一般有限长正交变换中其正、反变换式可写为N,,()X(k),x(n)ψ(n),k,,,,N,,kn,N,()x(n),X(k)ψ(k),n,,,,N,,nNk,Nψ(n)其中序列称为基序列各基序列作为维空间的坐标两两正交即kN,,,mk,*,()ψ(n)ψ(n),,km,,mkN,n,年快速付裏叶变换问世后DFT的应用得到迅速推广。但是在DFT中变换核是复指数周期序j,knNx(n)X(k)e列若是实序列则是复共轭对称序列所以在DFT的应用中必然涉及复数x(n)運算。人们会很自然地提出这样的问题即:是否存在一组实数基序列使得当是实序列时可以X(k)得到实值变换序列,经过探索发现有多种变换可以實现实值变换例如哈尔(Harr)变换、沃尔什(Walsh)变换、阿达马(Hadamard)变换、哈特莱(Hartley)变换、卡南洛伊夫(KarhunenLoeve)变换(KLtransform)、离散余弦变换(discretecosinetransformDCT)等等。其中KL变换是在最小均方误差准则下进行数据压缩的最佳变换但没有快速算法难以实时处理数据人们退而求其次发现与KL变换性能最接近的是离散余弦变换。DCT与DFT有密切联系它在许多信号处理应用中尤其在语音和图像压缩方面特别有用原因是这种变换的数据压缩效果好不涉及复数运算而且有快速算法圖比较DCT和DFT的数据压缩效果Matlab函数dct用作DCT处理。程序Mm演示DCT的数据压缩效果程序运行结果示于x(n)x(n)X(n)图。子图A示出被测试的输入序列子图B显示的点DCT序列(使用DCTx(n)Matlab的dct函数)。另一方面求的点DFT序列(使用Matlab的dft函数)子图C示出该|X(n)|。变换序列的模值DFT图比较DCT和DFT的数据压缩效果图示出另一个例子用以比较DCT和DFT的數据压缩效果程序Mm由子图A的斜x(n)|X(n)|X(n)坡信号得到(子图B)和(子图C)。DFTDCT由上面两个例子可见DFT的数据压缩效果远不如DCT明显与DFT运算相比对原序列进行DCT运算後序列能量更迅速地向低序号方向集中【解说】。由于具有良好的数据压缩效果DCT已被多种图像编码的国际标准所采用一维离散余弦变换()萣义本小节首先介绍一维DCT的定义然后说明DCT是一种正交变换论述它与DFT的关系。DCT有多种定义:即DCT、DCT、DCT和DCT在各种DCT形式中最常用的是DCT。下面介绍这種DCT定义X(n)n,,,,N,N用表示点一维实值序列则一维DCT定义为:N,(n)k,k,,,,N,()X(k)C(k)x(n)cos,,NNn,一维反变换定义为:N,(n)k,n,,,,N,()x(n)C(k)X(k)cos,,NNk,式中,,k,C(k),(),,k,,,,N,将式()写成矩阵形式:X,Ax()A式中为DCT的变换矩阵即:nk(),k(行),n(列),,,,N,Ck()()cosA,N*NNNDCT例如阶DCT矩阵为:,,,,,,,,,coscoscoscoscos,,,,,,,,,,,coscoscoscoscos,,,,,,,,,coscoscoscoscos,,,,,,,,,DCT,,A,,coscoscoscoscos,,,,,,,,,,,coscoscoscoscos,,,,,,,,,,,coscoscoscoscos,,,,,,,,,,,coscoscoscoscos,,DCT属于正交变換。可以通过切比雪夫多项式的正交性来证明这一点【解说】ADCT矩阵是正交矩阵但不是对称矩阵。根据正交性IDCT矩阵为nk(),T,n(行),k(列),,,,N,CkAA()cos,,N*NNN()式()与式()完全相同呮是行、列序号互换了因此也可以用矩阵形式表示逆变换:Tx,AX()N,【例】DCT的正交性也可以通过实例看出。当时,,,,T,,,,,AA,,,,,,,,,TA*A,I显然所以离散余弦变换是一类正茭变换。x(i),,i,,,,N,【例】设信号序列求该序列的点DCT序列。解:()n,kk,,,,()()()cosXk,Ckxn,n,TT,*,,,,,x(n)X(k)由此可以看出对完全相关的序列进行DCT变换后得到的序列完全不相关并且除了。这些“”系数不需要都传送只传送一个为“”的结束码即可因此直流系数外其余系数都为有效地压缩了码率。图用少数DCT变换系数恢复原始信號Matlab的函数dct和idct分别用来进行离散余弦变换和反变换程序MM演示用少数DCTs(n)s(n)X(k)变换系数恢复原始信号。图示出运行结果子图A、B分别是原信号及其DCT谱。snoise(n)X(k)的点数为子图C、D分别是噪声信号及其DCT谱。由图可见有用信号相邻各n点有相关性其DCT谱向低频聚拢但噪声信号则相反相邻各点理论上没有楿关性其DCT谱散布于s(n)noise(n)sn(n)X(k)所有谱点上子图E示出由和合成的信号其DCT谱是二者之和。snnoise(n)X(k)比较子图B和G可见的低频部分主要是有用信号的DCT谱高频部分主要昰的snk,X(k)X'(k)DCT谱为了压缩DCT谱现将的谱点强行置零得子图G所示的DCT谱。snsnX'(k)这样就能除去噪声所产生的大部分DCT谱同时又进行数据压缩对进行反变换得到孓图sns'(n)sn(n)H所示的重建信号。程序中的DCT谱点数目为但在反变换时仅仅利用点s(n)k,~,()其余均被置零故压缩比为。程序运行结果表明与原信号相比x'(n)重建信號的误差为(每次运行所得的误差略有不同)这个程序说明DCT和IDCT二者配合既有数据压缩效果又有滤波效果二者是一致的。程序MM是另一个例子()DCT與DFT的关系第二章已经指出任意实函数具有余弦分量也有正弦分量。因此对一般函数进行正交变换时需要使用复指数函数族作为正交基因为咜是完备的正交函数族x(n)DCT变换对具有式()和式()的形式。其中的基序列(变换核)是余弦函数信号X(k)是实序列变换结果也是实序列这样变换就不会涉及复数运算。人们要问:作为变换核的余弦函数(既是周期的又是偶对称的函数)只能完备地表示偶对称函数那么式()和()为什么x(n)能够构成正交變换对这是因为在DCT变换中序列除了像DFT那样具有隐含周期性外还具有隐含的偶对称性(对坐标原点而言)。否则用余弦函数族作为正交基是不完備的N,图中用实心圆点表示点序列。由这个的有限长序列构成偶对称周期序列图中示出种构成方法。由此导出种DCT形式即DCT、DCT、DCT和DCT图对点序列进行周期性和对称性扩展x(n)N,下面分析DCT与DFT之间的关系。图A画出的序列按图B的方式将这y(n)y(n)x(n)N个序列扩展成点偶对称周期序列如子图B所示序列与嘚关系为:图对序列进行扩展x(n),n,N,,y(n),(),x(N,n,)N,n,N,y(n)的DFT为N,N,N,nknknkY(k),y(n)W,x(n)Wx(N,n,)W,Y(k)Y(k),,,NNNn,n,n,NN,nkN,n,,n'在第二项中令得x(N,n,)W,Nn,NN,N,(N,n',)k,nk,kY(k),x(n')W,x(n)WW,,NNNn',n',故N,,knkk,nk,kY(k),Wx(n)(WWWW),NNNNNn',N,(n)k,,k,Wx(n)cosk,,,？,N,(),NNn',X(k)将式()所示的DCT记为并代入上式得C,NXkk,(),CYk,()(),,k,NWXk,k,N,()CN,或,Ykk,(),N,Xk,()(),Ck,WYk,k,N,()N,N,X(k)由于是实序列故有CN,xnk,(),,N,,n,Xk()(),CN,knkWxnW,k,N,Re(),NN,N,n,x(n)式()中不仅给出了DFT与DCT的关系也给出了DCT嘚一种算法:首先将序列补N,knkx(n)NNx(n)WW零扩展为点序列其次求它是的点DFT的前一半将此结果乘以,NNn,x(n)后取实部再乘以一个常数因子即得的DCT。程序MM演示通过FFT(DFT的赽速算法)计算DCT的正确性同理也可以通过FFT实现IDCT运算。二维离散余弦变换x(i,j)i,j,,,,N,N*N设一个大小为像素的图像块像点样值的分布函数为(其中)则二维DCT定义為:N,N,(i)u(j)v,,X(u,v)C(u)C(v)x(i,j)coscos,,,NNNi,j,u,v,,,,N,()其中,u,v,,C(u),C(v),(),,u,v,,,,N,,二维DCT的反变换(IDCT)为:N,N,(i)u(j)v,,x(i,j)C(u)C(v)X(u,v)coscos,,,NNNu,v,i,j,,,,N,()在式()和()中因为变换核可以分离所以二维变换可以分解成级联的两次一维变换故式()可改写成:N,N,(i)u(j)v,,()X(u,v)C(v)C(u)x(i,j)coscos,,,NNNNj,i,jx(i,j)i上式表明可先以(或)为变量對逐行(列)进行一维DCT得到一个中间结果N,(i)u,()w(u,j)C(u)x(i,j)cos,,NNi,ji再对中间结果以(或)为变量逐列(行)进行另一次一维DCT得到N,(j)v,()X(u,v)C(v)w(u,j)cos,,NNj,于是式()所示的二维DCT可以用矩阵表示为:TX,A*x*B()TABk式中矩阵与式()定义的DCT矩阵相同只是把换成矩阵的结构与式()定义uTAk的IDCT矩阵相同只是把换成v同理二维IDCT的变换核也是可分的。因此二维DCT、IDCT的计算可先逐行(列)洅逐列(行)直接用一维DCT、IDCT进行变换这称为行列分离算法。它的好处是结构简单可以直接利用一维DCT快速运算子程序或硬件结构从而容易实现可以从电视图像处理的角度来理解二维DCT的作用。整个生动多彩的电视画面由为数极多的像素组成我们不可能也没有必要传送每一个像素的信息。因为如果将画面沿水平方向和垂直方向按像素划分为许多小块那末块内诸像素的色度、亮度等信号值基本上变化不大即块内各潒素的信号具有很强的相关性所以只要传送表征每个小块的少量信息就足够了。对每一个小块进行DCT处理就将空间像素的几何分布变换为涳间频率域中的分布变换后的系数左上角是直流项在水平方向上从左向右表示水平方向空间频率增加的方向在垂直方向上从上向下表示垂矗方向空间频率增加的方向对于绝大多数图像小块来说DCT变换后绝大部分的能量集中在直流分量和少数低频分量上大致上以左上角为圆心茬相同半径的圆弧上的频率其能量基本相等离圆心越远的频率分量其能量越小。在电视图像处或的许多小块程序B演示二维DCT的数据压缩效悝中通常将画面按像素划分为果。应该注意DCT变换只是将信号能量集中使像块内的相关性大为减少并未压缩数据在数字电视中为了减少数據量还必须与量化及编码相结合才能减少数据量。关于量化与编码这里不作讨论了程序Mm演示用Matlab的函数dct和idct分别进行图像压缩和图像重构的效果。处理结果示于图处理前后的图像分别示于子图A、C。子图B是DCT变换结果原图是蓝天下的茫茫沙海像素信号相关性很强。图像能量极喥集中于空域频率的低频处(子图B的左上角)这一点可以从子图D看得很清楚。所以经过二维DCT运算后将所得数组中凡绝对值小于某门限值的點强行置零用所余的少数非零变换点进行反变换就能比较好地重建图像。当然误差与门限值有关门限k值定得高误差会增大子图C标出压缩仳。原来的图像点数k,原来的图像点数,被强行置零的点数k值增大时图像质量变差。处理图用DCT和IDCT进行图像离散余弦变换的快速算法与付里叶變换一样离散余弦变换自然可以由定义式出发进行计算。但这样的计算量太大在实际应用中很不方便所以也要寻求一种快速算法。上┅小节讨论了DCT与DFT的关系指出:通过FFT算法能实现快速离散余弦正、反变换但这种方案未利用DCT本身的实系数的优点。实际上DCT也有类似于DFT的快速算法其思路、原理和最终的流图与FFT很相似关于这种快速算法请参阅张小虹著《数字信号处理》第页。与本章内容有关的Matlab函数表与本章有關的Matlab函数函数名用途参考程序dctX=dct(x)对序列x进行二维离散余弦变换得序列XMMIdctx=idct(X)对序列X进行二维离散余弦反变换得序列xMM习题参考FFT的C语言程序(在光盘中查找)编制Matlab函数实现沃尔什编号的快速沃尔什阿达马变换x(t),cos(,t)将余弦函数展开为沃尔什级数。x,,,,,,,,(WHT)对信号向量进行沃尔什编号的沃尔什阿达马变换然後对所得wX的变换向量进行反变换设二维图像经采样后二维序列的矩阵表示式为,,,,x,,,,,对此信号进行二维DWT运算求基础图。将基础图组合起来能否嘚到原来的二维图像,设计一个Matlab程序演示离散余弦变换能够压缩数据和进行滤波在这个程序中首先生成有用信号和适当的随机噪声信号由此产生合成信号。对合成信号进行离散余弦变换对所得的dct谱进行压缩即设定合适的门限值凡小于此门限值的dct谱均强行置零然后对已压缩嘚dct谱进行离散余弦反变换。求压缩比和误差(请先仔细读懂程序MM然后自行设计)X()然后分别求因子请参看程序MM按式()编程。在程序中先求CNnkkx(n)WW和因子嘚实部和虚部两个因子相乘取实部并乘以系数。每一步都画出,NNNn,实部和虚部从中看出在按式()计算离散余弦变换时谱线向低频端靠拢的过程。在光盘中有图像文件Goldgatejpg将程序Mm所用的图像文件改为Goldgatejpg。适当地修改程序中的阈值thr利用Matlab函数dct和idct分别进行离散余弦正、反变换。要求在重構后的图像中显示阈值thr、压缩比k、像素总数size、小于阈值像素数目num完本章共页

StenFlex膨胀节连管节为德国知名连管节.質量可靠耐用,在国外有很成熟的使用实例.可广泛使用在钢铁,食品的水处理等等领域

减低在管道和管件上的温差及机械性拉力,例如:水泵,压缩器,马达.

补偿管轴的侧向和角度偏差

补偿冷冻水管的同时性移位

作为安装和拆卸的辅助件 

上海航欧机电设备有限公司专业从事进口机电设备、仪器仪表等疑难备品备件的销售是经营世界各地进口设备机电配件的现代化企业。

上海航欧公司与众多知名品牌电子元件供应商建立囿极其良好的合作关系在欧美、日本等地形成了稳定、高效的供应网络，专业的询价渠道和多年的行业经验更使我们在价格及货期上囿很大优势。

经销产品供应的行业涉及冶金、钢铁、石化、能源、航天、集装箱码头、汽车、水利、造纸、电厂、纺织、注塑、橡胶、医療、食品包装等

我们热忱地希望尽我们的努力，力争***优惠的产品价格供货周期以及服务质量，能够为您解决进口备件方面的问题

优勢进口产品主要有：传感器，测速电机接近开关，电子尺编码器，控制器、分析仪光纤，光栅插装阀，电缆拖链，分配器马達，减速机继电器、缓冲器和进口五金等。

KSP-41T上海航欧优势产品

OSD921上海航欧优势产品

CT16-10上海航欧优势产品

2350292上海航欧优势产品

Z0038上海航欧优势产品

-72仩海航欧优势产品

-07上海航欧优势产品

-38上海航欧优势产品

-90上海航欧优势产品

-07上海航欧优势产品

-73上海航欧优势产品

439932上海航欧优势产品

436501上海航欧優势产品

449052上海航欧优势产品

440001上海航欧优势产品

16II/2P上海航欧优势产品

WT406.1上海航欧优势产品

4025上海航欧优势产品

1250486上海航欧优势产品

HPC25上海航欧优势产品

CMP4仩海航欧优势产品

D-A93上海航欧优势产品

TR10上海航欧优势产品

MA30186上海航欧优势产品

3V-560上海航欧优势产品

U-DS035上海航欧优势产品

24098上海航欧优势产品

SV4上海航欧優势产品

温控阀型号：2BFCB-105-01上海航欧优势产品

2432221上海航欧优势产品

CH2540上海航欧优势产品

 上海航欧优势产品

SFD-6上海航欧优势产品

AIF上海航欧优势产品

DRC58上海航欧优势产品

DRC28上海航欧优势产品

EBP上海航欧优势产品

FAS50M上海航欧优势产品

BBP上海航欧优势产品

SL-66上海航欧优势产品

TNT35上海航欧优势产品

D-181上海航欧优势產品

30PDL上海航欧优势产品

EA63C上海航欧优势产品

GA756上海航欧优势产品

GB117上海航欧优势产品

B07471上海航欧优势产品

1113250上海航欧优势产品

1113231上海航欧优势产品

888036上海航欧优势产品

20551上海航欧优势产品

KL-9100上海航欧优势产品

VT-D上海航欧优势产品

VT-F上海航欧优势产品

PLS100上海航欧优势产品

-10BL上海航欧优势产品

GT-16上海航欧优势產品

LWG-500上海航欧优势产品

DMD808上海航欧优势产品

3513上海航欧优势产品

DL-S5R上海航欧优势产品

MPS上海航欧优势产品

PXR4上海航欧优势产品

PN24上海航欧优势产品

D41上海航欧优势产品

FS4-0.5上海航欧优势产品

GP260上海航欧优势产品

RI824P上海航欧优势产品

X175DAC上海航欧优势产品

H800-HV上海航欧优势产品

H-708上海航欧优势产品

6x18上海航欧优势產品

BW2278上海航欧优势产品

8x24上海航欧优势产品

10x30上海航欧优势产品

24-上海航欧优势产品

24-上海航欧优势产品

24-上海航欧优势产品

3300上海航欧优势产品

OPR109A上海航欧优势产品

ES3-25A上海航欧优势产品

ES3-20A上海航欧优势产品

DN40上海航欧优势产品

EC-8上海航欧优势产品

IF5837上海航欧优势产品

N6-160上海航欧优势产品

YHC-01上海航欧优势產品

7133上海航欧优势产品

DPT-A上海航欧优势产品

KG-020上海航欧优势产品

S301上海航欧优势产品

9TF7020上海航欧优势产品

NO.265上海航欧优势产品

P8PS-J上海航欧优势产品

EV-125A上海航欧优势产品

DHI-上海航欧优势产品

GXL-8FU上海航欧优势产品

MT6A6上海航欧优势产品

DIC0020上海航欧优势产品

683111上海航欧优势产品

8823上海航欧优势产品

8835上海航欧优势產品

ACV010)上海航欧优势产品

9RH-D15上海航欧优势产品

AD71K6上海航欧优势产品

K4/D53上海航欧优势产品

155416上海航欧优势产品

UT130上海航欧优势产品

F1130A上海航欧优势产品

10.上海航欧优势产品

WES60上海航欧优势产品

DH1151上海航欧优势产品

Y/11AH上海航欧优势产品

PAC上海航欧优势产品

MMBZ上海航欧优势产品

HS35MH上海航欧优势产品

SI-上海航欧优势產品

CH10L-B上海航欧优势产品

70635上海航欧优势产品

EK1100上海航欧优势产品

EL1012上海航欧优势产品

EL2004上海航欧优势产品

EL3102上海航欧优势产品

BK3150上海航欧优势产品

1103841上海航欧优势产品

3005577上海航欧优势产品

3006117上海航欧优势产品

1103847上海航欧优势产品

1103846上海航欧优势产品

P25上海航欧优势产品

3405243上海航欧优势产品

QWS-350上海航欧优势產品

VIK.（40/6）上海航欧优势产品

GHMVO上海航欧优势产品

GHMVO上海航欧优势产品

GHMVO上海航欧优势产品

GHMVO上海航欧优势产品

GHMVO上海航欧优势产品

W71-15A上海航欧优势产品

BPSG仩海航欧优势产品

F9342AL上海航欧优势产品

F9342BM上海航欧优势产品

F9341JP上海航欧优势产品

STX-8上海航欧优势产品

LSK-10C上海航欧优势产品

CPI-1TR上海航欧优势产品

JSHD4F1上海航欧優势产品

SLM3-AG上海航欧优势产品

ATR141上海航欧优势产品

G25/A10上海航欧优势产品

G30A10上海航欧优势产品

S183Z上海航欧优势产品

45000上海航欧优势产品

FVA-40上海航欧优势产品

PS-5000仩海航欧优势产品

223-2-C上海航欧优势产品

MG-400A上海航欧优势产品

Q456E上海航欧优势产品

Q45BB6R上海航欧优势产品

GB327上海航欧优势产品

/A1上海航欧优势产品

91-上海航欧優势产品

MP100上海航欧优势产品

MART1上海航欧优势产品

UV1A6上海航欧优势产品

MC120上海航欧优势产品

MT-48-R上海航欧优势产品

ARM-24T上海航欧优势产品

EC4100上海航欧优势产品

RTM81-C仩海航欧优势产品

S18AW3R上海航欧优势产品

DL1520L上海航欧优势产品

GFB5G5上海航欧优势产品

70-MV上海航欧优势产品

9652128上海航欧优势产品

RFN上海航欧优势产品

RFN上海航欧優势产品

RFN上海航欧优势产品

RFN上海航欧优势产品

-202上海航欧优势产品

ZBD-500上海航欧优势产品

B-SS上海航欧优势产品

MV200上海航欧优势产品

IR5040上海航欧优势产品

M56P4仩海航欧优势产品

1638895上海航欧优势产品

HY-303上海航欧优势产品

2001553上海航欧优势产品

FS-TW上海航欧优势产品

440DR-上海航欧优势产品

VQZ上海航欧优势产品

E40101上海航欧優势产品

F22092上海航欧优势产品

27027上海航欧优势产品

58627上海航欧优势产品

TLM-200上海航欧优势产品

641519P上海航欧优势产品

641517P上海航欧优势产品

641516P上海航欧优势产品

KST8-1仩海航欧优势产品

7GSS150上海航欧优势产品

C544上海航欧优势产品

2420222上海航欧优势产品

GR53*58上海航欧优势产品

236849上海航欧优势产品

AT5-300上海航欧优势产品

3420上海航欧優势产品

TL12-18上海航欧优势产品

DK800-6上海航欧优势产品

DK800-4上海航欧优势产品

SI1010上海航欧优势产品

E7042U上海航欧优势产品

VA20-15上海航欧优势产品

VA20-25上海航欧优势产品

X40仩海航欧优势产品

A3266上海航欧优势产品

A3268上海航欧优势产品

24-上海航欧优势产品

ZP502上海航欧优势产品

81102上海航欧优势产品

50153上海航欧优势产品

TT-K-30上海航欧優势产品

DN300上海航欧优势产品

DN400上海航欧优势产品

CV-104上海航欧优势产品

DP4010上海航欧优势产品

W12-20A上海航欧优势产品

UT150L上海航欧优势产品

6 上海航欧优势产品

EL63PL仩海航欧优势产品

SSV8/2N上海航欧优势产品

SSV8/6N上海航欧优势产品

330094D上海航欧优势产品

MBU-625上海航欧优势产品

34QZ上海航欧优势产品

LSXA3K上海航欧优势产品

LSA7L上海航欧優势产品

AM2上海航欧优势产品

.25)上海航欧优势产品

3417145上海航欧优势产品

B000752上海航欧优势产品

PS307上海航欧优势产品

DR6101E上海航欧优势产品

HX92上海航欧优势产品

TX4-100仩海航欧优势产品

P1C2B上海航欧优势产品

636-095上海航欧优势产品

2.095mm上海航欧优势产品

1621A上海航欧优势产品

NP1200上海航欧优势产品

GFY-V3上海航欧优势产品

KFA10-W上海航欧優势产品

2655-00上海航欧优势产品

APM-7上海航欧优势产品

防扩散滴定管M6接头上海航欧优势产品

Z15N上海航欧优势产品

APG02上海航欧优势产品

标准插头加5米电缆仩海航欧优势产品

TX1001上海航欧优势产品

G4OAC5上海航欧优势产品

UH.04上海航欧优势产品

UHL1上海航欧优势产品

HR2400上海航欧优势产品

103H上海航欧优势产品

IF3004上海航欧優势产品

DN200上海航欧优势产品

DN250上海航欧优势产品

DN100上海航欧优势产品

09-(公)上海航欧优势产品

09-(母)上海航欧优势产品

反面固定09-上海航欧优势产品

正面凅定09-上海航欧优势产品

反面固定09-上海航欧优势产品

正面固定09-上海航欧优势产品

1149上海航欧优势产品

1183上海航欧优势产品

66207X上海航欧优势产品

66210X上海航欧优势产品

66213X上海航欧优势产品

66214X上海航欧优势产品

66203X上海航欧优势产品

66200X上海航欧优势产品

66204X上海航欧优势产品

CH4EE上海航欧优势产品

AAOEE上海航欧优势產品

E83704上海航欧优势产品

HM30上海航欧优势产品

PMM-L1M上海航欧优势产品

Feb-45上海航欧优势产品

May-13上海航欧优势产品

WW-18上海航欧优势产品

DCP100M上海航欧优势产品

AAO-EE上海航欧优势产品

64070X上海航欧优势产品

8607B上海航欧优势产品

66202X上海航欧优势产品

8608B1上海航欧优势产品

8617A11上海航欧优势产品

8608B2上海航欧优势产品

421607上海航欧优势產品

16M上海航欧优势产品

SLVD5上海航欧优势产品

FS-V11上海航欧优势产品

-05-2上海航欧优势产品

-05-02上海航欧优势产品

LWG150上海航欧优势产品

与HM30温湿度计配套上海航歐优势产品

23-5294上海航欧优势产品

SCVDC上海航欧优势产品

29440E上海航欧优势产品

61844M上海航欧优势产品

29326E上海航欧优势产品

WK4.2T-6(接触式线长6米)上海航欧优势产品

PSF上海航欧优势产品

D2410上海航欧优势产品

PL-650A上海航欧优势产品

MWBH上海航欧优势产品

D-40549上海航欧优势产品

GR52RSS上海航欧优势产品

MI44上海航欧优势产品

512上海航欧优勢产品

PTXB上海航欧优势产品

MS120上海航欧优势产品

PC0上海航欧优势产品

R-3075上海航欧优势产品

R-3125上海航欧优势产品

SLS-108上海航欧优势产品

440DR-上海航欧优势产品

NDS-8上海航欧优势产品

PSC8上海航欧优势产品

AF2-50A上海航欧优势产品

3413上海航欧优势产品

4905上海航欧优势产品

HEF-1上海航欧优势产品

PTX.B上海航欧优势产品

 上海航欧优勢产品

给水箱前置泵减速箱铭牌：NR:上海航欧优势产品

PADG-SB上海航欧优势产品

A06-SA6上海航欧优势产品